无穷小比较的意义与应用.doc

无穷小比较的意义与应用科技信息高校理科研究无穷JJIIE较昀意义与应用曲靖师范学院数学与信息科学学院黄丽云摘要本文分析了无穷小比较的意义,以及无穷小比较在计算极限,判别级数和反常积分的敛散性中的应用.关键词无穷小比较级数的敛散性无穷积分的敛散性瑕积分的敛散性0.引言数学分析和高等数学课程中极限部分的最后一节内容都是关于无穷小的比较,但在这一章的教学和学习中,人们往往把重心放在极限理论和计算上,而不太重视对无穷d,tZ较的理解.事实上,这个内容对极限计算和部分后续内容,如级数的敛散性判别与反常积分的敛散性判别,都有着重要的意义,往往是求解那些问题的突破口.尤其是对于级数敛散性和反常积分敛散性的判别,学生常感到难于掌握其方法和原理,这与不理解无穷小比较的意义,不能灵活运用无穷小比较是有很大关系的.无穷小的比较描述了函数(或数列)收敛于0的快慢程度,而极限或级数,反常积分的敛散性就与所涉及到的函数(或数列)的收敛快慢有着密切的关系.以函数为例,设函数f(z)与g(x)在U(a)上有定义,且(z)0.当z一时,它们都是无穷小量.其中,a可以是有限实数,+c.,一c.或.(1)若0(或景(2O),则称,(z)是g(z)一a)的高阶无穷小量(或g(x)是厂(z)一)的低阶无穷小量).所谓高阶,就是当一日时,f(x)收敛于0的速度比g(x)收敛于0的速度更快.,f1(2)若等=be0,则称f(x)与g(x)(x-a)是同阶无穷小6,量.所谓同阶,就是f(x)与g(x)(x-a)收敛于0的速度差不多.,特别地,若lim=1,则称f(x)与()一口)是等价无穷小gkx)量,记作,(-z)g(z)一日).所谓等价,就是f(x)与g(z)一)收敛于0的速度基本相同.根据无穷小收敛于0的快慢程度,我们可以对无穷小作分类.以z一O)为标准无穷小,若f(x)与(口>0常数)是同阶无穷小,即,lim=bo,称厂(z)是关于x的a阶无穷小.显然,所有关于x的aZ阶无穷小函数收敛于0的速度都差不多.通过分类,我们可以对各个无穷小的收敛速度有一个基本的把握,这对于讨论函数(或数列)极限,以及判别级数和反常积分的敛散性是很有意义的.1.无穷小的比较在极限计算中的应用在计算乘积或商的极限时,如果因式的形式较复杂,不便讨论极限,可以用它的等价因式进行替换,以便于计算.定理1若函数_厂(_zz,z(z)一口)是无穷小,而_厂(-z)笞(z烈z卜(z),当存在时,则觋=觋.其中,a可以是有限实数,+.,一或.定理1说明,由于等价无穷小的收敛速度基本相同,用等价因式替换,不会影响极限.记住一些常见的等价无穷小,会有利于我们运用定理1计算极限.当z_+0时,有口Llln口j再一1考,(1+z)一1,1-COS卜1例求极限鲰.lim.tanrct(1an+2x)=lira.=-=吾.例2求极限.解:当o时,有I一1罢z,sin,于是蛳=嘉=丢=.通过等价无穷小的替换,可以化简函数形式,方便计算极限.2.无穷小的比较在判别正项级数的敛散性中的应用判别级数的敛散性是级数求和的前提,也是级数研究的基本问题之一,但是,从定义出发能确定敛散性的级数很少.因此,有必要探讨其它的敛散性判别法.以正项级数为例,统观其各种敛散性判别法,基本思想都是比较原理.即一个正项级数和某个收敛级数比较,更可能收敛,则该级数必收:敏;一个正项级数和某个发散级数比较,更可能发散,则该级数必发散.其中关于更可能的判断主要是通项的状况.当一时,若通项不是无穷小量,则级数必发散;若通项是无穷小量,则判断的关键是通项的无穷小比较.于是,有下面的定理.定理2两个页级数和tJ0),且liraUn=觑o+.).:_+c.17(1)若级数收敛,K0_<k<+ov,则级数也收敛;(2)若级数发散,且0<k<+zo,则级数也发散.定理2表明,级数通项的敛散快慢程度与级数的敛散性有密切关系.因此,要判断级数的敛散性,恰当地选择一个敛散性已知的正项级数,二者作比较,即可判定的敛散性.设数列unt与Iv.是无穷小量(一.c),若l|m:觑O<<+c.),即数列t.o与vo是同阶无穷小量,级数与,同敛散性;若liraUn=:0,-.即数列u是v的高阶无穷小量,由级数E收敛可得级数也收敛;若1.mU_Sn:+,即数列tuo是iv.的低阶无穷小量时,由级数发散可得级数也发散.常用于作为比较对象的级数有几何级数和P级数.事实上,柯西判别法和达朗贝尔判别法就是以几何级数为比较对象的结果.