格利森弧齿锥齿轮啮合传动节线的数学原理.pdf

第1 7 卷第1 期 2 0 1 0 年2 月 工程设计 学报 j o u r n a lo fe n g i n e e r i n gd e s i g n v 0 1 1 7n o 1 f e b 2 0 1 0 d o i 1 0 3 7 8 5 j i s s n 1 0 0 6 7 5 4 x 2 0 1 0 0 1 0 1 3 格利森弧齿锥齿轮啮合传动节线的数学原理 谷计划 段建中 宁夏大学机械工程学院 宁夏银川7 5 0 0 2 1 摘要 弧齿锥齿轮齿面线是设计和加工的重要几何要素 同时也是弧齿锥齿轮机床设计 包括格里森制式和奥利 康制式 的重要出发点之一 从节圆锥面上节线的基本定义出发 结合格里森制式弧齿锥齿轮的加工原理 推导出 单个弧齿锥齿轮的节线方程 并定量证明了一对相互啮合的弧齿锥齿轮节线在转动过程中是连续接触的 为弧齿 锥齿轮接触轨迹方向的研究及接触状态的分析提供了一种方法 关键词 弧齿锥齿轮 节圆锥 节线 中图分类号 t h1 3 2文献标志码 a文章编号 1 0 0 6 7 5 4 x 2 0 1 0 0 1 0 0 7 1 0 5 m a t h e m a t i cp r i n c i p l eo fp i t c hl i n eo fg l e a s o ns p i r a lb e v e lg e a rp a i ri nd r i v i n g g uj i h u a d u a nj i a n z h o n g s c h o o lo fm e c h a n i c a le n g i n e e r i n g n i n g x i au n i v e r s i t y y i n c h u a n7 5 0 0 2 1 c h i n a a b s t r a c t t h et o o t hf a c i a ll i n eo fs p i r a lb e v e lg e a r si st h ek e yg e o m e t r i ce l e m e n ti nd e s i g na n d m a n u f a c t u r e a n dm e a n t i m ei t i so n eo ft h ec r u c i a lc o n s i d e r a t i o n si nd e s i g no fs p i r a lb e v e lg e a r m a c h i n i n gt 0 0 1 t h i sp a p e rb e g a nw i t ht h eb a s i c d e f i n i t i o no fp i t c hl i n e s a n db yc o m b i n i n gt h e m a c h i n i n gp r i n c i p l eo fg l e a s o ns p i r a lb e v e lg e a r s t h ep i t c hl i n ee q u a t i o no fs i n g l es p i r a lb e v e l g e a rw a sd e d u c e d t h ec o n c l u s i o nt h a tt h ep a i r i n gt w op i t c hl i n e so fs p i r a lb e v e lg e a rc o n t a c t e d c o n t i n u o u s l yd u r i n gt r a n s m i s s i o nw a sq u a n t i t a t i v e l yp r o v e d i tp r o v i d e sam e t h o df o rr e s e a r c h i n g c o n t a c tt r a c ka n dc o n t a c ts t a t eo fs p i