高考数学名师精讲-专题9：《高考解题中的数学思想》ppt精编课件.ppt

QG 理科 数学 数学 数学 数学 数学思想方法是对数学知识最高层次的提炼与概括 数学思想方法较之数学知识具有更高的层次 具有理性的地位 它是一种数学意识 属于思维和能力的范畴 它是数学知识的精髓 是知识转化为能力的桥梁 纵观近几年的高考试题 都加大了对数学思想方法的考查 把数学思 想方法的考查寓于各部分知识的考查之中 以知识为载体 着重考查能力与方法题目很常见 预测2018年高考中 还会有较多的题目以数学知识为背景 考查数学思想方法 对数学思想方法的考查不会削弱 会更加鲜明 更加重视 函数与方程的思想 函数思想 就是运用运动和变化的观点 集合与对应的思想 去分析和研究数学问题中的等量关系 建立或构造函数关系 再运用函数的图象和性质去分析问题 达到转化问题的目的 从而使问题获得解决的思想 方程思想 就是从问题的数量关系入手 运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型 方程或方程组 通过解方程或方程组 或 者运用方程的性质去分析 转化问题 使问题获得解决的思想 运用函数思想解决问题主要从下面四个方面着手 一是根据方程与函数的密切关系 可将二元方程转化为函数来解决 二是根据不等式与函数的密切关系 常将不等式问题转化为函数问题 利用函数的图象和性质进行处理 三是在解决实际问题时 常涉及最值问题 通常是通过建立目标函数 利用求函数最值的方法加以解决 四是中学数学中的某些数学模型 如数列的通项或前n项和 可转化为函数问题 利用函数相关知识或借助处理函数问题的方法进行解决 运用方程思想解决问题主要从以下四个方面着手 一是把问题中对应的已知量与未知量建立相等关系 统一在方程中 通过解方程解决 二是从分析问题的结构入手 找出主要矛盾 抓住某一个关键变量 将等式看成关于这个主变元 常称为主元 的方程 利用方程的特征解决 三是根据几个变量间的关系 符合某些方程的性质和特征 如利用根与系数的关系构造方程等 通过研究方程所具有的性质和特征解决 四是中学数学中常见的数学模型 如函数 曲线等 经常转化为方程问题去解决 热点一 构造函数性质解题 在解有关求值 解 证 不等式 解方程以及讨论参数的取值范围等问题时 常通过构造函数 借助有关初等函数的性质求解 解析 法一 如图 由已知AB 2 AD 1 A 可得AD BD 又因为 可得 CN 2 BM 若设 BM x 0 x 1 则 CN 2x 1 x x 1 可知 x 1 x 1 x 1 x 4 1 x x x2 2x 5 x 1 2 6 在0 x 1时 为 2018年 上海 在平行四边形ABCD中 A 边AB AD的长分别为2 1 若M N分别是边BC CD上的点 且满足 则 的取值范围是 减函数 所以2 5 答案为 2 5 法二 由法一 可知如图建立平面直角坐标系xDy 设 BM a 0 a 1 则 CN 2a DN 2 1 a 故A 0 1 C 1 M a a 1 1 a 0 1 1 a 1 a a 2 可得 a2 2a 5 a 1 2 6 可得2 5 答案 2 5 归纳拓展 本题将向量数量积转化为以x或a为变量的函数 然后通过函数的值域求出取值范围 利用函数求最值时要注意自变量的取值范围 如本题中如果忽视0 x或a 1 将得出错误的范围 热点二 构造函数模型解题 在解决应用问题时 将变量间的等量关系转化为函数关系 通过建立函数关系式或构造中间函数 把所研究的问题转化为讨论函数问题 达到化难为易 化繁为简的目的 1 设生产A部件的人数为x 分别写出完成A B C三种部件生产需要的时间 2 假设这三种部件的生产同时开工 试确定正整数k的值 使完成订单任务的时间最短 并给出时间最短时具体的人数分组方案 2018年 湖南 某企业接到生产3000台某产品的A B C三种部件的订单 每台产品需要三种部件的数量分别为2 2 1 单位 件 已知每个工人每天可生产A部件6件 或B部件3件 或C部件2件 该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件 