数学方面的毕业论文.doc

长春工业大学硕士学位论文分院名称： 学生学号：本科毕业论文（设计）（理工类）题 目： 平方差型不定方程的解法 专 业： 数学与应用数学 作 者 姓 名： 指导教师姓名： 指导教师职称： 2011年 5 月ii本科毕业论文（设计）目 录承诺保证书1 不定方程及其解法简介 1 1.1 几类不定方程 1 1.1.1 一次不定方程 1 1.1.2 沛尔方程 2 1.1.3 勾股方程 2 1.1.4 不定方程 3 1.2 在数学竞赛中不定方程问题的类型 3 1.3 解决不定方程的常用方法 3 2 平方差型不定方程的解法 4 2.1 质因子分析 4 2.2 奇偶性分析 7 2.3 整数范围分析 9 2.4 运用二项式定理10参考文献 14英文摘要 15平方差型不定方程的解法 摘要：本文简析了不定方程的含义、几类不定方程的类型及在中学数学竞赛中不定方程问题的类型,并简单阐述了六种解不定方程的方法.文中着重介绍了平方差型不定方程，归纳总结了什么是平方差型不定方程，并通过实例讨论了平方差型不定方程在质因子分析、奇偶性分析、整数范围分析和运用二项式定理等方面的解法. 关键词：不定方程 平方差型 解法 不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容.古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一.不定方程的内容十分 丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系. 所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组. 不定方程在经过了无数数学家的反复研究、解答以及证明后，终于总结出几类不定方程、不定方程的解法以及解答不定方程的解题技巧.在本文的第一部分将作简单的介绍，第二部分将着重分析不定方程中的一种-平方差型不定方程的解题方法.1 不定方程及其解法简介1.1 几类不定方程 通常我们把不定方程分为一次不定方程、沛尔方程、勾股方程、不定方程这四种. 1.1.1 一次不定方程 在不定方程和不定方程组中，最简单的不定方程是整系数方程 通常称之为二元一次不定方程.一次不定方程解的情况有如下定理:定理一：不定方程为整数.有整数解的充要条件是.定理二：若为之一解，则方程全部解是，（为整数）.1.1.2 沛尔方程 形如 的方程称为沛尔方程.能够证明它一定有无穷多组正整数解；又设为该方程的正整数解中使最小的解，则其全部正整数解由（）给出. 只要有解，就可以由通解公式给出方程的无穷多组解. 满足的关系 , . 1.1.3 勾股方程 这里只讨论勾股方程的正整数解，只需讨论满足的解，此时易知实际上两两互素.这种两两互素的正整数解称为方程的本原解，也称为本原的勾股数.容易看出一奇一偶，无妨设为偶数，下面的结果勾股方程的全部本原解通解公式.定理三：方程满足，的全部正整数解可表为 其中是满足一奇一偶，且的任意整数.1.1.4 不定方程 这是个四元二次方程，此方程也有不少用处，其全部正整数解极易求出：设，则,其中，故，所以.因此方程的正整数解可表示为 其中都是正整数，且.反过，易知上述给出的都是解. 1.2 在数学竞赛中，不定方程问题的类型 不定方程问题一般会分为三类即求不定方程的解、判断不定方程是否有解及判断不定方程解的数量（有限还是无限）.随着问题的不同解题的方法也就不同.1.3 解决不定方程问题的常用方法 解决不定方程的问题有很多种方法，下面就简单介绍一下因式分解法、估计法、同余法、构造法、无穷递降法、换元法这六种方法.1.3.1 因式分解法 将方程的一边化为常数，作质因数分析，另一边含未知数的代数式也作因式分解.考虑各因式的取值情况，可将方程分解成若干个方程组来求解.这种方法的目的是增加方程的个数，这样就有可能消去某些未知数，或确定未知数的质因数，进而求出其解.1.3.2 估计法 先通过对所考察的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围，这是解不定方程的一个常用技巧.1.3.3 同余法 如果不定方程有整数解，则对于任意，其整数解 满足，利用这一条件，同余可以作为探究不定方程整数解的一块试金石. 利用同余关系解不定方程关键在于模的选择.一般而言，可考虑除数或除数的因数、项的系数或幂的指数作为模.1.3.4 构造法 在处理不定方程问题时，可根据题设的特点，构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式等.