平面向量数量积的物理背景及其含义 教学设计.doc

平面向量数量积的物理背景及其含义 教学设计一、教学分析前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功图1功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义a.这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.二、教学目标1、知识与技能：掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件。2、过程与方法：通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系。3、情感态度与价值观：通过与物理中“功”的类比抽象出向量的数量积，培养学生的抽象概括能力。三、重点难点教学重点:平面向量数量积的定义.教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.四、教学设想（一）导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所做的功W可由下式计算:其中是F与s的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量).故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？（二）推进新课、新知探究、提出问题ab的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么?由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？我们知道,对任意R,恒有()22+22,()()22.对任意向量a、b,是否也有下面类似的结论?(1)()22+2a2;(2)()()22.活动:已知两个非零向量a与b,我们把数量叫做a与b的数量积(或内积),记作ab,即a(0).其中是a与b的夹角()叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0180.图2在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a0=0;(3)符号“”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“”代替;(4)当00,从而ab0;当时0,从而ab0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.已知和实数,则向量的数量积满足下列运算律:aa(交换律);(a)(ab)(b)(数乘结合律);()c(分配律).特别是:(1)当a0时,由a0不能推出b一定是零向量.这是因为任一与a垂直的非零向量b,都有a0.图3(2)已知实数a、b、c(b0),则.但对向量的数量积,该推理不正确,即ac不能推出.由图3很容易看出,虽然ac,但ac.(3)对于实数a、b、c有(ab)(bc);但对于向量a、b、c,(ab)(bc)不成立.这是因为(ab)c表示一个与c共线的向量,而a(bc)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(ab)(bc)不成立.讨论结果:是数量,叫数量积.数量积满足aa(交换律);(a)(ab)(b)(数乘结合律);()c(分配律).(1)()2=()()2+2a2;(2)()()22.提出问题如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影”的概念,如图4.图4定义叫做向量b在a方向上的投影.并引导学生思考:1投影也是一个数量,不是向量;2当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为0;当=0时投影为;当=180时投影为.教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义:数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影的乘积.让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质:设a、b为两个非零向量是与b同向的单位向量.1e.2a0.3当a与b同向时;当a与b反向时.特别地a2或.4=.5.上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程中理解并记忆这些性质.讨论结果:略(见活动).向量的数量积的几何意义为数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影的乘积.（三）应用示例思路1例1 已知平面上三点A、B、C满足21, ,求+的值.活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需条件.因为已知、的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到A是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果.解:由已知222,所以是直角三角形.而且90,从而.60,30.与的夹角为120,与的夹角为90,与的夹角为150.故+=21120+190+21504.点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中与的夹角是120,而不是60.变式训练已知64与b的夹角为60,求(2b)(3b).解:(2b)(3b)6bb2622-62=62-6460-64272.例2 已知34,且a与b不共线,当k为何值时,向量与互相垂直?解与互相垂直的条件是()()=0,即a22b2=0.a2=32=92=42=16,9-16k2=0.也就是说,当时与互相垂直.点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件.变式训练已知向量a、b满足2=912,求的取值范围.解:22=9,3.又a12,12.,1234.故的取值范围是4).思路2例1 已知在四边形中,且aa,试问四边形的形状如何？解:0,即0,().由上可得()2=()2,即a2+2a22+2c2.又ad,故a2222.同理可得a2222.由上两式可得a22,且b22,即,且,也即,且,是平行四边形.故=,即.又ab,即a,ab,即.综上所述是矩形.点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状.例2 已知是两个非零向量,且,求向量b与的夹角.活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以为邻边的,若,则.由,可知60与所成角是150.我们还可以利用数量积的运算,得出向量b与的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由=作为切入点,进行求解.解:,b2=()2.22+2a2.a2.而b()2222,由()22-2a22-2()22=32,而2=()2=32,3.=代入,得.又0,=.点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题,解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会.变式训练设向量(R),已知244,且b与c的夹角为120,求的值.解:ac,a0.又,c()c,即2c.2c.由已知2=164,164n.4.从而4b.b1204,4()4.2.由4b,得