生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比 比例系数为k k为正整数 解析 1 设完成A B C三种部件的生产任务需要的时间 单位 天 分别为T1 x T2 x T3 x 由题设有T1 x T2 x T3 x 其中x kx 200 1 k x均为1到200之间的正整数 2 完成订单任务的时间为f x max T1 x T2 x T3 x 其定义域为 x 0 x x N 易知 T1 x T2 x 为减函数 T3 x 为增函数 注意到T2 x T1 x 于是 当k 2时 T1 x T2 x 此时f x max T1 x T3 x max 由函数T1 x T3 x 的单调性知 当 时f x 取得最小值 解得x 由于44 45 而f 44 T1 44 f 45 T3 45 f 44 f 45 故当x 44时完成订单任务的时间最短 且最短时间为f 44 当k 2时 T1 x T2 x 由于k为正整数 故k 3 此时 记T x x max T1 x T x 易知T x 是增函数 则f x max T1 x T3 x max T1 x T x x max 由函数T1 x T x 的单调性知 当 时 x 取最小值 解得x 由于36 37 而 36 T1 36 37 T 37 此时完成订单任务的最短时间大于 当k 2时 T1 x T2 x 由于k为正整数 故k 1 此时f x max T2 x T3 x max 由函数T2 x T3 x 的单调性知 当 时f x 取最小值 解得x 类似 讨论 此时完成订单任务的最短时间为 大于 综上所述 当k 2时 完成订单任务的时间最短 此时 生产A B C三种部件的人数分别为44 88 68 归纳拓展 本题为函数的应用题 考查分段函数 函数单调性 最值等 考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力 其中根据题目变量关系 建立函数模型是解决本题的关键 热点三 函数 方程 不等式的转化 在解决函数 方程 不等式问题时 我们经常利用三者的联系进行转化 若将变量间的等量关系看成函数关系 则可以将等量关系式转化成函数 这时妙用函数的有关性质 值域 与坐标轴交点情形等 就可解决问题 若将等量关系式看成关于某个未知量的方程 则利用解方程或考虑根的情形可求得变量 若可将变量间的不等量关系式看成关于某个未知量的不等式 则解这个不等式可求得这个变量的取值范围 已知f x xlnx g x x2 ax 3 若对一切的x 0 2f x g x 恒成立 则实数a的取值范围为 解析 2xlnx x2 ax 3 则a 2lnx x 设h x 2lnx x x 0 则h x 当x 0 1 时 h x 0 h x 单调递减 当x 1 时 h x 0 h x 单调递增 h x min h 1 4 对一切x 0 2f x g x 恒成立 a h x min 4 答案 后通过导数判断单调性 求出最值 在多个字母变量的问题中 选准 主元 往往是解题的关键 一般地 在一个含有多个变量的数学问题中 确定合适的变量和参数 从而揭示函数关系 使问题更明朗化 或者含有参数的函数中 将函数自变量作为参数 而参数作为函数 更具有灵活性 从而巧妙地解决有关问题 归纳拓展 本题将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题 然 热点四 方程在解析几何中的应用 在解析几何中 我们经常将直线与圆 圆锥曲线的位置关系 转化为对应的方程 从方程的角度来研究 分析问题 2018年 广东 在平面直角坐标系xOy中 已知椭圆C1 1 a b 0 的左焦点为F1 1 0 且点P 0 1 在C1上 1 求椭圆C1的方程 2 设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2 y2 4x相切 求直线l的方程 解析 1 由题意得 故所求的椭圆方程为 y2 1 2 由题意可知切线的斜率一定存在 设直线l的方程为y mx n 由 y2 4 