第一章 第三节 量词、逻辑联结词.ppt

第三节量词 逻辑联结词 1 量词及其命题 1 全称量词与全称命题 全称量词 在指定范围内 表示整体或全部的含义的词 例如 全称命题 含有 的命题 所有 每一个 任何 任意一条 一切 全称量词 2 存在量词与特称命题 存在量词 表示个别或一部分的含义的词 例如 特称命题 含有 的命题 有些 至少有一个 有一个 存在 存在量词 2 全称命题与特称命题的否定 1 要说明一个全称命题是错误的 只需找出 即要说明这个全称命题的 是正确的 全称命题的否定是 命题 2 要说明一个特称命题 存在一些对象满足某一性质 是错误的 就要说明 都不满足这一性质 实际上是要说明这个特称命题的 是正确的 特称命题的否定是全称命题 一个反例 否定 特称 所有的对象 否定 3 逻辑联结词 1 逻辑联结词通常是指 2 命题p且q p或q p的真假判断 真 真 假 假 真 假 假 真 真 假 假 真 且 或 非 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 命题p且q为假命题的充要条件是命题p q至少有一个假命题 2 命题p或q为假命题的充要条件是命题p q至少有一个假命题 3 命题p p可能都是真命题 4 如果一个全称命题是真命题 则这个命题就是一个一般性结论 5 如果一个特称命题是真命题 则这个命题就是一个一般性结论 解析 1 正确 命题p且q 只有当p q同时为真时才是真命题 故命题p且q为假命题的充要条件是命题p q至少有一个假命题 2 错误 命题p或q 只有当p q同时为假命题时才是假命题 3 错误 一个命题与其否定一定是一个为真命题 一个为假命题 4 正确 由于全称命题是对任意对象都成立的一个命题 当全称命题为真时就是一个一般性结论 5 错误 特称命题是对个别对象成立的命题 这个命题为真只是对个别对象为真 故其不是一个一般性结论 答案 1 2 3 4 5 1 已知命题 p且q 为假命题 则可以肯定 A p为真命题 B q为假命题 C p q中至少有一个是假命题 D p q都是假命题 解析 选C 若命题 p且q 为假命题 则命题p q中至少有一个是假命题 2 若命题 p且q 为假 且 p 为假 则 A p或q 为假 B q假 C q真 D p假 解析 选B p 为假 则p为真 而p且q为假 得q为假 3 如果命题 非p或非q 是假命题 给出下列四个结论 命题 p且q 是真命题 命题 p且q 是假命题 命题 p或q 是真命题 命题 p或q 是假命题 其中正确的结论是 A B C D 解析 选A 非p或非q 是假命题 可得 非p 与 非q 均为假命题 即p q均为真命题 故结论 正确 4 已知命题p 对于任意实数x 都有sinx 1 则 A p 存在一个实数x sinx 1 B p 对于任意实数x 都有sinx 1 C p 存在一个实数x sinx 1 D p 对于任意实数x 都有sinx 1 解析 选C p是对p的否定 故有 p 存在一个实数x sinx 1 5 命题 对一切非零实数x 总有 的否定是 它是 命题 填 真 或 假 解析 存在一个不为0的实数x 使得这个命题是真命题 例如 x 2 则x R x 0 答案 存在一个不为0的实数x 使得真 考向1含有逻辑联结词的命题的真假问题 典例1 1 命题p 函数f x x3 3x在区间 1 1 内单调递减 命题q 函数f x sin2x 的最小正周期为 则下列命题为真命题的是 A p且q B p 或q C p或q D p 且 q 2 已知命题p 方程x2 mx 1 0有实数解 命题q x2 2x m 0对任意x恒成立 若命题q或 p且q 真 p真 则实数m的取值范围是 思路点拨 1 首先判断命题p q的真假 再根据含有逻辑联结词的命题真假判断方法逐项进行判断 2 根据命题q或 p且q 真 真可得命题p q的真假 然后根据方程和不等式的知识得出m的取值范围 规范解答 1 选C 由f x 3x2 3 0 解得 1 x 1 故函数f x x3 3x在区间 1 1 内单调递减 即命题p为真命题 函数y sin2x的最小正周期为 则函数f x sin2x 的最小正周期为即命题q为假命题 由于p真 q假 故p且q为假命题 p或q为真命题 由于 p假 q假 故 p 或q为假命题 由于 p假 q真 故 p 且 q 为假命题 2 由于 p真 所以p假 则p且q假 又q或 p且q 真 故q真 即命题p假 q真 当命题p假时 即方程x2 mx 1 0无实数解 此时m2 41 所以所求的m的取值范围是1 m 2 答案 1 2 互动探究 题 2 中 命题p q不变 若命题p或q为真 