《离散数学》浙大讲义.ppt

1 漫谈离散数学swimmingindiscretemathematics 2 什么叫数学 数学的研究对象是什么 数学家语录 1914年 几百个数学的定义 3 什么叫数学 数学的研究对象是什么 本身已如此一目了然 以致于没有任何词汇能够把他解说得更清楚的事物 绝不要试图给他下定义 以免被所使用的含混不清的词汇所欺骗 帕斯卡 法 17世纪 4 数学 心智的产物珀拉图 数学是研究数量的科学亚里士得多 5 数是一种离散的数量 线是一种连续的数量 研究数及其属性的学科叫做算术研究量及其属性的学科叫做几何 研究数和量的学科叫做数学亚里士得多 6 数学是研究顺序和度量的科学笛卡尔 顺序 数度量 量 7 数学 逻辑罗素 逻辑是数学的少年时代数学是逻辑的成年时代 数学是研究结构的科学布尔巴基学派 30年代 8 数学作为人类智慧的一种表达形式 反映生动活泼的意念 深入细致的思考 以及完美和谐的愿望 他的基础是逻辑和直觉 分析和推理 共性和个性 科朗 罗宾斯 美 数学是什么 1941年 9 数学的研究对象是客观世界的和逻辑可能的数量关系和结构关系丁孙石 数学是研究现实世界中量的关系的科学关肇直 10 研究离散结构的数学分科 辞海 discretemath 离散数学研究离散量的关系的一门科学 11 离散数学的内容 数理逻辑 mathematicslogic 集合论 sets 组合论 combination 图论 graphtheory 代数结构 algbrastructure 线性代数 linearalgbra 概率论 propobilitytheory 与高等数学的区别 12 example3 离散数学的由来与发展 一 古老历史 计数 自然数发展 图论 konigsberg七桥问题二 年青新生 计算机 二进制运算 13 definition2 离散数学课程设置 计算机系核心课程信息类专业必修课程其它类专业的重要选修课程 14 离散数学的后继课程 数据结构 编译技术 算法分析与设计 人工智能 数据库 15 离散数学课程的学习方法 强调 逻辑性 抽象性 注重 概念 方法与应用 16 example5 教材 discretemathematicsanditsapplication forthedition 1999 author kennethh resonpublisher mcgraw hill机械工业出版社 17 参考教材 1 离散数学 左孝琳 李为槛 刘永才 上海科技文献版 2 离散数学 计算机数学基础学习 陈德人 浙大版 3 discretemathematics forthedition richardjohnsonbaugh 4 discretemathematics revisededition biggs 5 discretemath elements liuchuanglaung 18 教学内容 数理逻辑 mathematicslogic 集合论 sets 组合论 combination 图论 graphtheory 代数结构 algbrastructure 计算模型 computingmodel 19 教学内容 1 foundation logic sets functions2 foundation algorithms theintegers matrices 20 教学内容 3 mathematicalreasoning4 counting5 advancedcountingtechniques6 relations 21 教学内容 7 graphs8 trees9 booleanalgebraaddothersystem10 modelingcomputation 22 教学网站 1 课程介绍2 网络资源导航3 学习讨论区4 教学课件5 作业及答案 23 相关网站 24 用一组基本的指令来编制一个计算机程序 非常类似于从一组公理来构造一个数学证明 d e knuth 设计方案 一 网站主要内容分为5块 1 课程介绍2 网络资源导航3 学习讨论区4 教学课件5 作业及答案其中又可分为 需经常更新部分 3 4和5以及不需更新部分 1和2制作原始模版时以此为根据 二 各个块的仔细说明 1 课程介绍已经找了一些离散数学的基本介绍 内容比较简单 即使以后有更新 内容也不会发生很大变化 维护容易2 网络资源导航介绍一些国内外优秀的离散数学网站 以及参考文献等 预计内容无重大变化 维护简单3 学习讨论区参考4 教学课件由于课件随上课进度逐步更新 为了方便维护 模版制作只提供课程目录 今后只需对目录进行维护5 作业及答案在台湾的一个离散数学网站中发现有网上测验的功能 但没法用 无法准确判题 实现作业答案的公布较为容易 参照课件更新的方法 三 制作进度1 模版完成2 讨论区测试中 四 存在的问题1 老师是否能够提供一些诸如 课程介绍 参考文献的一些资料以丰富内容2 讨论区是否还有别的特别要求3 课件的前面部分是不是可以先放上去4 作业及答案希望做到什么功能宋韶旭2002 9 25 陈德人emailadd drchen drchen homepage 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 26 基础部分 逻辑 logic 集合 sets 算法 algorithms 数论 numbertheory 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 27 1 1逻辑logic 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 28 逻辑学 研究推理的一门学科数理逻辑 用数学方法研究推理的一门数学学科 一套符号体系 一组规则 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 29 数理逻辑的内容 古典数理逻辑 命题逻辑 谓词逻辑现代数理逻辑 公理化集合论 递归论 模型论 证明论 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 30 命题proposition 一个有确定真或假意义的语句 命题逻辑propositionlogic 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 31 example1 allthefollowingstatementsarepropositions 1 washington d c isthecapitaloftheunitedstatesofamerica 2 torontoisthecapitalofcanada 3 1 1 2 4 2 2 3 propositions1and3aretrue whereas2and4arefalse 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 32 example2 considerthefollowingsentences 1 whattimeisit 2 readthiscarefully 3 x 1 2 4 x y z sentences1and2arenotpropositionsbecausetheyarenotstatements sentences3and4arenotpropositionsbecausetheyareneithertruenorfalse sincethevariablesinthesesentenceshavenotbeenassignedvalues variouswaystoformpropositionsfromsentencesofthistypewillbediscussedinsection1 3 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 33 命题的语句形式陈述句非命题语句 疑问句命令句感态句非命题陈述句 悖论语句 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 34 命题的符号表示 大小写英文字母 p q r p q r 命题真值 truthvalues 的表示 真 t 1假 f 0 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 35 命题语句真值确定的几点说明 1 时间性2 区域性3 标准性命题真值间的关系表示 真值表 truthtable 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 36 definition1 letpbeaproposition thestatement itisnotthecasethatp isanotherproposition calledthenegationofp thenegationofpisdenotedbyp