my2 4y 4n 0 由题意得 4 2 4m 4n 0 mn 1 又由 x2 2 mx n 2 2 1 2m2 x2 4mnx 2 n2 1 0 又由题意得 4mn 2 4 1 2m2 2 n2 1 0 n2 2m2 1 由 得或 故直线l的方程为y x 或y x 归纳拓展 本题利用方程的曲线将曲线有切点的几何问题转化为方程有实解的代数问题 一般地 当给出方程的解的情况求参数的范围时可以考虑应用 判别式法 其中特别要注意解的范围 总结 1 函数和方程是密切相关的 对于函数y f x 当y 0时 就转化为方程f x 0 也可以把函数式y f x 看做二元方程y f x 0 2 函数与不等式也可以相互转化 对于函数y f x 当y 0时 就转化为不等式f x 0 借助于函数图象与性质解决有关问题 而研究函数的性质 也离不开解不等式 3 数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数 用函数的观点处理数列问题十分重要 4 函数f x 1 x n n N 与二项式定理是密切相关的 利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题 5 解析几何中的许多问题 例如直线和二次曲线的位置关系问题 需要通过解二元方程组才能解决 涉及二次方程与二次函数的有关理论 6 立体几何中有关线段 角 面积 体积的计算 经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法解决 化归与转化的思想 转化与化归的思想 就是在研究和解决数学问题时采用某种方式 借助某种函数性质 图象 公式或已知条件将问题通过变换加以转化 进而达到解决问题的思想 等价转化有一些模式可以遵循 总是将 抽象转化为具体 化复杂为简单 高维向低维的转化 多元向一元的转化 高次向低次的转化等 化未知为已知 化归与转化思想的实质是揭示联系 实现转化 除极简单的数学问题外 每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的 从这个意义上讲 解决数学问题就是从未知向已知转化的过程 是一步步转化的过程 历年高考 等价转化思想无处不见 我们要不断培养和训练自觉的转化意识 这将有利于强化解决数学问题的应变能力 提高思维能力和技能 热点一 一般问题与特殊问题的化归 特殊 问题往往比 一般 问题显得简单 直观和具体 容易解决 并且在特殊问题的解决过程中 常常孕育着一般问题的解决方法 有些数学问题 由于其特殊数量或位置关系 孤立地考察问题本身 造成我们只见 树木 不见 森林 难以解决 因此解题时 我们常常将一般问题与特殊问题进行转化 C n 1 D A 2n 1 B n 1 2 2018年 山东 如图 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1 E F分别为线段AA1 B1C上的点 则三棱锥D1 EDF的体积为 1 已知数列 an 的前n项和为Sn a1 1 Sn 2an 1 则Sn等于 解析 1 由Sn 2an 1可得Sn 2 Sn 1 Sn 即Sn 1 Sn S1 a1 1 故 Sn 是首项为1 公比为的等比数列 故Sn n 1 2 1 1 1 答案 1 B 2 归纳拓展 1 选取数列的特殊项 2 选取了特殊的E F位置 显然 当一般成立时 利用一般到特殊的转化更简单 热点二 正向思维与逆向思维的化归 在数学解题中 通常的思维方式是从已知到结论 然而有些数学题按照这种思维方式解则比较困难 而且常常伴随着较大的运算量 有时甚至无法解决 在这种情况下 我们要多注意定理 公式 规律性例题的逆用 正难则反往往可以使问题更简单 解析 假设抛物线上两点 x1 x2 关于直线y m x 3 对称 显然m 0 于是有 m x1 x2 3 试求常数m的范围 使曲线y x2的所有弦都不能被直线y m x 3 垂直平分 则2 x1 6m 1 0 因为存在x1 R使上式恒成立 2 8 6m 1 0 即 2m 1 6m2 2m 1 0 因为6m2 