2014-2015学年福建省泉州市德化一中高二(下)期末数学试卷(理科).doc

2014-2015学年福建省泉州市德化一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把正确答案的字母填在答题卡中）1已知i为虚数单位，（2+i）z=1+2i，则z的共轭复数=（）A +iB +iC iD i2设随机变量服从正态分布N（0，1），P（1）=P，则P（1O）=（）A PB PC 12PD 1P3函数f（x）=x3+ax2+3x9已知f（x）在x=3时取得极值，则a=（）A 2B 3C 4D 54某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A B C D 5用数学归纳法证明不等式+（n1且nN）时，在证明n=k+1这一步时，需要证明的不等式是（）A +B +C +D +6（x）6的展开式中的常数项为（）A 240B 240C 72D 727从0，1，2，3，4，5共6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的有（）A 40个B 36个C 28个D 60个8已知x0，nN*，由下列结论x+2，x+3，x+4，得到一个正确的结论可以是（）A x+n+1B x+nC x+nD x+n+19若（x1）7=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a7（x+1）7，则a1等于（）A 14B 448C 1024D 1610已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（）A B C 3D 211已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M，若F1MF2为锐角，则双曲线离心率的取值范围是（）A B （，+）C （1，2）D （2，+）12设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1、x2D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心研究函数f（x）=x+sinx3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（）+f（）+f（ ）+f（）的值为（）A 4027B 4027C 8054D 8054二、填空题（本大题共6道题，每小题5分，共30分）13曲线y=x21与直线x=2，y=0所围成的区域的面积为14某地区恩格尔系数y（%）与年份x的统计数据如下表：年份 2004200520062007恩格尔系数 （%）4745.543.541从散点图可以看出y与x线性相关，且可得回归直线方程=x+4055.25，据此模型可预测2013年该地区的恩格尔系数（%）为15从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）等于16一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02设发病的牛的头数为，则D=；17我们把形如y=f（x）（x）的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得lny=lnf（x）（x）=（x）lnf（x），两边对x求导数，得=（x）lnf（x）+（x），于是y=f（x）（x）（x）lnf（x）+（x），运用此方法可以求得函数y=xx（x0）在（1，1）处的切线方程是18有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排正中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是三、解答题（本大题共5道题，共60分）19已知函数f（x）=|xm|，关于x的不等式f（x）3的解集为1，5（）求实数m的值；（）若实数a、b、c满足a2b+c=m，求a2+b2+c2的最小值20在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知曲线C1： （t为参数），C2：（为参数）（）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（cos2sin）=7距离的最小值21为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度不超过22公里的地铁票价如下表：乘坐里程x（单位：km）0x66x1212x22票价（单位：元）345现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22公里已知甲、乙乘车不超过6公里的概率分别为，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为，（）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望22如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A、B两点当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为（1）求椭圆C的方程；（2）若点E的坐标为（，0），点A在第一象限且横坐标为，连结点A与原点O的直线交椭圆C于另一点P，求PAB的面积；（3）是否存在点E，使得+为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由23已知函数，其中a为实数（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对任意的正整数m，n，不等式恒成立2014-2015学年福建省泉州市德化一中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把正确答案的字母填在答题卡中）1已知i为虚数单位，（2+i）z=1+2i，则z的共轭复数=（）A +iB +iC iD i考点：复数代数形式的乘除运算专题：数系的扩充和复数分析：由复数的乘除运算法化简已知复数，由共轭复数的定义可得解答：解：（2+i）z=1+2i，z=+i，z的共轭复数=i故选：C点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及共轭复数，属基础题2设随机变量服从正态分布N（0，1），P（1）=P，则P（1O）=（）A