数学归纳法原理的拓展和应用.pdf

5 6 数学教学研究 第 3 1卷第 1 o期2 0 1 2 年 1 o月 数学归纳法原理的拓展和应用 刘健 太 张晓霞 1 甘谷县 新兴初级 中学数学组 甘肃 天水7 4 1 2 0 0 2 西北师范大学 数学与统计学院 甘肃 兰州 7 3 0 0 7 0 摘要 本文对数学归纳法的逻辑思维过程做了讨论 同时对第一数学归纳法做 了拓展 并给出了其 拓展定理和证明 关键词 数学归纳法 归纳法原理 拓展定理 中图分类号 0 6 3 3 众所周知 数学归纳法是证 明与 自然数 n有关的命题的一种特殊方法 它主要用来 研究与正整数有关的数学问题 在高中数学 中常用来证明等式成立和数列通项公式成 立 在实际应用 中 对于许多关于 自然数集的 问题应用数学归纳法来解决显得非常 自然简 单 甚至一些问题只能用数学归纳法来证明 然而在实际操作中往往会遇到一些很难运用 数学归纳法来证明的命题 即用第一数学归 纳法证明时 假设 n k 成立 很难推出 k 十1 成立 本文具体说 明了数学归纳法 的各 种表达形式 用集合论 的观点给出数学归纳 法的严格证明 同时给出用数学归纳法证明 代数恒等式 不等式 整除性 数列通项公式 等问题 以及导数与数学归纳法的整合方法 文中对一些很难运用普通数学归纳法证 明的 命题 假设 一是 成立 很难推出 n k 1 成 立 却容易推出 一是 m时成立 做了相关 讨论 基于这些问题 对第一数学归纳法进行 了拓展 并给出其拓展定理和证明 1 预备知识 定义 1 若集合m 满足如下关系 1 对任意的元素 a b em 必有 n 6 之一成立 收稿 日期 2 0 1 2 0 8 2 1 2 对任意的元素 a b c em 如果 口 6 b c 则必有 a q c 则称集合 m 为有序集 定义 2 如果有序集 m 的任何非空子集 m1 有最小元 即存在 e e mi 使对任意 a m 且 e a 有 a成 立 则 称 m 为 良序 集 引 显然 自然数集是有序集 同时 自然数 也是良序集 事实上 设 自然数集 m 的非空 子集为m 任取 m m1 比m小的自 然数有 1 2 3 一1 因此 m1中 比 m小 的数 只 有有 限个 这有 限个数 中经过有 限次 比较必 能找 出一个最小数 根据上述定义可知 自然 数是 良序集 2 主要结果 定义 2 1 对每一个正整数 n 若正整数 论域的命题函数 满足 1 1 为真 2 对任意的 1 如果 p 为真 则 p n 1 为真 则对每一个正整数 为真 并称其为第 一 数学归纳法 为了进一步说明这一原理 下面从集合 论的观点出发给出数学归纳法的证明 万方数据 第 3 1 卷第 1 o期2 0 1 2 年 l o月 数学教学研冤 5 7 定义 2 2 设 p 是关于正整数 的命 题 且 1 假设 p 1 成立 2 k 危 e n 时 p 1 p 2 走 都成立 能推出 p k 1 成立 则命题 扎 对于所有的正整数 z 都成立 并 称其为第二数学归纳法 定义 2 3 设 是关于正 自然数 的 命题 且 1 p 1 成立 2 假设 一是 一1 一正 意 2 时 p k 一 1 走 都成立 则命题 对于所有 自然数 都成立 并称 其 为双基归纳法 数学归纳法的证题 原理 特指第 一数 学归纳法 第二数学归纳法原理雷同 第一步 是递推的基础 第二步是递推的依据 第二步 由假设 n k时结论成立 推出 n k 十1 时结 论也成立 其效果相当于作出这样一种保证 即在前一个命题成立 的前提下 保证它 的下 一 个命题也一定成立 于是 由 竹 一 o时命题 成立 可推出7 l n 1 时命题也成立 由 n 4 1时命题成立 可推出 2时命题 成立 由此递推下去 可知命题对任意的 n en 都成立 注 1 利用数学归纳法可以得到一类与 自然数有关 的数学命题 但不是所有与 自然 数有关的数学命题都可以用数学归纳法来证 明 注 2 用数学归纳法证题 的第一步 的 的取值应 是满足题 设条件 的第一个 自然 数 t g 一定是 1 有时也不止取一个 一般来说 只要能建立递推的基础即可 不要多取 注 3 在使用数学归纳法证题时 由 一 k 到 1的推理过程是关键 特别注意 i 一定要用到归纳假设的结论 否则所用 的方法就不是数学归纳法 