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家庭联合寿险精算模型摘要：本文针对利息力函数采用伽马分布和负二项分布联合建模，给出这一随机利率下的联合寿险精算模型，其模型具有更为广泛的应用范围。 关键词：随机利率；人寿保险；联合寿险；精算模型1引言保险业作为金融体系的一个重要分支，在社会发展中起着越来越重要的作用，而人寿保险作为保险业的一个重要组成部分与社会公众利益密切相关，也越来越引起人们的关注。寿险公司厘定保费时，主要考虑的因素有利率、死亡率和费用率。其中，利率因素会较大程度地影响寿险保费，进而给寿险公司带来较大的风险。因此，对随机利率下的寿险精算模型的研究成为广大学者关注的重点。本文就是研究随机利率下的家庭联合寿险精算模型。 王志忠和刘裔宏(1996)利用Bayes方法，对联合保险中死亡率和保险费进行了研究1。朱晓平(1997)对联合寿险的理论模型及其精算原理进行了研究2。吴耀华、蔡新中和吴志强(1998)研究了夫妻联合投保养老金(附死亡)保险的纯保费和责任准备金3。蔡新中(2001)对利息力采用ARIMA过程建立寿险纯保费和责任准备金模型，并求出了保单损失变量的期望值4。王丽燕，冯恩民(2003)对利息力采用Wiener过程建模，构建了家庭联合保险的精算模型5。东明(2006)针对利息力采用Wiener过程建立联合寿险精算模型，给出了被保险人死亡时间进行随机模拟的算法，对利息力的尾数分布给出了经验分布6。王丽燕、赵晶和杨德礼(2007)对利息力采用双随机过程对夫妻联合投保的连生寿险进行了研究，得出寿险纯保费的计算公式7。王丽燕、郝亚丽和张海娇(2010)等对利息力采用反射Brownian运动和Poisson过程联合建立生死两全保险模型，得到了保单全部价值的计算公式，并进一步在死亡力均匀分布假设下简化了公式8。本文对利息力采用Gamma分布和负二项分布联合建模，针对家庭联合投保建立寿险精算模型，并进一步考虑到死亡力假设，对所建模型进行算例分析，说明所建模型符合寿险实务，适用范围更加广泛。2模型基础2.1承保对象家庭联合寿险的成员这里是以父亲、母亲、孩子所组成的。以下我们假设父亲、母亲、孩子联合投保，他们的生存相互独立。并且满足以下条件：(1) 身体健康，年龄均低于35周岁的合法夫妻(男22周岁以上，女20周岁以上)。(2) 身体健康，年龄低于13周岁的孩子。2.2生命模型2.2.1联合生存状态三元联合生存状态记、都生存时状态存在，其中一人死亡状态就终止。记为三元联合生存状态终止的时间。则其生存的概率密度为 (1)的密度函数为 (2)2.2.2条件生存状态(1) 记表示岁的人将比岁和岁俩人都先死亡的状况，以表示三元条件存在状态终止的时间，以表示的密度函数。 (3) (4)(2) 记表示岁的人将比岁和岁俩人都先死亡的状况，以表示三元条件存在状态终止的时间，以表示的密度函数。 (5) (6)(3) 记表示岁的人将比岁和岁俩人都先死亡的状况，以表示三元条件存在状态终止的时间，以表示的密度函数。 (7) (8)(4) 记表示岁的人将比岁和岁俩人都后死亡的状况，以表示三元条件存在状态终止的时间，以表示的密度函数。 (9) (10)由及知，(10)式可化为 (11)3模型假设设利息力积累函数 (12)其中：服从参数为的负二项分布，记为；服从参数为的Gamma分布，记为；和相互独立；为常数利息力，且为相互独立的常数。由(12)式得，时刻的给付现值 (13)定理3.1 设为服从参数为的负二项分布，为常数，则定理3.2 设是服从参数为的Gamma分布，为常数，则4精算模型4. 1 趸缴纯保费模型4. 1. 1联合生存状态下的连续型趸缴纯保费由(2)式和(13)式得 由定理3.1和定理3.2得 (14)记，由(14)式得 (15)4. 1. 2条件生存状态下的连续型趸缴纯保费(1) 岁的人将比岁和岁俩人都先死亡状态下的连续型趸缴纯保费由(4)式和(13)式得 (16)(2) 岁的人将比岁和岁俩人都先死亡状态下的连续型趸缴纯保费由(6)式和(13)式得 (17)(3) 岁的人将比岁和岁俩人都先死亡状态下的连续型趸缴纯保费由(8)式和(13)式得 (18)(4) 岁的人将比岁和岁俩人都后死亡状态下的连续型趸缴纯保费由(11)式和(13)式得 (19)4.2生存年金4.2.1联合生存状态下的连续型生存年金由(1)式得 (20)4.2.2 条件生存状态下的连续型生存年金(1) 岁的人将比岁和岁俩人都先死亡状态下的连续型生存年金由(3)式得 (21)(2) 岁的人将比岁和岁俩人都先死亡状态下的连续型生存年金由(5)式得 (22)(3) 岁的人将比岁和岁俩人都先死亡状态下的连续型生存年金由(7)式得 (23)(4) 岁的人将比岁和岁俩人都后死亡状态下的连续型生存年金由(9)式得 (24)4.3年缴纯保费4.3.1联合生存状态下的全连续型年缴纯保费由(16)式和(20)式得 4.3.2条件生存状态下的全连续型年缴纯保费(1) 岁的人将比岁和岁俩人都先死亡状态下的全连续型年缴纯保费由(16)式和(20)式得 (2) 岁的人将比岁和岁俩人都先死亡状态下的全连续型年缴纯保费由(17)式和(21)式得 (3) 岁的人将比岁和岁俩人都先死亡状态下的全连续型年缴纯保费由(18)式和(22)式得 (4) 岁的人将比岁和岁俩人都后死亡状态下的全连续型年缴纯保费由(19)式和(23)式得 5结论该文将随机利率采用Gamma分布和负二项分布联合建模，构建了随机利率下家庭联合寿险的全连续型寿险纯保费模型。调整模型中的参数可以得到各种传统人寿保险的精算模型，例如传统固定利率模型和单随机利率模型，还可以借助死亡力假设转化为离散型寿险精算模型等。改变了以往寿险精算模型不可相互转化的缺点。另外对随机利率采用的分布包括离散分布和连续分布，具有更为广泛的实际应用价值。参考文献1 王志忠，刘裔宏多维寿险问题研究J系统工程1996，14(6)：2731 2 朱晓平联合寿险精算模型研究J同济大学学报1997，25(1)：5660 3 吴耀华，蔡新中，吴之强一种夫妻联合养老金(附死亡)保险的计算问题J中国科学技术大学学报1998，28 (4)：439445 4 蔡新中随机利率下的联合寿险J苏州大学学报(自然科学版)2001，17(1)：1219 5 王丽燕，冯恩民一种家庭联合保险的双随机模型J工程数学学报2003，20(8)：69-72 6 东