则m的取值范围是 解析 命题p或q为真时 p q至少有一个为真 若命题p真 q假 则m 2或m 2 且m 1 此时m 2 若命题p假 q真 则 21 此时11 此时m 2 故命题p或q为真时 m的取值范围是 2 1 答案 2 1 拓展提升 含逻辑联结词命题真假的等价关系 1 p或q真 p q至少一个真 p 且 q 假 2 p或q假 p q均假 p 且 q 真 3 p且q真 p q均真 p 或 q 假 4 p且q假 p q至少一个假 p 或 q 真 5 p真 p假 p假 p真 变式备选 已知命题p 存在一个实数x 使命题q x2 3x 2 0的解集是 x 1 x 2 下列结论 命题 p且q 是真命题 命题 p且 q 是假命题 命题 p 或q 是真命题 命题 p 或 q 是假命题 其中正确的是 A B C D 解析 选D 命题p是真命题 命题q也是真命题 所以 p q是假命题 从而得 都正确 考向2全称命题 特称命题的真假判断 典例2 1 2012 福建高考改编 下列命题中 真命题是 A 存在实数x 使得ex 0 B 对任何实数x 都有2x x2 C a b 0的充要条件是 D a 1 b 1是ab 1的充分条件 2 下列命题为假命题的是 A 对任意实数x 恒有x2 x 1 0 B 存在实数x 使得ex x 1 C 至少有一个实数a 使得f x x3 ax在 单调递增 D 对于任意实数a 函数f x x2 ax a都存在零点 思路点拨 1 根据函数 不等式等知识逐项分析即可 2 只要根据不等式 函数 方程的知识进行推证即可 注意全称命题和特称命题为真的区别 规范解答 1 选D 根据指数函数性质 对于任意实数x ex 0为真 故其否定存在实数x 使ex 0为假 即选项A中的命题为假 根据指数函数与二次函数知识 在 1 上此时2x1 b 1 ab 1 但反之不真 故选项D中的命题为真 2 选D 由于对任意实数x恒成立 故选项A中的命题为真命题 令y ex y x 1 结合两个函数的图象可知这两个函数的图象存在公共点 故 存在实数x 使ex x 1 为真命题 f x 3x2 a 只要a 0 f x 0即在 上恒成立 函数f x x3 ax即在 上单调递增 故选项C中的命题为真命题 由于 a2 4a 当 0 即0 a 4时 函数f x x2 ax a不存在零点 故 对于任意实数a 函数f x x2 ax a都存在零点 是假命题 拓展提升 全称命题与特称命题真假的判断方法 变式训练 下列命题中 真命题是 A 存在实数m 使函数f x x2 mx x R 是偶函数 B 存在实数m 使函数f x x2 mx x R 是奇函数 C 对于任意实数m 使函数f x x2 mx x R 都是偶函数 D 对于任意实数m 使函数f x x2 mx x R 都是奇函数 解析 选A 当m 0时 f x x2是偶函数 故选A 2 已知a 0 函数f x ax2 bx c 若m满足关于x的方程2ax b 0 则下列选项中的命题为假命题的是 A 存在实数x f x f m B 存在实数x f x f m C 任意x R f x f m D 任意x R f x f m 解析 选C 由2am b 0 得m 又a 0 f m 是函数f x 的最小值 即任意x R 有f x f m 考向3含有一个量词的命题的否定 典例3 1 2012 辽宁高考 已知命题p 任意x1 x2 R f x2 f x1 x2 x1 0 则为 A 存在x1 x2 R f x2 f x1 x2 x1 0 B 任意x1 x2 R f x2 f x1 x2 x1 0 C 存在x1 x2 R f x2 f x1 x2 x1 0 D 任意x1 x2 R f x2 f x1 x2 x1 0 2 存在a R 函数是R上的奇函数 的否定是 思路点拨 1 已知命题是一个全称命题 其否定是一个特称命题 2 已知命题是一个特称命题 其否定是全称命题 注意 奇函数 的否定为 不是奇函数 规范解答 1 选C 由于对任意的x1 x2 R都有 f x2 f x1 x2 x1 0 要否定这个命题 则只要存在x1 x2 R 使 f x2 f x1 x2 x1 0不成立即可 即使得 f x2 f x1 x2 x1 0 故已知命题的否定是 存在x1 x2 R f x2 f x1 x2 x1 0 2 存在a R 函数是R上的奇函数 的否定就是 任意a R 函数不是R上的奇函数 答案 任意a R 函数不是R上的奇函数 拓展提升 对全 特 称命题进行否定的方法 1 找到命题所含的量词 没有量词的要结合命题的含义加上量词 再进行否定 2 找到p x 并否定 变式训练 1 2013 六安模拟 命题 