1i 除了一定要 用到归纳假设的结论外 根据具体问题还要 注意选用与问题相关 的公理 定理等 注 4 采用数学归纳法证题 的两个步骤 缺一不可 如果仅有第 一步 而没有第二步 那么所用 的方法就 属于不完全归纳法 因而 得出的结论也就不一定可靠 例如 当 咒 一1 2 3 m时 l 7 的值都是素数 如 果由此断言对任意的 咒 en r t 7 z 1 7的 值都是素数 则此结论是错误 的 数学归纳法只能证明某些具有递归特点 且与正整数有关命题的真实性 而不能用于 求其解 这使此法的应用受到了一定的限制 但是 如果将命题加强 并配合应用不完全归 纳法猜 出结论 就可拓展数学归纳法的应用 范围 下面简要介绍用数学归纳法证明代数 恒等式 不等式 整除性 数列通项公式等问 题 以及导数与数学归纳法整合的方法 2 1 用归纳法证明代数恒等式 例 1 证明 1 2 2 3 十 3 4 0 4 5 0 2 1 2 2 n 2 n 1 一 n n 1 4 n 3 证明1 当n l 时 等式显然成立 2 假设当 n k 时等式成立 即 1 2 0 2 3 3 4 4 5 0 2 走 一1 2 走 2 k 2 k 1 一 k k 1 4 k 3 3 当 n k 1时 有 1 2 一 2 3 3 4 4 5 2 一1 2 愚 2 k 2 k 1 2 k 1 2 k 2 0 一 2 k 2 2 k 3 一 k k 1 4 k 3 2 k 1 2 k 2 一 2 k 3 一 一是 志 1 4 k 3 4 2 走 1 6 k 7 一 息 1 4 k 0 2 5 k 1 4 一一 1 1 1 4 k 1 3 这说明当 n k 1时等式成立 万方数据 5 8 数学教学研究 第 3 1卷第 1 o期2 0 1 2 年 1 o月 综上所述 恒 等式对任何正整数 都成 立 2 2 用归纳法证明不等式 例 2 设 o 1 一 一 n 2 一n 3 一 一口 证明1 当 一1 2时 o a 1 1 o a 2 1 a1 一 口2 2 假设 n k时 有 1 一口 1 1 一n 2 1 一口 女 1 一口 1 一日 2 一口 3 一 一口 3 当 n k 1 时 有 1 一口 1 1 一n 2 1 一口 1 a 1 l a 1 一 一 1 一n 抖 1 一 口 1 一 口 2 一 一 n 一口 一 1 口 1 n 2 a 口 抖1 1 一口 1 4 2 一 一 一 十 1 故原命题成立 2 3 用数学归纳法证明整除性 例 3 是否存在正整数 m使得 厂 靠 一 2 n 7 4 3 9对任意的 自然数 7 l 都能被 m 整除 若存在 求出最大的仇值 并证明你的 结论 若不存在说明理 由 分析由 厂 7 2 2 n 7 3 9 得 厂 1 一 2x1 7 3 9 3 6 厂 2 2 x2 7 3 9 3x3 6 厂 3 一 2x3 7 3 9 1 0x3 6 厂 4 一 2 4 7 x3 9 3 4 3 6 由此猜想存在正整数 仇一3 6 证明1 当 咒 一1 时 有 f 1 一 2 1 7 x3 9 3 6 所 以 1 能被 3 6 整除 2 假设 n k时 有 厂 走 能被 3 6 整除 即 厂 志 一 2 k 7 3 9 能被 3 6整除 3 当 n k 1时 有 f k 1 一 2 忌 1 7 3 抖 9 一 2 志 7 x 3 抖 2 3 9 3 2 k 7 x3 9 4 2 3 一1 8 3 2 7 3 9 1 8 3 卜 一1 因为 3 一 l是 2的倍 数 2 所 以 1 8 3 一1 能被 3 6整除 这就是说 当 扎 一k 1 时 厂 也能被 3 6 整除 综上 对一切正整数 7 2 都有 f 一 2 n 7 x3 9能被 3 6整数 且 m 的最大值是 3 6 评析本题解决 的关键是通过取 m 的 特殊值 猜想这样的正整数 仇 的存在 然后 利用数学归纳法加以证明 用数学归纳法推 证 n k 1 时 结论成立 关键是加一个数与 减一个数的恒等式变形 用 n k的形式来表 示 愚 1的形式 2 4 用数学归纳法证 明数列通项公式 例4在数列 口 中 已 知口 音 且n 籍 2 1 求 a 2 a 3 a 4 2 求数列 a 的通项公式并用数学归纳 法证明 解 1 在 由 口 推证 口 时 必须建立 