thepropositionpisread notp p的否定 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 37 example3 findthenegationoftheproposition todayisfriday andexpressthisinsimpleenglish thenegationis itisnotthecasethattodayisfriday thisnegationcanbemoresimplyexpressedby todayisnotfriday 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 38 table1 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 39 definition2 letpandqbepropositions theproposition pandq denotedbyp q isthepropositionthatistruewhenbothpandqaretrueandisfalseotherwise thepropositionp qiscalledtheconjunctionofpandq thetruthtableforp qisshownintable2 p和q的合取 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 40 table2 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 41 example4 findtheconjunctionofthepropositionspandqwherepistheproposition todayisfriday andqistheproposition itisrainingtoday solution theconjunctionofthesepropositions p q istheproposition todayisfridayanditisrainingtoday thispropositionistrueonrainyfridaysandisfalseonanydaythatisnotafridayandonfridayswhenitdoesnotrain 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 42 definition3 letpandqbepropositions theproposition porq denotedbyp q isthepropositionthatisfalsewhenpandqarebothfalseandtrueotherwise thepropositionp qiscalledthedisjunctionofpandq thetruthtableforp qisshownintable3 p和q的析取 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 43 table3 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 44 example5 whatisthedisjunctionofthepropositionspandqwherepandqarethesamepropositionsasinexample4 solution thedisjunctionofpandq p q istheproposition todayisfridayoritisrainingtoday thispropositionistrueonanydaythatiseitherafridayorarainyday includingrainyfridays itisonlyfalseondaysthatarenotfridayswhenitalsodoesnotrain 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 45 definition4 letpandqbepropositions theexclusiveorofpandq denotedbypq isthepropositionthatistruewhenexactlyoneofpandqistrueandisfalseotherwise thetruthtablefortheexclusiveoroftwopropositionsisdisplayedintable4 p和q的对称差 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 46 table4 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 47 definition5 letpandqbepropositions theimplicationp qisthepropositionthatisfalsewhenpistrueandqisfalseandtrueotherwise inthisimplicationpiscalledthehypothesis orantecedentorpremise andqiscalledtheconclusion orconsequence 如果p 则q 单条件 蕴涵p 前提q 结论 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 48 table5 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 49 example6 whatisthevalueofthevariablexafterthestatementif2 2 4thenx x 1ifx 0beforethisstatementisencountered thesymbol standsforassignment thestatementx x 1meanstheassignmentofthevalueofx 1tox solution since2 2 4istrue theassignmentstatementx x 1isexecuted hence xhasthevalue0 1 1afterthisstatementisencountered 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 50 implicationp qtheconverseofp q q pthecontrapositiveofp q q p 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 51 example7 findtheconverseandthecontrapositiveoftheimplication iftodayisthursday thenihaveatesttoday solution theconverseis ifihaveatesttoday thentodayisthursday andthecontrapositiveofthisimplicationis ifidonothaveatesttoday thentodayisnotthursday 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 52 definition6 letpandqbepropositions thebiconditionalpqisthepropositionthatistruewhenpandqhavethesametruthvaluesandisfalseotherwise thetruthtableforpqisshownintable6 p当且仅当q 双条件 等价 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 53 table6 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 54 example8 howcanthefollowingenglishsentencebetranslatedintoalogicalexpression youcanaccesstheinternetfromcampusonlyifyouareacomputersciencemajororyouarenotafreshman solution a c f 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 