2m 1 0恒成立 所以2m 1 0 所以m 即当m 时 抛物线上存在两点关于直线y m x 3 对称 所以当m 时 曲线y x2的所有弦都不能被直线y m x 3 垂直平分 归纳拓展 在解答问题时 正难则反是转换的一种有效手段 通常适用于正面情况比较多或者不容易求解时 如本题中问题的反面是存在一条弦能被直线y m x 3 垂直平分 解出问题反面m的范围 则原问题就出来了 热点三 命题与等价命题的化归 由命题A 或问题A 可推出命题B 或问题B 反之 命题B 或问题B 亦可推出命题A 或问题A 即A与B互为充要条件时 称为A与B等价 利用这种等价性将原命题 或原问题 转化成易于处理的新命题 或新问题 的方法可以把不熟悉的问题向熟悉的问题转化 2018年 江苏 在平面直角坐标系xOy中 圆C的方程为x2 y2 8x 15 0 若直线y kx 2上至少存在一点 使得以该点为圆心 1为半径的圆与圆C有公共点 则k的最大值为 解析 直线y kx 2上至少存在一点 使得以该点为圆心 1为半径的 圆与圆C有公共点等价于直线y kx 2与圆 x 4 2 y2 4相切于T 以切点T为圆心 1为半径的圆T与圆C相外切 即有公共点 如图 tanA tan BCA 所以k的最大值tan TBC tan2A 答案 归纳拓展 本题通过等价转化 将两圆的位置关系转化为圆心距关系 然后转化为点到直线的距离 最终求出最值 总结 常见的化归方法 1 换元法 例如利用 换元 将无理式化为有理式 高次问题化为低次问题 2 数形结合法 把形 数 转化为数 形 数形互补 互换获得问题的解题思路 3 向量法 复数法 把问题转化为向量 复数 问题 4 参数法 通过引入参数 转化问题的形式 易于解决 5 建模法 构造数学模型 把实际问题转化为数学问题或把一类数学问题转化为另一类数学问题 6 坐标法 以坐标为工具 实现 数 形 的对应 转化 8 特殊化法 将一般问题特殊化 从特殊问题的解题思路中 寻找一般问题的解题策略 9 一般化方法 有时问题的本质特征可能被具体问题所掩盖 这时应把特殊问题一般化 寻找解题思路 10 加强命题法 即把命题结论加强为原命题的充分条件 11 正与反的转化 12 函数与方程 不等式之间的转化 13 空间与平面之间的转化 14 整体与局部的转化等等 分类讨论的思想 在研究和解决数学问题时 当问题所给对象不能进行统一研究 我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点 将对象区分为不同种类 然后逐类进行研究和解决 从而达到解决整个问题的目的 这一思想方法 我们称它为 分类讨论的思想 解答分类讨论问题时 我们的基本方法和步骤是 首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围 其次确定分类标准 正确进行合理分类 即标准统一 不漏不重 分类互斥 没有重复 再对所分类逐步进行讨论 分级进行 获取阶段性结果 最后进行归纳小结 综合得出结论 热点一 根据数学概念 公式 定理 性质的条件分类讨论 当问题中涉及的数学概念 定理 公式和运算性质 法则有范围或条件限制 或者是分类给出的 在不同的条件下有不同的结论 或在一定的限制条件下才成立 需要分类讨论 A 0 B 1 C 1 D 2 2 2018年 江西 在实数范围内 不等式 2x 1 2x 1 6的解集为 1 2018年 全国新课标 当0 x 时 4x logax 则a的取值范围是 解析 1 由题意得 当0 a 1时 要使得4x logax 0 x 即当0 x 时 函数y 4x在函数y logax图象的下方 又当x 时 2 即函数y 4x过点 2 把点 2 代入函数y logax得a 即 a 1 当a 1时 不符合题意 舍去 所以实数a的取值范围是 a 1 故选B 2 原不等式可化为 或 或 解得 x 即原不等式的解集为 x x 答案 1 B 2 x x 归纳拓展 1 中由于对数函数的概念中底数不同 函数单调性不同 进行了分类讨论 2 中因为去绝对值进行了分类讨论 类似的还有 直线的斜率 三种圆锥曲线的定义及位置 