PB PC 12PD 1P考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义专题：概率与统计分析：画出正态分布N（0，1）的密度函数的图象，由图象的对称性可得结果解答：解：画出正态分布N（0，1）的密度函数的图象如下图：由图象的对称性可得，若P（1）=p，则P（1）=p，则P（11）=12p，P（10）=p故选：B点评：本题考查正态分布，学习正态分布时需注意以下问题：1从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=，并在x=时取最大值 从x=点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的3函数f（x）=x3+ax2+3x9已知f（x）在x=3时取得极值，则a=（）A 2B 3C 4D 5考点：利用导数研究函数的极值专题：导数的概念及应用；导数的综合应用分析：先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=3时取得极值，可以得到f（3）=0，代入求a值解答：解：对函数求导可得，f（x）=3x2+2ax+3f（x）在x=3时取得极值 f（3）=0a=5，验证知，符合题意故选：D点评：本题主要考查函数在某点取得极值的性质属基础题比较容易，要求考生只要熟练掌握基本概念，即可解决问题4某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A B C D 考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率专题：计算题分析：每1粒发芽的概率为，播下3粒种子相当于做了3次试验，由题意知独立重复实验服从二项分布，即XB（3，），根据二项分布的概率求法，做出结果解答：解：每1粒发芽的概率为定值，播下3粒种子相当于做了3次试验，由题意知独立重复实验服从二项分布即XB（3，）P（X=2）=故选B点评：二项分布要满足的条件是每次试验中，事件发生的概率是相同的，各次试验中的事件是相互独立的，每次试验只要两种结果，要么发生要么不发生，随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数5用数学归纳法证明不等式+（n1且nN）时，在证明n=k+1这一步时，需要证明的不等式是（）A +B +C +D +考点：数学归纳法专题：计算题分析：把不等式+ 中的n换成k+1，即得所求解答：解：当n=k+1时，不等式+，即 +故选 D点评：本题考查数学归纳法，体现了换元的数学思想，注意式子的结构特征，特别是首项和末项6（x）6的展开式中的常数项为（）A 240B 240C 72D 72考点：二项式定理的应用专题：二项式定理分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得展开式中的常数项解答：解：（x）6的展开式的通项公式为 Tr+1=（2）r，令6=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为 24=240，故选：A点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题7从0，1，2，3，4，5共6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的有（）A 40个B 36个C 28个D 60个考点：排列、组合及简单计数问题专题：排列组合分析：由题意知能被5整除的三位数末位必为0或5当末位是0时，没有问题，但当末位是5时，注意0不能放在第一位，所以要分类解决，末位为0的三位数其首次两位从15的5个数中任取2个排列末位为5的三位数，首位从非0，5的4个数中选1个，再挑十位，相加得到结果解答：解：其中能被5整除的三位数末位必为0或5末位为0的三位数其首次两位从15的5个数中任取2个排列而成方法数为A52=20，末位为5的三位数，首位从非0，5的4个数中选1个，有C41种挑法，再挑十位，还有C41种挑法，合要求的数有C41C41=16种共有20+16=36个合要求的数，故选：B点评：本题考查排列组合、计数原理，是一个综合题，本题主要抓住能被5整除的三位数的特征（末位数为0，5），还要注意分类讨论及排数字时对首位非0的限制8已知x0，nN*，由下列结论x+2，x+3，x+4，得到一个正确的结论可以是（）A x+n+1B x+nC x+nD x+n+1考点：归纳推理专题：推理和证明分析：通过观察可以发现，每一个不等式的右边的数都是对应的个数加1，左边的分式中分子是对应个数的数字的相应次方，解答：解：x+2，x+3，x+4，每一个不等式的右边的数都是对应的个数加1，左边的分式中分子是对应个数的数字的相应次方，于是可以得到结论为x+n+1故选：D点评：本题主要考查了归纳推理的问题，找到规律是关键，属于基础题9若（x1）7=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a7（x+1）7，则a1等于（）A 14B 448C 1024D 16考点：二项式定理的应用专题：二项式定理分析：根据2+（x+1）7=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a7（x+1）7，可得a1=（2）6，计算求的结果解答：解：由于（x1）7=2+（x+1）7=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a7（x+1）7，则a1=（2）6=448，故选：B点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题10已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（）A B C 3D 2考点：抛物线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设l与x轴的交点为M，过Q向准线l作垂线，垂足为N，由=3，可得=，又|MF|=p=4，根据抛物线的定义即可得出解答：解：设l与x轴的交点为M，过Q向准线l作垂线，垂足为N，=3，=，又|MF|=p=4，|NQ|=，|NQ|=|QF|，|QF|=故选：A点评：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、向量的共线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M，若F1MF2为锐角，则双曲线离心率的取值范围是（）A