55 example9 howcanthefollowingenglishsentencebetranslatedintoalogicalexpression youcannotridetherollercoasterifyouareunder4feettallunlessyouareolderthan16yearsold solution r s q 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 56 example10 说离散数学是枯燥无味的或毫无价值的 那是不对的 p 离散数学是有味道的 q 离散数学是有价值的 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 57 application1 webpagesearching mostwebsearchenginessupportbooleansearchingtechniques whichusuallycanhelpfindwebpagesaboutparticularsubjects forinstance usingbooleansearchingtofindwebpagesaboutuniversitiesinnewmexico wecanlookforpagesmatchingnewandmexicoanduniversities theresultsofthissearchwillincludethosepagesthatcontainthethreewordsnew mexico anduniversities 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 58 application2 abitstringisasequenceofzeroormorebits thelengthofthisstringisthenumberofbitsinthestring thebitwiseoftwostringsofthesamelength bitwiseorbitwiseandbitwisexor 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 59 table7 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 60 example12 findthebitwiseor bitwiseand andbitwisexorofthebitstrings0110110110and1100011101 here andthroughoutthisbook bitstringswillbesplitintoblocksoffourbitstomakethemeasiertoread solution thebitwiseor bitwiseand andbitwisexorofthesestringsareobtainedbytakingtheor and andxorofthecorrespondingbits respectively thisgivesus011011011011000111011110111111bitwiseor0100010100bitwiseand1010101011bitwisexor 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 61 p q r 称为原子命题 atomicproposition 原子命题或加上逻辑联结词组成的表达式成为复合命题 compositionalproposition 从命题常量到命题变量 propositionalvariable 命题公式 1 原子命题是命题公式 2 设p是命题公式 则 p也是命题公式 3 设p q是命题公式 则 p q p q p q p q 也是命题公式 4 有限次地使用1 2 3所得到的也是命题公式 propositionformulas well formedformulas wff 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 62 命题公式的运算规则 逻辑联接词的优先级 命题公式的表达式的运算规律 同代数表达式命题公式的运算方法 所有公式中的命题变量用指定命题 真值 代入 或指派 得到一个公式对应的真值 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 63 性质1 如果一个命题公式有n个互异的命题变量 则命题公式对应的真值有2的n次幂种可能分布 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 64 永真命题公式 tautology 公式中的命题变量无论怎样代入 公式对应的真值恒为t 永假命题公式 contradiction 公式中的命题变量无论怎样代入 公式对应的真值恒为f 可满足命题公式 satisfaction 公式中的命题变量无论怎样代入 公式对应的真值总有一种情况为t 一般命题公式 contingency 既不是永真公式也不是永假公式 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 65 性质2 1 设p是永真命题公式 则p的否定公式是永假命题公式 2 设p是永假命题公式 则p的否定公式是永真命题公式 3 设p q是永真命题公式 则 p q p q p q p q 也是永真命题公式 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 66 小结1 命题的概念 定义 逻辑值 符号化表示2 从简单命题到复合命题 逻辑联接词 运算方法 运算优先级3 从命题常量到命题变量 从复合命题到命题公式 命题公式的真值描述 真值表4 命题公式的分类 永真公式 永假公式 可满足公式 一般公式 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 67 进一步的思考 1 从二值逻辑到多值逻辑2 从确定值到模糊值模糊逻辑 fuzzylogic 练习题 1 2 7 9 25 d 30 b 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 68 基础部分 逻辑 logic 集合 sets 算法 algorithms 数论 numbertheory 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 69 1 1 1命题逻辑propositionlogic 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 70 逻辑学 研究推理的一门学科数理逻辑 用数学方法研究推理的一门数学学科 一套符号体系 一组规则 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 71 数理逻辑的内容 古典数理逻辑 命题逻辑 谓词逻辑现代数理逻辑 公理化集合论 递归论 模型论 证明论 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 72 proposition 一个有确定真或假意义的语句 命题逻辑propositionlogic 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 73 example1 allthefollowingstatementsarepropositions 1 washington d c isthecapitaloftheunitedstatesofamerica 2 torontoisthecapitalofcanada 3 1 1 2 4 2 2 3 propositions1and3aretrue whereas2and4arefalse 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 74 example2 considerthefollowingsentences 1 whattimeisit 2 readthiscarefully 3 x 1 2 4 x y z sentences1and2arenotpropositionsbecausetheyarenotstatements sentences3and4arenotpropositionsbecausetheyareneithertreenorfalse sincethevariablesinthesesentenceshavenotbeenassignedvalues