北师大版初三数学相似三角形单元测试题.doc

相似三角形专题一选择题（共10小题）1已知5x=6y（y0），那么下列比例式中正确的是（）ABCD2已知=，则a+c+e=6，则b+d+f=（）A12B9C6D43如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A1：4B1：3C1：2D1：14 如图，ABC中，AB=AC=12，ADBC于点D，点E在AD上且DE=2AE，连接BE并延长交AC于点F，则线段AF长为（）A4B3C2.4D25如图.ABC中，DEBC，AC=9，CE=6，AD=4，则BD的值为（）A4B6C8D126如图，已知AD为ABC的角平分线，DEAB交AC于E，如果=，那么等于（）ABCD7如图，ABCD，AD与BC相交于点O，若AO=2，DO=4，BO=3，则BC的长为（）A6B9C12D158已知ABCDEF，SABC：SDEF=1：4若BC=1，则EF的长为（）A1B2C3D49如果ABC与DEF的相似比为1：5，则ABC与DEF的面积比为（）A1：25B1：5C1：2.5D1：10如图，正方形ABCD中，AB=2，E为BC中点，两个动点M和N分别在边CD和AD上运动且MN=1，若ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，则DM为（）ABC或D或二填空题（共10小题）11若，则=12已知三个数1，2，请再添上一个数，使它们构成一个比例式，满足这样条件的数是13已知线段a=3cm，b=4cm，那么线段a、b的比例中项等于cm14已知线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b=15如图，ABGHCD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=4，则GH的长为16如图，ABCDEF，如果AC=2，AE=6，DF=3，那么BD=17如果两个相似三角形对应角平分线的比是4：9，那么它们的周长比是18若两个相似三角形的周长之比为2：3，较小三角形的面积为8cm2，则较大三角形面积是cm219如图，P是RtABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，满足这样条件的直线共有条20如图，在ABC中，C=90，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，沿BC以2cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为ts，当t=时，CPQ与CBA相似三解答题（共10小题）21如图所示，在44的正方形方格中，ABC和DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上（1）填空：ABC=，BC=；（2）判断ABC与DEF是否相似？并证明你的结论22如图，在ABC中，ABC=80，BAC=40，AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E，连接BD求证：ABCBDC23如图，已知正方形ABCD，点E在CB的延长线上，联结AE、DE，DE与边AB交于点F，FGBE且与AE交于点G（1）求证：GF=BF（2）在BC边上取点M，使得BM=BE，联结AM交DE于点O求证：FOED=ODEF24如图，已知ACBD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，SBEF：SEFC=2：3（1）求EF的长；（2）如果BEF的面积为4，求ABC的面积25如图，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC、DE，两杆相距30米，测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H、B、F、D、G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度？26如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行并使直角边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，且测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=25米，求旗杆AB的高度 27小亮和小颖想用下面的方法测量学校教学楼的高度：如图，小亮蹲在地上，小颖站在小亮和教学楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M、小颖的头部B及小亮的眼睛A恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C、D，然后测出两人之间的距离CD=2m，小颖与教学楼之间的距离DN=38m，（C、D、M在同一直线上），小颖的身高BD=1.6m，小亮蹲地观测时眼睛到底面的距离AC=1m请你根据以上测量数据帮助他们求出教学楼的高度28ABC是一块锐角三角形余料，边BC=180mm，高AD=120mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？29如图，在ABC中，B=90，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始，沿AB边以1cm/s的速度向点B运动：点Q从点B开始，沿BC边以2cm/s的速度向点C运动，当点P运动到点B时，运动停止，如果P、Q分别从A、B两点同时出发（1）几秒后PBQ的面积等于8cm2？（2）几秒后以P、B、Q为顶点的三角形与ABC相似？