等比数列公比等 热点二 根据参数的变化情况分类讨论 一般地 遇到题目中含有参数的问题 常常结合参数的意义和对结果的影响而进行分类讨论 如函数性质的应用 求最值 一元二次方程根的判断 直线斜率等 1 求集合D 用区间表示 2 求函数f x 2x3 3 1 a x2 6ax在D内的极值点 2018年 广东 设a0 B x R 2x2 3 1 a x 6a 0 D A B 解析 1 设g x 2x2 3 1 a x 6a 9a2 30a 9 3 a 3 3a 1 当 a 1时 方程g x 2x2 3 1 a x 6a 0的判别式 9a2 30a 9 0 D 0 当a 时 0 此时B x x 1 D 0 1 1 当a0 方程g x 2x2 3 1 a x 6a 0 有解为x1 x2 且x1 0 x2 D x2 当00 g 0 6a 0 0 方程g x 2x2 3 1 a x 6a 0 有解为x1 x2 且0 x1 x2 D 0 x1 x2 0 当a 0时 x1 x2 1 a 0 g 0 6a0 方程g x 2x2 3 1 a x 6a 0 有解为x1 x2 且x1 0 x2 D x2 2 f x 6 x2 1 a x a 6 x a x 1 又a 1 f x 在R上的单调性如下表 当 a 1时 D 0 f x 2x3 3 1 a x2 6ax在D内有两个极值点a和1 当a 时 由 1 知D 0 1 1 所以f x 的极大值点为x 当0 a 时 1显然成立 1不成立 若a 成立 则3 a 解得a a 3 0 a 0 f x 2x3 3 1 a x2 6ax在D内有一个极大值点a 当a 0时 只须考虑矛盾 f x 2x3 3 1 a x2 6ax无极值点 综上 当a 0时 f x 在D内无极值点 当0 a 时 f x 在D内有一个极值点a 当a 时 f x 在D内有极大值点 当 a 1时 f x 在D内有两个极值点a和1 归纳拓展 本题进行了三次分类讨论 第一次是因为一元二次方程是否有根对 的讨论 第二次是因为求两集合交集对两根是否大于0的讨论 第三次是因为判断极值点的讨论 虽然每次都进行讨论 但是因为分类标准不同 因此对参数的讨论也不同 热点三 根据图形位置或形状变动分类讨论 一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括 二次函数对称轴位置的变动 函数问题中区间的变动 函数图象形状的变动 直线由斜率引起的位置变动 圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动 立体几何中点 线 面的位置变动等 1 求曲线C的方程 并讨论C的形状与m值的关系 2 当m 1时 对应的曲线为C1 对给定的m 1 0 0 对应的曲线为C2 设F1 F2是C2的两个焦点 试问 在C1上 是否存在点N 使得 F1NF2的面积S m a2 若存在 求tan F1NF2的值 若不存在 请说明理由 2018年 湖北 平面内与两定点A1 a 0 A2 a 0 a 0 连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹 加上A1 A2两点所成的曲线C可以是圆 椭圆或双曲线 解析 1 设动点为M 其坐标为 x y 当x a时 由条件可得 m 即mx2 y2 ma2 x a 又A1 a 0 A2 a 0 的坐标满足mx2 y2 ma2 故依题意 曲线C的方程为mx2 y2 ma2 当m 1时 曲线C的方程为 1 C是焦点在y轴上的椭圆 当m 1时 曲线C的方程为x2 y2 a2 C是圆心在原点的圆 当 1 m 0时 曲线C的方程为 1 C是焦点在x轴上的椭圆 当m 0时 曲线C的方程为 1 C是焦点在x轴上的双曲线 2 由 1 知 当m 1时 C1的方程为x2 y2 a2 当m 1 0 0 时 C2的两个焦点分别为F1 a 0 F2 a 0 对于给定的m 1 0 0 C1上存在点N x0 y0 y0 0 使得S m a2的充要条件是 由 得0 y0 a 由 得 y0 当0 a 即 m 0 或0 m 时 