variouswaystoformpropositionsfromsentencesofthistypewillbediscussedinsection1 3 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 75 命题的语句形式陈述句非命题语句 疑问句命令句感态句非命题陈述句 悖论语句 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 76 命题的符号表示 大小写英文字母 p q r p q r 命题真值 truthvalues 的表示 真 t 1假 f 0 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 77 命题语句真值确定的几点说明 1 时间性2 区域性3 标准性命题真值间的关系表示 真值表 truthtable 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 78 definition1 letpbeaproposition thestatement itisnotthecasethatp isanotherproposition calledthenegationofp thenegationofpisdenotedbyp thepropositionpisread notp p的否定 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 79 example3 findthenegationoftheproposition todayisfriday andexpressthisinsimpleenglish thenegationis itisnotthecasethattodayisfriday thisnegationcanbemoresimplyexpressedby todayisnotfriday 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 80 table1 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 81 definition2 letpandqbepropositions theproposition pandq denotedbyp q isthepropositionthatistruewhenbothpandqaretrueandisfalseotherwise thepropositionp qiscalledtheconjunctionofpandq thetruthtableforp qisshownintable2 p和q的合取 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 82 table2 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 83 example4 findtheconjunctionofthepropositionspandqwherepistheproposition todayisfriday andqistheproposition itisrainingtoday solution theconjunctionofthesepropositions p q istheproposition todayisfridayanditisrainingtoday thispropositionistrueonrainyfridaysandisfalseonanydaythatisnotafridayandonfridayswhenitdoesnotrain 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 84 definition3 letpandqbepropositions theproposition porq denotedbyp q isthepropositionthatisfalsewhenpandqarebothfalseandtrueotherwise thepropositionp qiscalledthedisjunctionofpandq thetruthtableforp qisshownintable3 p和q的析取 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 85 table3 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 86 example5 whatisthedisjunctionofthepropositionspandqwherepandqarethesamepropositionsasinexample4 solution thedisjunctionofpandq p q istheproposition todayisfridayoritisrainingtoday thispropositionistrueonanydaythatiseitherafridayorarainyday includingrainyfridays itisonlyfalseondaysthatarenotfridayswhenitalsodoesnotrain 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 87 definition4 letpandqbepropositions theexclusiveorofpandq denotedbypq isthepropositionthatistruewhenexactlyoneofpandqistrueandisfalseotherwise thetruthtablefortheexclusiveoroftwopropositionsisdisplayedintable4 p和q的对称差 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 88 table4 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 89 definition5 letpandqbepropositions theimplicationp qisthepropositionthatisfalsewhenpistrueandqisfalseandtrueotherwise inthisimplicationpiscalledthehypothesis orantecedentorpremise andqiscalledtheconclusion orconsequence 如果p 则q 单条件 蕴涵p 前提q 结论 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 90 table5 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 91 example6 whatisthevalueofthevariablexafterthestatementif2 2 4thenx x 1ifx 0beforethisstatementisencountered thesymbol standsforassignment thestatementx x 1meanstheassignmentofthevalueofx 1tox solution since2 2 4istrue theassignmentstatementx x 1isexecuted hence xhasthevalue0 1 1afterthisstatementisencountered 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 92 example7 findtheconverseandthecontrapositiveoftheimplication iftodayisthursday thenihaveatesttoday solution theconverseis ifihaveatesttoday thentodayisthursday andthecontrapositiveofthisimplicationis ifidonothaveatesttoday thentodayisnotthursday 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 93 definition6 letpandqbepropositions