r a lb e v e lg e a r s k e yw o r d s s p i r a lb e v e lg e a r p i t c hc o n e p i t c hl i n e 一般地 弧齿锥齿轮的齿面线定义为轮齿的齿 面与一个同顶点 同轴线相似圆锥面的交线 狭义 地可定义为分度圆锥面与齿面的交线 理论上 从 齿顶到齿根无穷多个这样的交线之集合就是齿面 所以 定量地描述齿面线对于设计是很有意义的 遗 憾的是 在现有的弧齿锥齿轮教科书和专著中均未 涉及齿面线的数学表示 通常的表述是 弧齿锥齿轮 的齿面线是与其相啮合的平面齿轮之齿面线 对于 格里森制式的齿轮而言 齿面线则是一个标准的 圆 1 那么这个圆对应到 与其相啮合 弧齿锥齿轮 上又是什么曲线呢 进一步问 一对相互啮合的弧 齿锥齿轮上的节线之间在几何上是如何接触的呢 本文用详尽的数学推导定量地回答了上述问题 首 次展示了弧齿锥齿轮节线在空间是什么 样子 推 导出单个齿轮上的空间节线方程以及一对相互啮合 齿轮节线之间的几何接触方程式 定量地说明了相 互啮合的一对弧齿锥齿轮之间的几何接触状态 为 齿轮的设计和加工提供了重要的参考工具 1 弧齿锥齿轮节锥面上节线方程 弧齿锥齿轮的节线在节圆锥展开面上为圆弧的 一段 我们知道节圆锥展开面为一扇形 为方便以后 的数学证明 把节圆锥展开面统一叫做扇形 根据 这一定义我们进行逆向思维 假设扇形上有一段圆 弧 这段圆弧的方程式很容易求出 然后把这个扇 形卷成节圆锥 那么在扇形上的圆弧就成为节圆锥 收稿日期 2 0 0 9 0 8 1 4 基金项目 国家自然科学基金资助项目 5 0 6 6 5 0 0 5 宁夏回族自治区自然科学基金资助项目 n z 0 7 2 0 作者简介 谷计划 1 9 8 3 男 河南开封人 硕士 从事先进制造技术 c a d c a m 研究 e m a i l 2 8 6 6 8 7 6 6 3 q q c o m 通信联系人 段建中 教授 e m a i l d u a n j z 1 6 3 c o r n 万方数据 7 2 工程设计学报第1 7 卷 上的节线 1 1 圆锥面上一般曲线方程推导 为了体现一般性 把扇形中的一段圆弧改为任 意一条曲线 已知条件 一个半径为l 圆心角为口 的平面 扇形中 有一条参数方程为 x x t 的曲线 现在 i 了2 y 把这个扇形卷成一个圆锥面 求曲线在空间坐标的 方程 如图1 图2 所示扇形面上坐标为 x y 一x y t 的一点p 它的极坐标为 f l d 一以可刃珥百丽丁 1 口m y f 陋 a r c t a n 张 j 6 z 2 一z t 2 j 对式 5 式 6 中的参数t t z 作以下说明 由 推导可知t 为节线方程的参数 参见式 2 因假想 平面齿轮有一定齿圈宽度 所以参数t 的取值有一 定范围 这个范围可以通过给定已知数据s q r 由 作图直接得到 参见图4 也可以通过公式n l d f 给定外锥距p 和内锥距i d z 确定参数t 的2 个 值 从而得到其范围 由坐标的设置和被加工锥齿轮 节线的旋向可知参数t 的意义 范围的取法和参数 t 完全相同 而参数t 因锥齿轮1 是右旋 用作图法 求其范围时应把铣刀盘中心放在第一象限 用公式 法时应把 0 式中的已知数据v 由负换成正 2 3 用三维图示表示节线关系 把锥齿轮1 节线的参数方程 5 和锥齿轮2 节 线的参数方程 6 分别代人方程 3 和方程 4 中 取 妒 一o 3 1 0 并取已知数据i 艿 r 卢等参数代入 方程 3 和 4 这样就可以求出锥齿轮1 与锥齿轮 2 作纯滚动时 锥齿轮1 分别旋转0 3 1 0 时其节 线与锥齿轮2 节线的瞬时啮合情况 把得到的6 个 参数方程式分别输入s o l i d w o r d s 进行两节线三维 瞬时啮合情况的造型 t 4 5 5 5 4 37 t z 一 伊h p o h s o s 飞 万方数据 第1 期谷计划 等 格利森弧齿锥齿轮啮合传动节线的数学原理 7 5 0 7 3 94 9 61 8 其结果如图7 至图9 示 图7 