微分中值定理和不等式的证明.doc

淮北师范大学 2013届学士学位论文 微分中值定理和不等式的证明学院、专业数学科学学院 数学与应用数学研 究 方 向 函 数 论 学 生 姓 名 谢 晨 西 学 号 20091101169 指导教师姓名 卓 泽 朋 指导教师职称 副 教 授 2013年4月20日微分中值定理及不等式的证明谢晨西（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000） 摘 要 微分中值定理在数学分析中具有重要作用,不等式在初等数学中是最基本的内容之一,微分中值定理主要包括：拉格朗日中值定理，罗尔中值定理,以及柯西中值定理.本文采用举例的方式归纳了微分中值定理在不等式证明中的几种常见方法和技巧，并对中值定理进行了适当的推广,同时结合几个常见的实例论述了罗尔中值定理,拉格朗日中值定理在证明不等式面的应用,从而加深对两个定理的理解,总结了微分中值定理在不等式证明中的基本思想和方法.关键词 ：微分中值定理，柯西中值定理，费马定理，不等式Differential Mean Value Theorem and Proof of InequalityXie Chenxi（School of Mathematical science,Huaibei Normal University,Huaibei,2350000） Abstract Differential mean value theorem plays an important role in mathematical analysis.Inequality is one of the most important elements in elementary mathematics.Differential mean value theorem include: lagrange mean value theorem, rolle theorem, cauchy mean value theorem.This article summarizes several common methods and techniques of differential mean value theorem to prove inequality.Appropriate promotion differential mean value theorem.Combined with a few common examples discussed rolle theorem of lagrange mean value theorem in proving inequalities surface.So as to deepen the understanding of the two theorems,summarize the basic method of differential mean value theorem to prove inequalityKey words: Differential mean value theorem，Cauchy Mean Value Theorem，generalized Fermats theorem;，inequalities 目 录引言11 预备知识12 微分中值定理及其证明12.1 费马引理12.2 罗尔中值定理及其推广22.3 拉格朗日中值定理及其推广32.4 柯西中值定理及其推广32.5 泰勒中值定理43 利用微分中值定理证明不等式43.1 罗尔中值定理证明不等式43.2 利用拉格朗日中值定理证明不等式53.3 利用柯西中值定理证明不等式63.4 利用泰勒中值定理证明不等式73.5综合利用微分中值定理证明不等式9结论10参考文献11 引言 在高等数学课程中罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理等统称为微分中值定理,他们是微分中值学中最基本、最重要的定理为加深学生对微分中值定理的理解.它的出现是一个过程，聚集了众多数学家的研究成果.从费马到柯西不断发展，理论知识也不断完善，成为了人们引进微分学以后，数学研究中的重要工具之一，而且应用也越来越广泛.微分中值定理在函数在某一点的局部性质；函数图象的走向；曲线凹凸性的判断；积分中值定理；级数理论；等式及不等式证明等问题的研究中也发挥着十分重要的作用.因此，微分中值定理已经成为整个微分学基础而又举足轻重的内容. 