构造法常用来证明不定方程有解或者有无穷多组解.1.3.5 无穷递降法 若关于正整数的命题对某些正整数成立，设是使成立的最小正整数，可以推出：存在正整数，使得成立，适合证明不定方程无正整数解.1.3.6 换元法 利用不定方程未知数之间的关系（如常见的倍数关系），通过代换消去未知数或倍数，使方程简化，从而达到求解目的.2 平方差型不定方程 一般来说，平方差型不定方程是指未知数在指数位置，并且可通过平方差公式将方程化简解决的不定方程. 解决平方差型不定方程通常先选择适当的模数（或结合二项式定理）对其指数进行奇偶性分析，再因式分解.最后，通过对质因子的分析来求解.下面就介绍在数学竞赛中常见的几类平方差型不定方程的解法.2.1 质因子分析 首先通过观察或计算方程得出方程的未知数的奇偶性，其次将式子变形分解，再将未知数替换成两个或两个以上的其他未知数，将方程分成两个简单的方程，最后讨论解得情况. 例1 试求方程的全部正整数解.分析 为了分解方程创造条件，应先证明是偶数.是偶数这一事实，从原方程本身不易导出来.我们将原方程模，那么方程被化简，消去两个未知量，进而易于产生某些结果.解 显然与不同余，故 将方程模，得出 因此是偶数，设，将原方程变形为 由及唯一分解定理推出正整数与都是（素数）的方幂，但这两数的和是（注意与不同余），故 因此必有 ，由以上两式消去，得 若为奇数，则是奇数平方的倍，故得左边，右边这不可能，因此式偶数，设，将的左边用平方差公式分解，不难求出其解，但我们宁愿用下面的方法是奇数，设为，则成为 若，则与中至少有一个有奇素数因子，显然不能成立，从而，故，这样易知所求的全部解为.例2 已知为完全平方数，求所有的有序整数对.分析 显然均为非负整数，且必为一奇一偶.那么我们就应用质因子分析，将原方程变形分解，使之更易讨论得出结果.解 设，首先方程两边得 注意到，则必为一奇一偶，下分别讨论： 为奇数，为偶数设，则 注意到不为的倍数，则和不可能均为的倍数，故必有从而 若，则，从而为一组解.若，则，易知使得的最小正整数，从而满足上式的均为的倍数，这与为奇数矛盾. 为偶数，为奇数设，则 注意到不为的倍数，则和不可能均为的倍数，故必有 从而 若，则，从而为一组解.若，则，而使得的最小正整数，从而满足上式的均为的倍数.设注意到为大于等于的奇数，并记则 从而 注意到是奇数，则 ，其中为正整数，且，又由知，从而 这与矛盾，综上知，或.总结 这种方法在求所有解是应用广泛.一般的在遇到未知数可以判定其中一个或两个的奇偶性，然后将为偶数的未知数质因子分析.将方程分解成两个简单并且好分析的方程.这种方法的关键是找到偶数未知数，并将其质因子分析.2.2 奇偶性分析 从讨论未知数的奇偶性入手，一方面可缩小未知数的取值范围.另一方面又可用或代入方程，变形为更便于讨论的等价形式.这种方法的适用范围很广. 例3 求所有满足的正整数三元组.分析 通过方程取模的出、都是偶数运用质因子替换，得出两个新的简单的不定方程，进一步讨论新方程中未知数的奇偶行进而解决问题. 解 两边取得所以是偶数，再得所以也是偶数.此时令于是，由可知 由唯一分解定理 两式相加从而 注意到是奇数，所以要使成立，一定有.于是 当时，在的两边取，得这显然是不成立的，所以，从而.故方程只有唯一的一组解.例4 试求方程的所有正整数解. 分析 通过质因子将方程分解成两个简单不定方程，通过讨论质因子、的奇偶性得出、的值进而得出、的值.解 显然是整数解.现设，因故有两种情况：或者当时，可令，故 此时必有 ，其中易知，故 于是有，即 从而是偶数，可令，故 故，此时由奇偶性知必须 ，从而，进而，同样的方法可证当 时，必有，综上或或.总结 这种方法通常用在有范围或有约束的解上，例如非负整数解或含未知数的式子是完全平方数等等.通过分析某一个未知数是偶数，则运用偶数的性质讨论其他未知数的奇偶性，从而用质因子分析进一步解析方程得出结果. 2.3 整数范围分析通过不等式的讨论，限制未知数的取值范围是解不定方程的一个常用技巧.一般地说，当方程的一个含未知数项的次数比其他项都高时，或者当某一个未知数的各项关于该未知数次数相同时，可考虑通过除以一式，将方程变形为带分式的形式，并通过不等式估计来求解. 例5 求方程的一切整数解. 分析 原方程即 因此右端必须为整数，从而整数都不可能是负数；再从被除所得余数为，进而讨论可能取的值. 