1.1.2集合间的基本关系讲义.doc

1.1.2 集合间的基本关系一、子集（一）子集：对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作AB（或BA），读作“A含于B”（或“B包含A”）B A数学语言表示形式为：若对任意的xA有xB，则AB子集关系用文氏图表示为：AB（或BA）根据子集的定义，我们可以知道AA，也就是说任何集合都是它本身的一个子集.对于空集，我们规定A，即空集是任何集合的子集。例1：用适当的符号填空0_0 _0 2_2 2_N 2_N 变式练习1：已知Axx23x20 ，B1，2，C xx8，xN ，用适当的符号填空A_B A_C 2_C 2_C例2：写出集合的所有子集。【解析】集合的所有子集可以分为五类，即：（1）含有0个元素的子集，即空集；（2）含有一个元素的子集：；（3）含有二个元素的子集：；（4）含有三个元素的子集：；（5）含有四个元素的子集：.结论：如果集合A中有n个元素，则集合A共有2n个子集变式练习1：已知集合AxN1x4，则集合A的子集有_个。【解析】：8个（二）、集合相等：如果集合A是集合B的子集（AB），且集合B是集合A的子集（BA），则集合A与集合B相等，记作集合A集合B。即：AB且BA则AB。（上节两个集合相等：两个集合的元素完全相同）例3 ：已知集合A和集合B都是含三个元素的集合，且集合Aa，ab，a2b，Ba，ac， ac2，若AB且BA，求c的值。【解析】（1）若消去b得：ac2a2ac0，a0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a0c22c10，即c1，但c1时，B中的三元素又相同，此时无解（2）若 消去b得：2ac2aca0，a0，2c2c10，即 (c1) (2c1) 0，又c1，故c。变式练习：已知集合A和集合B都含有三个元素，Ax，xy，xy，B0，x，y，若AB且BA，求2xy的值。【解析】：由集合的互异性，xy0，则xy，此时Ax，x2，0，B0，x，x，则x2x且xx2，故xy1，此时A1，1，0，B0，1，1，符合题意，综上所述，2xy3。（三）、真子集：如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我们称集合A是集合B的真子集。记：AB （或BA） A真含于B B真包含A注意：即如果AB且AB，那么集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）。例如1，2N、a，ba，b，c等。子集与真子集的区别在于“AB”允许AB或AB，而AB是不允许“AB”的，所以如果AB成立，则一定有AB成立；但如果有AB成立，AB不一定成立。空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。例4：分别写出集合a，a，b和a，b，c的所有子集和真子集。集合a的子集有，a，共有2个子集； 真子集有a，共1个真子集。集合a，b的子集有，a，b，a，b，共有4个子集；真子集有，a，b，共3个真子集。集合a，b，c的子集有：，a，b，c，a，b，a，c，b，c，a，b，c，共有8个即个子集；真子集有，a，b，c，a，b，a，c，b，c，共7个真子集。结论：如果集合A中有n个元素，则集合A共有2n个子集；2 n1个真子集。例5：有适当的符号填空。（1）A2，3，6 Bxx是12的约数 A_B（2）A0，1 Bxx2y21，yN A_B（3）Ax1x2 Bx2x2 A_B（4）A(x，y)xy0 B(x，y)x0，y0 A_B（5）Axx21 Byy22y40 A_B【解析】：（1） （2） （3） （4） （5）变式练习1：已知集合A0，1，Bzzxy，xA，yB ，则B的子集有（ ）A：8个 B：2个 C：4个 D：7个【解析】：集合B中有3个元素，子集有8个。 A变式练习2：已知集合AxZ，Byyx21，xA，则集合B的含有元素1的子集个数为（ ）A：5 B：4 C：3 D：2【解析】：A xZ1x31，0，1，2，则B1，2，5，则集合B的含有元素1的子集有1，1，2，1，5，1，2，5 共四个， B变式练习3：已知Axx，Z，Bxx，Z，Cxx，Z，则集合A、B、C满足的关系是（ ）A：ABC B：ABC C：ABC D：BCA【解析】：A6x6x61，Z，B6xx33(1)1，Z，C6xx1，Z。则ABC B变式练习4：已知Axy，Byy，Cx0，Dx0，E(x，y)y，则下列结论正确的是（ ）A：ABCD B：DCBA C：BE D：AB【解析】：B变式练习5：若集合A满足1，2A1，2，3，4，则满足条件的集合A的个数为_个。【解析】：4个二、子集的有关性质1、空集：我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集，即空集只有一个子集就是它本身，而空集没有真子集。2、子集与真子集的性质（1）任何集合是它本身的子集，即AA；（2）对于集合A、B、C，如果AB且BC，那么AC；（3）对于集合A、B、C，如果AB，且BC，那么AC；（4）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。例5：下列集合只有一个子集的是（ ）A：xx20 B： xx30 C： xx20 D： xx30【解析】：C例6：下列表述正确的是（ ）A： 0 B： 0 C：0 D：0 【解析】：B例7：设Ax2m1xm3，B xRx210问m为何值时能使得AB。【解析】（1）显然B，欲使AB，必须且只需A即可。由于2m1m3可得m4，此时Ax2m1xm3. 综上可知，当m4时，AB例8：已知集合Axx2x20，B xx0，若BA，则a_。【解析】易求A2， 1，B1或2当B1，a1；B2，a2综上：a1或a2变式练习1：已知集合Axx28x150，B xx10，若BA，则_。【解析】：0或或例9：设集合Ax0，Bxx，若AB，则的取值范围是_。【解析】：4变式练习1：已知集合Ax3x5，若集合B x2m1xm1，若AB，则求m的取值范围。【解析】2m135m1，即 m4变式练习2：集合A x2x5，B xm1x2m1，若BA，则求m的取值范围。【解析】：（1）若B，即m12m1时，即m2；（2）若B，则m满足解之得2m3，综上所述，m3变式练习2：已知函数f(x)（、R），且集合Axxf(x) ，Bxxf f (x) ，（1）求证：AB； （2）当A1，3时，用列举法表示B。【解析】：（1）任取xA，则有xf(x)，则f f (x) f x x，故xB，故AB； （2） A1，3，故得，故f(x)，ff(x)，故x，x3，x1，x，故B1，3，课 后 综 合 练 习1、下列关系中正确的个数为（）00，0，0，1(0，1)，(，)(，)A：1 B：2 C：3 D：4【解析】：B2、下列图形中，表示MN的是（ ）MNAMNBNMCMND【解析】：C3、设、R，集合1，0，则（） A：1 B：1 C：2 D：2【解析】：C4、设集合Axx，Z，若x，则下列关系正确的是（ ）A：xA B： xA C xA D xA【解析】：A5、用适当的符号填空：（1）_ xx210；（2）1，2，3_N；（3）1_xx2x0； （4）0_xx22x0【解析】： 6、已知集合Ax1x4，Bxx，若AB，求实数的取值范围_。【解析】：47、已知Axx23x20，Bxx20且BA，则实数组成的集合C是_。【解析】：0，2，18、写出集合Ax0x3，xN的真子集。【解析】：3个9、已知Mx2x5， Nx1x21。（1）若