节线啮合情况 f i g 7t h ep i t c hl i n em e s h i n gm a p 图8 节线啮合的放大图 f i g 8 t h ee n l a r g e dp i t c hl i n em e s h i n gm a p 图9隐藏节圆锥后的节线啮合情况 f i g 9 t h ep i t c hl i n em e s h i n gm a pa f t e rc o n c e a l e dp i t c h 从图7 至图9 中可以看出 当取不同的妒t 时 两节线连续接触 另外取不同的9 时把相应的 t 取值代入方 程 3 和 4 中 可以得到方程 3 与方程 4 的差值 等于零 可以更精确地说明节线连续接触 取相应t t 值的步骤为 1 由节线的推导过程可知关系式铆一 t 由确定的转角9 可得到相应的t 2 由鼽与妒 的关系可知仍 t 2 由确定 的转角妒 可以得到相应的t z 3 结论 运用空间几何的方法对弧齿锥齿轮的节线进行 了精确的推导 为弧齿锥齿轮的三维实体精确造型 参数化以及重合度的精确推导提供了理论基础 利 用所推出的节线方程证明了锥齿轮副传动时的节线 是连续接触的 实现了定性分析和定量推导的统一 同时也反过来验证了节线方程的正确性 再则 在弧 齿锥齿轮的节线方程推导过程中运用由一般性 平 面扇形上的任意曲线 到其特殊性 平面扇形中确定 位置的一段圆弧 的方法 可以为其他齿形锥齿轮的 节线方程的推导提供一个模板 需要说明的是 本文从理想的假想平面齿轮与 被加工锥齿轮的啮合出发探讨了加工中的理论问 题 这种 理想 的情况对于加工等高齿弧齿锥齿轮 副来说是正确的 因等高齿弧齿锥齿轮副用完全共 轭方法可以加工出来 而对于渐缩齿弧齿锥齿轮的 加工 为了在展成齿面的同时加工出齿根曲面 刀盘 的刀尖平面应该与工件的根锥相切 这就造成了用 一个假想平面齿轮无法加工渐缩齿弧齿锥齿轮副的 情况 即加工渐缩齿弧齿锥齿轮不能像加工等高齿 弧齿锥齿轮那样可以用间接展成法完全共轭而成 所以加工渐缩齿时采用的是先加工大齿轮然后配小 齿轮的 失配 设计 3 q 这样就会造成以完全共轭方 法加工的齿轮节线与 失配 设计原理加工的齿轮节 线两者之间存在误差 如沿某一方向法曲率及短程 挠率 限于篇幅本文没有考虑这个误差影响情况 但这一误差可以通过数学计算获得 并通过调整一 些参数 如加工小轮的铣刀盘参数 来弥补这一误 差 使之可用本文推导的理论为基础进行分析 从而 为研究渐缩齿加工中的理论难点提供一种方法 参考文献 1 王知行 邓宗全 机械原理 m 北京 高等教育出版社 2 0 0 6 3 4 7 3 5 1 w a n gz h i h a n g d e n gz o n g q u a n p r i n c i p l eo fm a c h i n e r y m b e i j i n g h i g h e re d u c a t i o np r e s s 2 0 0 6 3 4 7 3 5 1 2 吴圣庄 金属切削机床 m 北京 机械工业出版社 1 9 8 4 9 7 1 3 0 w us h e n g z h u a n g m e t a l c u t t i n gm a c h i n et o o l m b e r i n g m e c h a n i c a li n d u s t r yp r e s s 1 9 8 4 9 7 1 3 0 3 曾韬 螺旋锥齿轮设计与加工 m 哈尔滨 哈尔滨工业 大学出版社 1 9 8 9 1 3 0 1 6 0 z h e n gt a o t h ed e s i g na n dp r o c e s s i n gs p i r a lb e v e l g e a r m h a r b i n h a r b i ni n s t i t u t eo ft e c h n o l o g y p r e s s 1 9 8 9 1 3 0 1 6 0 4 郑昌启 弧齿锥齿轮和准双曲面齿轮的齿面接触分析计 算原理 j