归纳假设 即 a1 d2 一 一 一1 2 3 4 鬻 一 嘉 一 2 猜 想a n 一 干 l 下 面 用 数 学归纳法给出证 明 1 当起 一2 3 4 时 公式都成立 2 假设当 忌 z 4 时公式成立 即 f 一 志 1 2 3 a k 1 一 a l a 2 干 a k l a k 因为 万方数据 第 3 1 卷第 1 o 期2 0 1 2年 1 0 月 数学教学研究 5 9 所 以 2 3 尼 志 1 k 尼 3 专 忌 3 一 口 1 n 2 n 一 1 n 2 3 愚 口 一n 1 2 愚 一n 志 1 k 1 1 口 川 一 再 c l k 干 干 1 一 是 1 1 忌 1 2 3 即当 n k 1 时公式也成立 因此 对 任 何 正 整 数 公 式 n 一 1 7 2 1 成立 2 5 导数与数学归纳法的整合 例 5 若数列 满足 凸 1 一c e o 1 且 n l i n 2 4 n n 求证 o n 口 1 1 证明1 由题设知 n 一c 0 1 2 当 n k时 假设 o a 0 故 厂 z 一 l n 2 一 在 o 1 上是增 函数 当 n k 1时 n 1 一i n 2 一口 n 1 n 2 一o 0 且 口 1 一l n 2 一n 口 1 n 2 1 1 1 即o a 1 1 综上 当 n en十 时 0 n 0 所以 o a 1 m 项时结论成立 若 可验证 忌 1 志 2 是 m 中有一项成立 则对一切正整数 1 都成立 证 明对命题 的下标 取 1 的同余 类 则可将 分为 z o 类 不妨将余数为 i 的 那一类设为6 i二 其中 i 代表余数 为第 i 类 的下标变量 即 2 10 i a 2 l o i 口 显然当 i 在 0到 z 变动时 6 l 可以覆盖 t2 的所有项 下面用第一数学归纳法证明 是满足 已知条件的 即余数为 i 的所有项结论都成 立 根据上面的构造 b i n n 2 n 而 根据 1 当 7 2 1 2 m时n l 口 2 n 满 足已知条件 即 中当 一1 时结论成立 j 假设 中当 z 时结论成立 即 当 n a l o i 时 口 结论 成立 不妨设 是 a o i 以上假设等价于设 n k 时n 成立 ii 考察 b l l 1 一口 1 fn f 口 根据 2 假设 中第 k 忌 m 项成 立 存在 z l o m 使得第 k 项满足 结论 其中 走 z 项表示 志 1 愚 2 走 m 中 的任意一项 因此 n 一 十 一 满足结论 即 当 一 1时 满足结论 根据第一数学归 纳法 b 诸项均成立 即 中的每一项都在 b 中可找到 对于任意一项口 必然可以找到 一 个模 的同余类 r 使得 k 一a l o r 即 口 且 为余数为r的那一类中的第a 项 因此 中的每一项都成立 万方数据 6 0 数学教 学研究 第 3 1 卷第 1 0 期2 0 1 2年 1 0月 例 6 用数学归纳法证明 对于任意 z 0和自然数 有 x n n 刍 咒 1 证明 当 一1 时 x o 2 命 题成立 当 n 2 u l 1 3 命题成立 假设 n k时命题成立 即 z 卜 k t 1 当 n k 2时有 嘉 士 一x k 2 卜 志 1 2 忌 2 1 因此 当n k 2结论成立 根据推广定理 2 对任意n en 不等式成 立 例 7 设 为不小于 3的正整数 证 明 可以将一个正三角形分割成为 个等腰三角 形 分析通过对 n 3 4 5的划分发现 所 分出的等腰三角形中均至少有一个是等边三 角形 对于等边三角形 再按 n 4的分法 就 又可以分成 4 个等边三角形 这样一直下去 每次可以使所分出的等腰三角形增加三个 因此我们考虑以三为步长向前推进 图 1 图 2 图 3 证明当 一3时 如 图 1所示 设 o为 正三角形 ab c 的 中心 则 ab o b 0 c a都是等腰 三角形 故命题对 3时 成立 当 n 4时 如图 2所示 d e f分别是 正三角形 ab c的边 b c c a ab的中点 则 aaef f bd adc e和 de f都是等腰 三角形 故命题对 n 4时成立 当 n 一5时 如图 3所示 设 0为正三角 形 ab c 的中心 d e分别 是 b c c a 的中 点 f为 b o