1 预备知识 微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具,其中最重要的内容是拉格朗日定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。也就是说微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理等基本定理在内的定理的总称.以下是证明微分中值定理时用到的几个概念.定义1 (单调性) 函数在定义域内,当时,有则称单调递增.当时,有,则称单调递减. 定义2 (保号性) 若,则存在任意使得.定义3 (最值) 设在上有定义,若存在使任意,(),则称为的最小值(最大值).为最小值点(最大值点). 定义4 (极值) 设在任意上有定义,若存在任意,都有 (),则称为的一个极小值(极大值),称为极小值点(极大值点). 2 微分中值定理及其证明 2.1 费马引理 定理1 设函数在点x的某邻域内有定义,且在点可导，若为f的极值点，则必有 费马定理的几何意义:如果将函数的曲线置于直角坐标系,则费马定理具有几何意义表示若在曲线上有一点存在切线,且在 在 取得极值.则这一点处的切线必平行于轴. 2.2 罗尔中值定理及其推广 定理2 如果函数满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即，那么在内至少有一点使得 罗尔定理的几何意义:若满足罗尔定理的条件,则在曲线上至少存在一点,使得点处的切线平行于轴(如图), 其中,. 证明 因为,且. （1） 若为常数,则必有，所以,存在,使得;（2） 若不是常数,则非单调,又有在上连续在内可导,根据引理1,存在,使得 .证毕. 定理3 设在内可导,且,其中,则存在使得. 2.3 拉格朗日中值定理及其推广 定理4 如果函数满足(1) 在闭区间上连续;(2) 在开区间内可导;则至少存在一点使等式.证法 利用罗尔中值定理. 定理5(推广一) 设在上连续,在内可导,则存在使得. 定理6(推广二) 若在有限开区间内可导,且与存在,则至少存在一点使得. 2.4 柯西中值定理及其推广 定理7 设函数、满足:(1) 在闭区间上连续;(2) 在开区间内可导,且，则至少存在一点使得. 定理8(洛必达法则一) 若函数f(x)与满足下列条件： （1）在a的某去心领域可导，且； （2）与； （3）. 则.证法 证明洛必达法则要找到两个函数之比与这两个函数的倒数之比之间的联系.柯西中值定理正是实现这种联系的纽带.为了使函数f(x)与在a满足柯西中值定理的条件，将函数f(x)与在a作连续开拓.这不影响定理的证明，因为讨论函数在a的极限与函数f(x)与在a的函数值无关. 2.5 泰勒中值定理定理9 若函数在x的某邻域内存在阶导数，则在该邻域成立 其中.称为在的n次泰勒多项式，称为n次泰勒多项式的余项. 3 利用微分中值定理证明不等式 3.1 罗尔中值定理证明不等式 罗尔中值定理的几何意义:在满足定理条件下,在曲线上必有一点,使得过该点的切线平行于轴. 在一般情况下,利用罗尔中值定理很容易证明关于方程的根的问题,但是仅用罗尔中值定理却很难证明不等式,所以在利用罗尔中值定理证明时要综合利用其他的微分中值定理. 例1 (1)如果,试证; (2)求证: . 证 (1)令,在区间上连续,在内可导,应用拉格朗日中值定理,则有,.由于在闭区间上,有,所以. (2)当时,显然等号成立.当时,不妨设.设, 由拉格朗日中值定理得, ,.则有 所以 3.2 利用拉格朗日中值定理证明不等式 拉格朗日中值定理的几何意义:在满足定理条件下,在曲线上必有一点,使得过该点的切线平行于曲线两端点的连线,两点的弦.我们在证明中引入的辅助函数,正是曲线与弦线之差.拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,当时,本定理即为罗尔中值定理的结论,这表明罗尔中值定理是朗格朗日定理的一个特殊情形.拉格朗日中值定理的其它表示形式:(1) ,; (2) ;(3) 值得注意的是:拉格朗日中值定理无论对于,还是都成立.而则是介于与之间的某一定数,而(2),(3)两式的特点,在于把中值点表示成了,使得不论,为何值,总可为小于的某一整数. 例2 当时,函数在其定义域上可导,且为不增函数, , 求证 . 证 用数学归纳法 当时,显然不等式成立. 当时,若均为,或者一个为时,当一个为时, 显然有 .设均大于,不妨设,在应用拉格朗日中值定理可得:.在上再次利用拉格朗日中值定理可得:显然,由题设知, .所以 ,即 . 假设当时不等式成立,即 .取,显然的情况不证而明,所以只考虑的情况.