存在x R 2x 0 的否定是 A 不存在x R 2x 0 B 存在x R 2x 0 C 对任意的x R 2x 0 D 对任意的x R 2x 0 解析 选D 特称命题的否定是全称命题 2 2013 合肥模拟 命题 对任意x R 都有x2 1 2x 的否定是 A 不存在x R 使得x2 1 2x B 存在x R 使得x2 1 2x C 不存在x R 使得x2 1 2x D 存在x R 使得x2 1 2x 解析 选D 全称命题的否定是特称命题 易错误区 命题的否定与否命题相混 典例 2012 湖北高考 命题 存在一个无理数 它的平方是有理数 的否定是 A 任意一个有理数 它的平方是有理数 B 任意一个无理数 它的平方不是有理数 C 存在一个有理数 它的平方是有理数 D 存在一个无理数 它的平方不是有理数 误区警示 本题易出现的错误是 1 把命题的否定与命题的否命题相混淆致误 2 没有改写量词或未对结论进行否定 规范解答 选B 否定 存在一个无理数 它的平方是有理数 这个论断 只要对于所有的无理数 它的平方不是有理数 即 任意一个无理数 它的平方不是有理数 思考点评 1 命题的否定与否命题的真假关系命题的否定是否定这个命题的结论 否命题是指对 若p 则q 形式的命题 把否定的条件作条件 否定的结论作结论得出的形式上的命题 若p 则q 这两个命题的真假没有必然的联系 但是一个命题及其否定中一定是一个为真一个为假 2 含有量词的命题的否定对于全 特 称命题 在写出其否定时 都从两个方面进行 一是对量词进行改写 二是对命题的结论进行否定 两者缺一不可 1 2013 南昌模拟 下列命题正确的是 A 已知则 B 存在实数x R 使成立 C 若命题p 对任意的x R x2 x 1 0 则 p 对任意的x R x2 x 1 0 D 若命题p或q为假命题 则p q均为假命题 解析 选D p等价于x 1 p即x 1 但等价于x 1 故选项A中的命题不正确 由于故选项B中的命题不正确 全称命题的否定为特称命题 故选项C中的命题不正确 根据含有逻辑联结词的命题真假的判断方法知 选项D中的命题正确 2 2013 福州模拟 下列关于命题的说法错误的是 A 命题 若x2 3x 2 0 则x 1 的逆否命题为 若x 1 则x2 3x 2 0 B a 2 是 函数f x logax在区间 0 上为增函数 的充分不必要条件 C 若命题p 存在n N en 300 则 p 任意n N en 300 D 命题 存在x 0 ex x 是真命题 解析 选D 根据逆否命题的构成可知选项A中的说法正确 a 2 函数f x logax在区间 0 上为增函数 反之只要a 1即可 选项B中的说法正确 特称命题的否定是全称命题 选项C中的说法正确 根据指数函数性质 当x x 选项D中的说法不正确 3 2012 安徽高考 命题 存在实数x 使x 1 的否定是 A 对任意实数x 都有x 1 B 不存在实数x 使x 1 C 对任意实数x 都有x 1 D 存在实数x 使x 1 解析 选C 存在 的否定为 任意 x 1 的否定是 x 1 4 2013 牡丹江模拟 在下列结论中 正确的结论为 1 p且q 为真是 p或q 为真的充分不必要条件 2 p且q 为假是 p或q 为真的充分不必要条件 3 p或q 为真是 p 为假的必要不充分条件 4 p 为真是 p且q 为假的必要不充分条件 A 1 2 B 1 3 C 2 4 D 3 4 解析 选B p且q为真时p q均为真 此时p或q一定为真 而p或q为真时只要p q至少有一个为真即可 故 p且q 为真是 p或q 为真的充分不必要条件 结论 1 正确 p且q为假 可能p q均假 此时p或q为假 结论 2 不正确 p或q为真时 可能p假 此时 p为真 但 p为假时 p一定为真 此时p或q为真 结论 3 正确 p为真时 p假 此时p且q一定为假 条件是充分的 但在p且q为假时 可能p真 此时 p为假 故 p 为真是 p且q 为假的充分不必要条件 结论 4 不正确 5 2013 重庆模拟 下列有关命题的说法正确的是 A 命题 若xy 0 则x 0 的否命题为 若xy 0 则x 0 B 若x y 0 则x y互为相反数 的逆命题为真命题 C 命题 存在实数x 使得2x2 1 0 的否定是 对任意实数x 均有2x2 1 0 D 命题 若cosx cosy 则x y 的逆否命题为真命题 解析 选B 若xy 0 则x 0 的否命题为 若xy 0 则x 0 所以A错误 若x y 0 则x y互为相反数 的逆命题为 若x y互为相反数 则x y 0 正确 存在实数x 使得2x2 1 0 的否定是 对任意实数x 均有2x2 1