B （，+）C （1，2）D （2，+）考点：双曲线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：可得M，F1，F2的坐标，进而可得，的坐标，由0，结合abc的关系可得关于ac的不等式，结合离心率的定义可得范围解答：解：联立，解得，M（，），F1（c，0），F2（c，0），=（，），=（，），由题意可得0，即0，化简可得b23a2，即c2a23a2，故可得c24a2，c2a，可得e=2故选D点评：本题考查双曲线的离心率，考查学生解方程组的能力，属中档题12设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1、x2D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心研究函数f（x）=x+sinx3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（）+f（）+f（ ）+f（）的值为（）A 4027B 4027C 8054D 8054考点：函数的值专题：函数的性质及应用分析：根据条件得到函数对称中心，即可得到结论解答：解：当x=1时，f（1）=1+sin3=2，根据对称中心的定义，可得当x1+x2=2时，恒有f（x1）+f（x2）=4，即a=1，b=2，即函数的对称中心为（1，2）f（）+f（）+f（ ）+f（）=2013f（）+f（）+f（）=2013（4）2=8054，故选：D点评：点评：本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，综合性较强，有一点的难度二、填空题（本大题共6道题，每小题5分，共30分）13曲线y=x21与直线x=2，y=0所围成的区域的面积为考点：定积分在求面积中的应用专题：导数的综合应用分析：利用定积分表示区域面积，然后计算即可解答：解：由 曲线y=x21与直线x=2，y=0所围成的区域的面积为：=；故答案为：点评：本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数14某地区恩格尔系数y（%）与年份x的统计数据如下表：年份 2004200520062007恩格尔系数 （%）4745.543.541从散点图可以看出y与x线性相关，且可得回归直线方程=x+4055.25，据此模型可预测2013年该地区的恩格尔系数（%）为29.25考点：线性回归方程专题：阅读型；图表型分析：由线性回归直线方程中系数的求法，我们可知（，）在回归直线上，满足回归直线的方程，我们根据已知表中数据计算出（，），再将点的坐标代入回归直线方程，即可求出对应的值，根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的x的值，预报出2013年该地区的恩格尔系数，这是一个估计值解答：解：点（，），在回归直线上，计算得 =2005.5，=44.25，回归方程过点（2005.5，44.25）代入得44.25=2005.5+4055.25，=2，当x=2013（年）时，该地区的恩格尔系数是 2013（2）+4055.25=29.25所以根据回归方程的预测，使用2012年时，预报该地区的恩格尔系数是29.25故答案为：29.25点评：本题考查回归方程过定点（，），考查线性回归方程，考查待定系数法求字母系数，是一个基础题15从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）等于考点：条件概率与独立事件专题：概率与统计分析：利用互斥事件的概率及古典概型概率计算公式求出事件A的概率，同样利用古典概型概率计算公式求出事件AB的概率，然后直接利用条件概率公式求解解答：解：P（A）=，P（AB）=由条件概率公式得P（B|A）=故答案为点评：本题考查了条件概率与互斥事件的概率，考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键在于对条件概率的理解与公式的运用，属中档题16一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02设发病的牛的头数为，则D=0.196；考点：离散型随机变量的期望与方差专题：概率与统计分析：确定发病的牛的头数为服从二项分布，根据方差的公式D=npq，即可得到结果解答：解：由题意知该病的发病率为0.02，且每次实验结果都是相互独立的，B（10，0.02），由二项分布的方差公式得到D=100.020.98=0.196故答案为：0.196点评：本题考查离散型随机变量的方差，运用离散型随机变量服从二项分布，直接利用公式求解17我们把形如y=f（x）（x）的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得lny=lnf（x）（x）=（x）lnf（x），两边对x求导数，得=（x）lnf（x）+（x），于是y=f（x）（x）（x）lnf（x）+（x），运用此方法可以求得函数y=xx（x0）在（1，1）处的切线方程是y=x考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：新定义；导数的概念及应用分析：由新定义，可得由f（x）=x，g（x）=x，所以f（x）=1，g（x）=1，所以y=（1lnx+x）xx，令x=1即可得到切线的斜率，再由点斜式方程，可得切线方程解答：解：由f（x）=x，g（x）=x，所以f（x）=1，g（x）=1，所以y=（1lnx+x）xx，所以y|x=1=（1lnx+x）xxx=1=1，即：函数y=xx（x0）在（1，1）处的切线的斜率为1，故切线方程为：y1=x1，即y=x，故答案为：y=x点评：本题考查导数的运用：求切线方程，同时考查对数法求导数的方法，考查运算能力，属于中档题18有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排正中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是346考点：排列、组合及简单计数问题专题：分类讨论分析：由题意知本题是一个分类计数问题，可以根据甲和乙的位置分类，甲和乙都在前排左面4个座位6种，都在前排右面4个座位6种，分列在中间3个的左右两边有442种，甲乙都在后排共有110种，甲乙分列在前后两排，列出所有的情况，相加得到结果解