取,由前面已证的结论有 , 再用归纳假设可得 , 即当以上例子是利用拉格朗日中值定理来证明不等式,有些不等式利用此定理时,方法要灵活些时结论成立.所以. 3.3 利用柯西中值定理证明不等式柯西中值定理是研究两个函数的变量关系的中值定理,当一个函数(不妨设此函数为)取作自变量自身时它就是拉格朗日中值定理,所以用拉格朗日中值定理能证明的不等式一定能用柯西中值定理来证明,反之则不然.下面举例来说明:对例1用柯西中值定理证明,这里仅用第一个小题来说明,其证法如下:证 (1)令,.在区间上连续,在内可导,且在内每一点都不为零,那么由柯西中值定理可得:, 则有 ,.下面与例1中解法同,这里就不再赘述了. 例3 (1)设,对的情况,求证: . (2)设，求证: .证明 (1)设,. 当时结论显然成立. 当时,取或,在闭区间或上连续,在开区间或可导,且在内或每一点均不为零,由柯西中值定理可得:,或即 .所以得证.(2)设,在闭区间上连续,在开区间内可导,且在内每一点均不为零,那么由柯西中值定理可得:,.即 ,.因为,所以.即 . 注 例3中的两个不等式能用柯西中值定理来证明,但不能用拉格朗日中值定理证明.例 4 如果函数满足两个条件:(1)在闭区间上有二阶导数;(2) .试证明:在开区间内至少存在一点,使得 .证 令.在此我们利用用反证法来证明本题,我们不妨假设,.对于构造的辅助函数及(其中是中任意固定的一点),两次利用柯西中值定理,可得:其中介于与之间(即或),为上任意点,特别地,在上式中取,并利用已知条件,则有:,其中满足,于是 .同理再取,并利用已知条件,则得:,其中满足.于是: .因此, .这是不可能的.所以在区间内至少存在一点,使得 . 3.4 利用泰勒中值定理证明不等式泰勒公式的余项大体分两种:佩亚诺型余项,拉格朗日型余项.与带拉格朗日型余项的泰勒公式相比,带佩亚诺型余项的泰勒公式对函数的假设条件较少,只需函数在处阶可导,不需要阶可导,也不需要在的邻域内存在阶连续导数,因此应用范围较广.但是在证明不等式时,精确度却不如带拉格朗日型余项的泰勒公式好. 利用此原理可以证明一般的不等式,积分不等式,估值不等式等多种不等式,这种方法的用法非常广泛.证明方法:根据已知条件,围绕证明目标,寻取适当的点将函数在该点展成泰勒展式.根据已知条件,向着有利于证明不等式的方向对上面的展式作适当的处理,直到可以结合已知条件证出不等式为止.下面举例来说明:例5 当时,求证:.分析 由于朗格朗日中值定理很容易证明,而利用泰勒中值定理时,当时,不等式为:.显然第二个比前一个的不等式的精确度高得多,随着的增大,不等式的精确度会大幅度地提高,所以我们在做题过程中,按题目的要求来选择适当的方法来证明不同的不等式.证 令,那么函数在点展开前项的泰勒公式,余项取拉格朗形式,那么有:.因为,所以,从而,所以有 .即 .同理,因为,所以左端的不等号也成立. 另外,在遇到高阶导数的不等式,一般都首先考虑泰勒中值定理.像之前的例4.我们也可以用泰勒中值定理来证明,下面具体来说明:例4的另一种证法:由题设条件,应用泰勒展开式有:,其中介于与之间,介于与之间.上述两式相减,且有,得:,.令,则有,.即 .例6 设函数在上二阶可导,且,.求证:对任意的,有.证 对任意的,将在点展开.(其中介于与之间).注意到,所以有.对上述不等式的两边对积分,得: 因为.所以. 3.5综合利用微分中值定理证明不等式利用拉格朗日中值定理能够很方便的判断出函数的单调性,其方法是:如果函数在上连续,在内可导,则有:(1)如果在在内函数的导数,则函数在上单调增加;(2) 如果在在内函数的导数,则函数在上单调减少.另外,函数在内除有个别点外,仍有(或),则函数在上单调增加(或减少)的,即连续函数在个别点处无导数并不影响函数的单调性.再利用函数的单调性及函数图象上峰值点与各极值点的性质,便可以方便地求出函数的极值,从而证明出不等式.其方法为:确定函数的定义域,然后求出定义域内的所有驻点,并找出连续但不存在的所有点,讨论所有驻点和不可导点左右两侧附近的符号变化情况,确定函数的极值点,并求出相应的极大值点与极小值点,从而进一步证明不等式.例7 求证 (1)当时,证明成立. (2)当时,证明成立.证 (1)令,因为函数在上连续,在内可导,且 .当时,所以当时,函数是单调递增的.故当时,有:,即,从而 成立.(2)因为,所以,.令函数,则有: 因为时, ,所以.即在时严格递增的,又因为,所以,即成立. 例8 设函数在闭区间上二次可微,且满足,试证:当时,有不等式: 成立.证 令,那么.由于,可知在闭区间上是严格递增的,即,从而有