存在点N 使S m a2 当 a 即 1时 不存在满足条件的点N 当m 0 0 时 由 a x0 y0 a x0 y0 可得 1 m a2 ma2 令 r1 r2 F1NF2 则由 r1r2cos ma2 可得r1r2 从而S r1r2sin ma2tan 于是由S m a2 可得 ma2tan m a2 即tan 综上可得 当m 0 时 在C1上 存在点N 使得S m a2 且tan F1NF2 2 当m 0 时 在C1上 存在点N 使得S m a2 且tan F1NF2 2 当m 1 时 在C1上 不存在满足条件的点N 归纳拓展 在求解直线与圆锥曲线问题时 首先要判断圆锥曲线的类型 当不能作出判断的 要进行分类讨论 总结 常见的分类讨论问题有 1 由数学概念引起的分类讨论 如绝对值的定义 不等式的定义 二次函数的定义 直线与平面所成的角 直线的倾斜角 两条直线所成的角等 2 由数学运算要求引起的分类讨论 如除法运算中除数不为零 偶次方根为非负 对数中真数与底数的要求 不等式中两边同乘以一个正数 负数对不等号方向的影响等 3 由函数的性质 定理 公式的限制引起的分类讨论 4 由图形的不确定性引起的分类讨论 5 由参数的变化引起的分类讨论 某些含参数的问题 由于参数的取 值不同会导致所得结果不同 或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法 6 其他根据实际问题具体分析进行分类讨论 如排列 组合问题 应用问题等 数形结合的思想 数形结合思想 就是把问题的数量关系和图形结合起来考查的思想方法 即根据解决问题的需要 可以把数量关系的问题转化为图形的性质和特征去研究 或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题去研究 数形结合思想 不仅是一种重要的解题方法 而且也是一种重 要的思想方法 在高考中经常考查 数形结合的思想方法应用广泛 常见的如在解方程和解不等式问题中 在求函数的值域 最值问题中 在求三角函数问题中 运用数形结合思想 不仅直观易发现解题途径 而且能避免复杂的计算与推理 大大简化了解题过程 热点一 代数问题几何化 以形助数 以形助数就是根据数学问题中 数 的结构 构造出与之相应的几何图形 并利用几何图形的特征 规律来研究解决问题 这样可以化抽象为直观 易于显露出问题的内在联系 同时借助几何直观审题 还可以避免一些复杂的数字讨论 以形助数 中的 形 或有形或无形 若有形 则可为图表与模型 若无形 则可另行构造或联想 因此 以形助数 的途径大体有三种 一是运用图形 二是构造图形 三是借助于代数式的几何意义 2 2018年 江苏 已知正数a b c满足 5c 3a b 4c a clnb a clnc 则的取值范围是 1 2018年 天津 已知函数y 的图象与函数y kx 2的图象恰有两个交点 则实数k的取值范围是 解析 1 法一 数形结合图象法 要使函数y 与直线y kx 2恰好有两个交点 如图 因为y kx 2过定点B 0 2 所以0 k 1或1 k kBA 4 k的取值范围为 0 1 1 4 法二 直接法 要使函数y 与直线y kx 2恰好有两个交点 必须使直线y kx 2与函数两段每段各有一个交点 所以 当x 1 1 时 方程x 1 k1x 2得k1 1 在 1 与 1 单调递减 故k1 2 1 1 4 当x 1 1 由 x 1 k2x 2 k2 1 有x 1 0或k2 2 所以k1 2 0 则直线y kx与y 在每一段函数有且只有一个交点 那么k同时满足 故k 0 1 1 4 2 由题中条件可转化为 令 x y 题目转化为 已知x y满足求的取值范围 作出如图所示的可行域 其中C 0 5 3 5 可以求出过原点O与函数y ex的相切的切线是y ex 且切点P在A B之间 所以e kOC 7 所以的取值范围是 e 7 答案 1 0 1 1 4 2 e 7 归纳拓展 1 利用图象判断两函数的交点 或构造两函数判断方程解的问题时 要注意图象的准确性和全面性 2 本题中参数比较多 如果采用代数法很难求解 如果利用的几何意义 