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题，都在前排左面4个座位6种都在前排右面4个座位6种分列在中间3个的左右442=32种在前排一共6+6+32=44种甲乙都在后排共有=110种甲乙分列在前后两排A22128=192种一共有44+110+192=346种，故答案为：346点评：本题考查排列组合和分类计数问题，在分类计数过程中，要考虑到各种情况是解题的关键，因为本题的分类情况比较多，要做到不重不漏三、解答题（本大题共5道题，共60分）19已知函数f（x）=|xm|，关于x的不等式f（x）3的解集为1，5（）求实数m的值；（）若实数a、b、c满足a2b+c=m，求a2+b2+c2的最小值考点：柯西不等式；绝对值不等式的解法专题：选作题；不等式分析：（）不等式f（x）3等价于m3xm+3，利用不等式f（x）3的解集为1，5，建立方程组，即可求实数m的值；（）由（）得：a2b+c=2，再利用柯西不等式求得a2+b2+c2的最小值解答：解：（）|xm|33xm3m3xm+3，由题意得，解得m=2；（）由（）可得a2b+c=2，由柯西不等式可得（a2+b2+c2）12+（2）2+12（a2b+c）2=4，a2+b2+c2当且仅当，即a=，b=，c=时等号成立，a2+b2+c2的最小值为点评：本题主要考查绝对值三角不等式、柯西不等式的应用，属于基础题20在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知曲线C1： （t为参数），C2：（为参数）（）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（cos2sin）=7距离的最小值考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程专题：坐标系和参数方程分析：（）曲线C1： （t为参数），利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程；C2：（为参数），利用cos2+sin2=1化为普通方程（）当t=时，P（4，4），Q（8cos，3sin），故M，直线C3：（cos2sin）=7化为x2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出解答：解：（）曲线C1： （t为参数），化为（x+4）2+（y3）2=1，C1为圆心是（4，3），半径是1的圆C2：（为参数），化为C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆（）当t=时，P（4，4），Q（8cos，3sin），故M，直线C3：（cos2sin）=7化为x2y=7，M到C3的距离d=|5sin（+）+13|，从而当cossin=，sin=时，d取得最小值点评：本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式公式、三角函数的单调性、椭圆与圆的参数与标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度不超过22公里的地铁票价如下表：乘坐里程x（单位：km）0x66x1212x22票价（单位：元）345现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22公里已知甲、乙乘车不超过6公里的概率分别为，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为，（）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列专题：概率与统计分析：（）求出甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为，求出甲、乙两人所付乘车费用相同的概率，即可求解甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率（）求出=6，7，8，9，10，求出概率，得到的分布列，然后求解期望即可解答：（本小题满分12分）解：（）由题意可知，甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为，则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率（2分）所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率（4分）（）由题意可知，=6，7，8，9，10则（10分）所以的分布列为678910P则（12分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列期望的求法，考查计算能力22如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A、B两点当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为（1）求椭圆C的方程；（2）若点E的坐标为（，0），点A在第一象限且横坐标为，连结点A与原点O的直线交椭圆C于另一点P，求PAB的面积；（3）是否存在点E，使得+为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由，设a=3k（k0），则，b2=3k2，可设椭圆C的方程为，由于直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点，即，代入椭圆方程，解得y即可得出（2）将代入，解得y，可得直线AB的方程，与椭圆方程联立解得B，又PA过原点O，可得P，|PA|，直线PA的方程，求出点B到直线PA的距离h，k可得SPAB=（3）假设存在点E，使得为定值，设E（x0，0），当直线AB与x轴重合时，有=，当直线AB与x轴垂直时，可得=，利用，解得x0，若存在点E，此时，为定值2根据对称性，只需考虑直线AB过点，设A（x1，y1），B（x2，y2），又设直线AB的方程为，与椭圆C联立方程组，利用根与系数的关系即可得出解答：解：（1）由，设a=3k（k0），则，b2=3k2，椭圆C的方程为，直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点，即，代入椭圆方程，解得y=k，于是，即，椭圆C的方程为（2）将代入，解得y=1，点A在第一象限，从而，由点E的坐标为，直线AB的方程为，联立，解得，又