解 由可见，整数中不可能仅有一个是负的，否则右端为分数，左端是整数矛盾，仅、，、或、是负整数时，例如仅、为负整数时，则 这时式右端仍是分数，也不可能都是负整数，否则 仍然产生矛盾，所以。若，即为正整数，则 被除所得的余数为，但，因此被除所得的余数也是，于是从式推出另一方面时，时，故不论哪种情形，都有与不同余这一矛盾推出，这时原方程为由于所以，即原方程只有唯一一组整数解.总结 此类方法用在讨论不出未知数的奇偶性的不定方程.通过在整数范围内分析未知数的几个范围确定所有未知数的值.这种方法通常对未知数的要求是整数.2.4 运用二项式定理二项式定理在不定方程中也很实用，我们通过对不定方程的变形，进而由二项式定理得出比较容易得出某些结论的式子，使问题简化.例6 证明不定方程，仅有一组正整数，.分析 方程是著名的卡特朗猜想的特殊情形.卡特朗猜想：是仅有的一对差为的正整数方幂，即不定方程 只有一组正整数解.证明 首先证明没有奇素数因子，采取反证法，设有一个奇素数，使，设 ，其中与不同余由二项式定理，可将变形为 由此可见，即，从而，设 ，与不同余，则我们将通过比较式两边所含的幂次来导出矛盾.对，设，则在 中，的幂次至少是若，则，；若，则由得 又，故，因此，从而 故我们总有，于是 进而有 又，因此式左边含的幂次为，另一方面，由于，故即式右边含的幂次为，但由原方程可见，又，故从而 因此式左右两边含的幂次不等，这不可能.所以不含奇素数因子，即为的幂，设，由前面证明过的，可知是偶数，设，方程可分解为 因上式左边两个因数的最大公约数为，而右边是的幂，故必须 ，因此，即，故.总结 在不能确定未知数的奇偶性和范围的情况下就应运用二项式定理，确定未知数的范围或某种结果，从而进行因式分解或其他运算解决问题.不定方程（组）是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富.我国对不定方程的研究已经延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理.近年来，不定方程的研究又有新的进展.学习不定方程可以拓展数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能.而对于高于二次的不定方程，相当复杂.当时，没有不等于零的整数解，即著名的费尔马大定理，经历个世纪，已由英国数学家证明完全可以成立.以上就是几种解不定方程的方法，鉴于不定方程的多变性，解法也具有多变性.总的来说，解平方差型不定方程，首先通过将方程两边取模，得出方程 的未知数的奇偶性，再通过质因子分析将方程分解为两个较简单的不定方程，然后通过其他方法解出方程的解得问题.近年来，这个领域更有重要进展.但从整体上来说，对于像平方差型不定方程这类的高于二次的多元不定方程，人们知道的不多.另一方面，不定方程与数学的其他分支如代数数论、代数几何、组合数学等有着紧密的联系，在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题，这就使得不定方程这一古老的分支继续吸引着许多数学家的注意，成为数论中重要的研究课题之一.本文虽然介绍了四种不定方程的类型，但随着题的类型不同那么它们的分类也就不尽相同，所以在不定方程的分类上可能还不到位.而平方差型不定方程问题是本文的重点，在这类不定方程的解法上可能也有不同的，其他方法没有讲到，但在以后会尽量将其补足.参考文献： 1 左宗明.金牌奥赛教程（数学高中综合分册）m.浙江大学出版社,2009.2 马兵.高中数学竞赛标准教材m.浙江大学出版社,2007. 3 黄宣国.数学奥林匹克大集1994m.上海教育出版社，1997.4 刘鸿坤等.国内外数学竞赛试题汇编m.上海科学技术出版社，1993.5 李胜宏 李明德.高中数学竞赛培优教程m.浙江大学出版社，2009.6 单墫等.数学奥林匹克竞赛题解精编m.南京大学出版社，1991. 7 丁萍 冯惠愚.高中数学竞赛全解题库m.南京大学出版社,2010.8 杨培谊 于鸿.高中数学解题方法与技巧m.北京学院出版社，1993.9 竺仕芳.激发兴趣走出误区综合高中数学教学探索j.宁波教育学院出版社，2003.10 肖果能.一类不定方程的整数解j.长沙铁道学院学报，1994.11 周长根.几类特殊不定方程的研究m.西北大学出版社，2010.12 马文波.几类特殊的不定方程问题初探j.武汉理工大学出版社，2006.13 刘培杰.数学奥林匹克与数学文化m.哈尔滨工业大学出版社，2006.13the solution of the square-type indefinite equati