thebiconditionalpqisthepropositionthatistruewhenpandqhavethesametruthvaluesandisfalseotherwise thetruthtableforpqisshownintable6 p当且仅当q 双条件 等价 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 94 table6 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 95 example8 howcanthefollowingenglishsentencebetranslatedintoalogicalexpression youcanaccesstheinternetfromcampusonlyifyouareacomputersciencemajororyouarenotafreshman solution a c f 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 96 example9 howcanthefollowingenglishsentencebetranslatedintoalogicalexpression youcannotridetherollercoasterifyouareunder4feettallunlessyouareolderthan16yearsold solution r s q 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 97 example10 说离散数学是枯燥无味的或毫无价值的 那是不对的 p 离散数学是有味道的 q 离散数学是有价值的 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 98 example11 webpagesearching mostwebsearchenginessupportbooleansearchingtechniques whichusuallycanhelpfindwebpagesaboutparticularsubjects forinstance usingbooleansearchingtofindwebpagesaboutuniversitiesinnewmexico wecanlookforpagesmatchingnewandmexicoanduniversities theresultsofthissearchwillincludethosepagesthatcontainthethreewordsnew mexico anduniversities 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 99 definition7 abitstringisasequenceofzeroormorebits thelengthofthisstringisthenumberofbitsinthestring 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 100 table7 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 101 example12 findthebitwiseor bitwiseand andbitwisexorofthebitstrings0110110110and1100011101 here andthroughoutthisbook bitstringswillbesplitintoblocksoffourbitstomakethemeasiertoread solution thebitwiseor bitwiseand andbitwisexorofthesestringsareobtainedbytakingtheor and andxorofthecorrespondingbits respectively thisgivesus011011011011000111011110111111bitwiseor0100010100bitwiseand1010101011bitwisexor 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 102 p q r 称为原子命题 atomicproposition 原子命题或加上逻辑联结词组成的表达式成为复合命题 compositionalproposition 从命题常量到命题变量 propositionalvariable 命题公式 1 原子命题是命题公式 2 设p是命题公式 则 p也是命题公式 3 设p q是命题公式 则 p q p q p q p q 也是命题公式 4 有限次地使用1 2 3所得到的也是命题公式 propositionformulas well formedformulas wff 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 103 命题公式的运算规则 逻辑联接词的优先级 命题公式的表达式的运算规律 同代数表达式命题公式的运算方法 所有公式中的命题变量用指定命题 真值 代入 或指派 得到一个公式对应的真值 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 104 性质1 如果一个命题公式有n个互异的命题变量 则命题公式对应的真值有2的n次幂种可能分布 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 105 永真命题公式 tautology 公式中的命题变量无论怎样代入 公式对应的真值恒为t 永假命题公式 contradiction 公式中的命题变量无论怎样代入 公式对应的真值恒为f 可满足命题公式 satisfaction 公式中的命题变量无论怎样代入 公式对应的真值总有一种情况为t 一般命题公式 contingency 既不是永真公式也不是永假公式 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 106 性质2 1 设p是永真命题公式 则p的否定公式是永假命题公式 2 设p是永假命题公式 则p的否定公式是永真命题公式 3 设p q是永真命题公式 则p p q p q p q p q 也是永真命题公式 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 107 小结1 命题的概念 定义 逻辑值 符号化表示2 从简单命题到复合命题 逻辑联接词 运算方法 运算优先级3 从命题常量到命题变量 从复合命题到命题公式 命题公式的真值描述 真值表4 命题公式的分类 永真公式 永假公式 可满足公式 一般公式 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 108 进一步的思考 1 从二值逻辑到多值逻辑2 从确定值到模糊值模糊逻辑 fuzzylogic 练习题 2 7 21 d 25 d 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 109 1 1 2命题演算propositionalequivalences 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 110 1 命题 proposition 2 从简单命题 atomicproposition 到复合命题 compositionalproposition 3 从命题常量 propositionalconstant 到命题变量 propositionalvariable 4 从复合命题 compositionalproposition 到命题公式 propositionalformulas 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 111 永真命题公式 tautology 公式中的命题变量无论怎样代入 公式对应的真值恒为t 永假命题公式 contradiction 公式中的命题变量无论怎样代入 公式对应的真值恒为f 可满足命题公式 satisfaction 公式中的命题变量无论怎样代入 公式对应的真值总有一种情况为t 一般命题公式 contingency 既不是永真公式也不是永假公式 12 24 20196 29pm discretemath derenchen 112 example1 wecanconstructexamplesoftautologiesandcontradictionsusingjustoneproposition considerthetruthta