若以P级数为比较对象,根据通项u的无穷小的级别,就可以确定p级数中P的取值.掌握常见的同阶无穷小量和无穷小量的比较有助于我们构造比较对象口.当一+.时,下列无穷小,后者是前者的高阶无穷小:log(a>1>O)0<n<1l去,寺.其中的n换成X,结论也成立.例3判别正项级数(1-COS1)的敛散性.解:因为1-cosI,丢()2(),即1-cos与(_)同刀竹阶,故取通项与比较.c0s(1-寺)1os(1一1)1lira_,l/由级数收敛,知级数E(1一co收敛.竹?=,一119科技信息高校理科研究例4判别正项级数的敛散性.解:因为In是(一c.)的低阶无穷小,且级数发散,取n土与上作比较.土Iim旦=I7型-=+,.lc.InT/由级数薹发散,知级数薹发散.12例5判别正项级数2sin的敛散性.解:因为s.n参;一o.),2sin23ng(-+co),即2nSm与(;)一c.)同阶,取2nSin与(;)作比较.2sin2sin卫1;m:】im.:.一.()一z;由级数f收敛,知级数2sin收敛.由级数(】收敛,知级数2sin收敛.3.无穷小的比较在判别反常积分的敛散性中的应用从无穷级数到反常积分,无非是从离散到连续的一种转化,因此,数项级数的敛散性判别法一般都可以推广得到反常积分的敛散性判别法.由正项级数的比较判别法推广,自然得到无穷积分的敛散性判别法.定理3设WrEa,+.),函数l厂(z)0,口>0,且有极限叶lira+z厂()=(O+).(1J若>1,0<d<+ee,则无穷积分l,.厂)收敛;(2)若l,0<d+o.,则无穷积分1._厂)dz发散.定理3实际上是构造无穷小量与函数厂()(z一+)作比较,相当于正项级数与p级数作比较.对于p级数,当户>1时收敛,当户1时发散.相应地,在这个定理中,就有当>1,函数(-z)是士的高阶无穷小量或同阶无穷小量时,无穷积分收敛;当1,函数_厂()是1的同阶无穷小量或低阶无穷小量时,无穷积分发散.同样地,根据函数,(z)的无穷小的级别,就可以确定的取值.例6判别无穷积分羔薏出的敛散性.一时,爵2C21-1tanz一与_T1(X-+oo)同阶,故取=吉.13一lim+xZarctanx=11薹,+_+Z因为:<1,故无穷积分c.dr发散.例7判别无穷积分f士(Lr的敛散性.P一解:当z一+e.时,上ex是专>.)的高阶无穷小量,故专是>0)的高阶无穷小量,符合定理3的结论(1),故应取薹>1.俩I加.取:2>.右lira_z.=limj互=0,.e因为:2>1,故无穷积分f士dr收敛.至于瑕积分,由于可以和无穷积分互相转化,关于其敛散性,相应地也有比较判别法.只是由于瑕点的特性,这里是作无穷大量的比较.定理4设E(a,bJ,函数厂()0,a是瑕点,且有极限lim+(xn)_厂()=(O+o.).(1)若<1,o<+,则瑕积分l,(z)dr收敛;(2)若l,0<+,则瑕积分I,.f(x)d.r发散.定理4是构造无穷大量与函数(z).)作比较.由于换成了无穷大量的比较,因此反过来有,当<,函数,(z)是.的低阶无穷大量或同阶无穷大量时,瑕积分收敛;当1,函数f(x)是_的同阶无穷大量或高阶无穷大量时,瑕积分发散.根据函数【Iz一Jz)的无穷大的级别,就可以确定的取值.掌握常见的同阶无穷大量和无穷大量的比较,更有助于我们确定的取值.当一+e.时,下列无穷大量,后者是前者的高阶无穷大:log(n>1),(>1an(n>1卵!,.其中的n换成x,结论也成立.至于同阶无穷大量,将前面的同阶无穷小量分别取倒数,即相应地得到同阶无穷大量.例8判别瑕积分f一dx的敛散性.tanx解:.r:o是被积函数的瑕点.4tanx当z_0时,tan一,故与是同阶无穷大量,即与是同阶无穷大量,取=去,有z一26lira.士=l/_:l.一4tanxoLaIlz因为<1,故瑕积分r.dr收敛.例9判别瑕积分f_cLr的敛散性.儿【InJ解:=1是被积函数_的瑕点.ZlIn厂当oT-+时,妄一,Inln+一1)卜(一1),故丽1与是同阶无穷大量.故取A一2,有lira(川)2?1:limi(番)因为=2>l,故瑕积分f_dr发散.儿(In)熟练掌握无穷小的比较,对于求解上述类型的问题,将会带来极大的方便参考文献1刘玉琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁.数学分析讲义(上册)(第五版)M.北京:高等教育出版社,2008:l15147.2刘玉琏,傅