视为直线的斜率 就可以利用线性规划知识求解 热点二 几何问题代数化 以数辅形 以数辅形就是根据几何图形的特征 建立直角坐标系 或空间直角坐标 构造出与之相应的代数方程或函数解析式 并利用代数方程的运算来求解几何问题 运用代数方法研究几何问题 以数辅形 中的 数 一般是坐标的运算 因此 以数辅形 的途径大体有三种 一是解析几何 二是向量法 三是函数 1 2018年 四川 函数y ax a 0 且a 1 的图象可能是 2 2018年 江苏 如图 在矩形ABCD中 AB BC 2 点E为BC的中点 点F在边CD上 若 则 的值是 解析 1 法一 当a 1时 函数单调递增 由于01 此时函数图象向下平移超过1个单位 也即是与y轴交点应该在x轴下方 所以选择D 法二 由解析式知函数图象过点 1 0 所以选D 2 以AB作x轴 AD作y轴建立坐标系xOy 则A 0 0 B 0 C 2 E 1 设F x 2 x 2 0 因为 所以x x 1 1 1 2 所以 1 2 答案 1 D 2 归纳拓展 1 根据函数图象 判断函数解析式时 要从函数的单调性 对称性 正负性 变换趋势 特殊点等性质入手 2 本题如果采用基向量法很麻烦 但是利用向量的坐标运算 将各向量用坐标表示出来 转化为代数运算 问题变很简单了 总结 应用数形结合的思想 应注意以下数与形的转化 1 集合的运算及韦恩图 2 函数及其图象 3 数列通项及求和公式的函数特征及函数图象 4 方程 多指二元方程 及方程的曲线以形助数常用的有借助数轴 借助函数图象 借助单位圆 借助数式的结构特征 借助于解析几何方法以数助形常用的有借助于几何轨迹所遵循的数量关系 借助于运算结果与几何定理的结合 一 选择题 1 已知i为虚数单位 复数z1 a i z2 2 i 且 z1 z2 则实数a的值为 A 2 B 2 C 2或 2 D 2或0 解析 由 z1 z2 得 解得a 2 答案 C 2 已知 1 a b c R 则有 A b2 4ac B b2 4ac C b2 4ac D b2 4ac 解析 依题设有5a b c 0 是实系数一元二次方程ax2 bx c 0的一个实根 b2 4ac 0 b2 4ac 故选B 答案 B 3 2018年 大纲全国 已知 为第二象限角 sin 则sin2 A B C D 解析 由sin 及 在第二象限可知cos 故sin2 2sin cos 2 答案 A 4 函数f x x2 2x在区间上的值域是 则点 a b 的轨迹是图中的 A 线段AB和线段AD B 线段AB和线段CD C 线段AD和线段BC D 线段AC和线段BD 解析 作出函数f x x2 2x的图象 易知f 1 1 f 1 f 3 3 若a 1 则b 若b 3 则a 轨迹为线段AB和线段AD 答案 A 5 设a 1 则双曲线 1的离心率e的取值范围是 A 2 B C 2 5 D 2 解析 e2 2 1 1 2 所以当a 1时 0 1 所以2 e2 5 即 e 答案 B 6 2018年 重庆 设x y R 向量a x 1 b 1 y c 2 4 且a c b c 则 a b A B C 2 D 10 解析 因为a c 所以a c 0 即2x 4 0 解得x 2 由b c 得 4 2y 解得y 2 所以a 2 1 b 1 2 所以a b 3 1 所以 a b 答案 B 7 椭圆两焦点为F1 4 0 F2 4 0 P在椭圆上 若 PF1F2的面积的最大值为12 则该椭圆的标准方程为 A 1 B 1 C 1 D 1 解析 根据题意可设 1 a b 0 再设P x0 y0 则 PF1F2的面积为 F1F2 y0 8 y0 4 y0 4b 所以 此时4b 12 解得b 3 又c 4 所以a2 b2 c2 25 故椭圆的标准方程为 1 答案 A 8 若f x x2 bln x 2 在 1 上是减函数 则b的取值范围是 A 1 B 1 C 1 D 1 解析 由题意知 f x x 0在x 1 上恒成立 所以b x2 2x 因为y x2 2x在 1 上是增函数 所以x2 2x 1 故b 1 选C 答案 C 9 已知定义在R上的奇函数f x 满足f