格林互易定理在求解静电学奥赛题中的应用

例析格林互易定理在求解静电学奥赛题中的应用金彪（浙江省春晖中学 浙江 绍兴 312353）在静电场中，有一组固定的 n 个导体系统， n 个导体上的电荷为 它们的电势分别为当的 n 个导体的电荷变为它们的电势则必有 成立。上面的定理叫做格林互易定理，其严格证明超出了中学物理的范围，但在求解有关静电感应的一些中学物理竞赛问题时,若用格林互易定理的方法来求解,则可以起到事半功倍的效果，下面就来看几个往年竞赛真题。例1：（第13届预赛第5题）在静电复印机里，常用如图所示的电路来调节A、C两板间电场强度的大小，从而用来控制复印件的颜色深浅在操作时，首先对由金属平板A、B组成的平行板电容器充电该电容器的B板接地，A、B板间填充有介电常数为的电介质，充电后两板间的电势差为U而后，断开该充电电源，将连接金属平板C和可调电源E的开关K闭合这样，A、C两板间的电场强度将随可调电源E的电动势变化而得以调节已知C板与A板很近，相互平行，且各板面积相等A、B板间距离为dl，A、C板间距离为d2，A、C板间空气的介电常数取为1试求；当电源E的电动势为U0时，A、C两板间某点P处的电场强度 解：先求出上下两电容器的电容： A、C两板间的电容为 A、B两板间的电容为 对由金属平板A、B组成的平行板电容器充电后，由已知条件可的C、A、B三块板的电势分别为 所带电量分别为当断开该充电电源，连接金属平板C和可调电源E的开关K闭合后，A板总电量不变，电势变化，设此时A板电势为；B板电量变化而电势仍为零，设B板电量为；C板电势变为，电量可以根据A、C两板的电势差求得则C、A、B三块板的电势分别为 所带电量分别为将变化前的电势与变化后的电量相乘，变化前的电量与变化后的电势相乘，由格林互易定理可得上式消去得：左右两边都减去，可得可得：则P点场强为 例2：(第12届决赛第3题)如图所示，正四面体ABCD各面均为导体，但又彼此绝缘已知带电后四个面的静电势分别为j 1、j 2、j 3和j 4，求四面体中心O点的电势j 0。 解：由题意，设四个面与中心O的电荷量分别为、0同时，四个面与中心的电势分别为、现将外面四个面接地，中心放一个电量为Q的点电荷，中心电势为U，而四个面产生的感应电荷都相等，为，则此时四个面与中心O的电荷和电势分别为、由格林互易定理可得：即可得 例3：（第14届决赛第7题）有100块平行放置的正方形大导体板，每块边长均为，相邻两板彼此相对的两个表面的间距均为，将这些导体板从左至右顺次编号为1，2，.100.开始每板上都带有净电荷，已知第1块板上的净电量为（设），第n块板上的净电量为，今将第1块和第100块导体板接地，如图所示.忽略边缘效应.问：1. 从第1块和第100块导体板上流入大地的电量和各为的多少倍？2. 上述两板接地后哪块板上的电势最高？其电势是多少？解：当第1块和第100块导体板接地后，这两块板电量发生改变，所有极板的电势也发生了改变，则可设极板的总电量和电势分别为： 现改变各导体板电量。变化一：使极板电量都变为0，而1板电量为，100板电量为，且假设1板接地，100板电势为（其中C为相邻两板间的电容）。则极板的电量和电势分别为： 将变化后的电势与电量和题给条件的电势与电量结合，由格林互易定理可得：则可以求得第100块板流入大地的电荷为：变化二：使极板电量都变为0，1板电量为，100板电量为，且假设100板接地；1板电势为（其中C为相邻两板间的电容）。则极板的电量和电势分别为： 将变化后的电势与电量和题给条件的电势与电量结合，由格林互易定理可得：则可以求得第100块板流入大地的电荷为： 变化三：使第极板带电量为，极板带电量为且接地，其它极板都不带电。则极板电势皆为，极板电势皆为零，则极板的电量和电势分别为： 将