30如图，在ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD（1）通过计算，判断AD2与ACCD的大小关系；（2）求ABD的度数2017年05月15初中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1（2017繁昌县模拟）已知5x=6y（y0），那么下列比例式中正确的是（）ABCD【分析】比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案【解答】解：A、=，则5y=6x，故此选项错误；B、=，则5x=6y，故此选项正确；C、=，则5y=6x，故此选项错误；D、=，则xy=30，故此选项错误；故选：B【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积2（2017兰州模拟）已知=，则a+c+e=6，则b+d+f=（）A12B9C6D4【分析】由=得a=b、c=d、e=f，代入到a+c+e=6可得答案【解答】解：由=得a=b、c=d、e=f，则b+d+f=6，即（b+d+f）=6，b+d+f=6=9，故选：B【点评】本题主要考查比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质和等式的性质是解题的关键3（2017东平县一模）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A1：4B1：3C1：2D1：1【分析】首先证明DFEBAE，然后利用对应边成比例，E为OD的中点，求出DF：AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值【解答】解：在平行四边形ABCD中，ABDC，则DFEBAE，O为对角线的交点，DO=BO，又E为OD的中点，DE=DB，则DE：EB=1：3，DF：AB=1：3，DC=AB，DF：DC=1：3，DF：FC=1：2；故选：C【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明DFEBAE，然后根据对应边成比例求值4（2017太原一模）如图，ABC中，AB=AC=12，ADBC于点D，点E在AD上且DE=2AE，连接BE并延长交AC于点F，则线段AF长为（）A4B3C2.4D2【分析】作DHBF交AC于H，根据等腰三角形的性质得到BD=DC，得到FH=HC，根据平行线分线段成比例定理得到=2，计算即可【解答】解：作DHBF交AC于H，AB=AC，ADBC，BD=DC，FH=HC，DHBF，=2，AF=AC=2.4，故选：C【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、平行线分线段成比例定理，掌握等腰三角形的三线合一、平行线分线段成比例定理是解题的关键5（2017河南模拟）如图所示，ABC中，DEBC，AC=9，CE=6，AD=4，则BD的值为（）A4B6C8D12【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可【解答】解：DEBC，=，即=，解得，BD=8，故选：C【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键6（2017河北一模）如图，已知AD为ABC的角平分线，DEAB交AC于E，如果=，那么等于（）ABCD【分析】由平行线分线段成比例定理得出=，再由角平分线性质即可得出结论【解答】解：DEAB，=，AD为ABC的角平分线，=；故选：B【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、角平分线的性质；熟练掌握平行线分线段成比例定理和角平分线的性质是解决问题的关键7（2017西华县二模）如图，ABCD，AD与BC相交于点O，若AO=2，DO=4，BO=3，则BC的长为（）A6B9C12D15【分析】由平行线分线段成比例定理，得到=；利用AO、BO、DO的长度，求出CO的长度，再根据BC=BO+CO即可解决问题【解答】解：ABCD，=；AO=2，DO=4，BO=3，=，解得：CO=6，BC=BO+CO=3+6=9故选B【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例是解题的关键8（2017徐州一模）已知ABCDEF，SABC：SDEF=1：4若BC=1，则EF的长为（）A1B2C3D4【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求得相似比后即可求得线段EF的长【解答】解：ABCDEF，SABC：SDEF=1：4，BC：EF=1：2，BC=1，EF=2，故选B【点评】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的面积的比等于相似比的平方，难度不大9（2017沙坪坝区一模）如果ABC与DEF的相似比为1：5，则ABC与DEF的面积比为（）A1：25B1：5C1：2.5D1：【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论【解答】解：ABC与DEF的相似比为1：5，ABC与DEF的面积比为1：25故选A【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的一半是解答此题的关键10（2017长清区一模）如图，正方形ABCD中，AB=2，E为BC中点，两个动点M和N分别在边CD和AD上运动且MN=1，若ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，则DM为（）ABC或D或【分析】根据勾股定理求出AE，分ABEMDN和ABENDM两种情况，根据相似三角形的性质计算即可【解答】解：E为BC中点，BE=1，由勾股定理得，AE=，当ABEMDN时，=，即=，解得，DM=，同理，当ABENDM时，DM=，DM为或，故选：D【点评】本题考查的是相似三角形的性质、正方形的性质，掌握相似三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键二填空题（共10小题）11（2017高台县模拟）若，则=【分析】设a=3k，b=4k，则代入计算即可【解答】解：，设a=3k，b=4k，=故答案为：【点评】本题是基础题，考查了比例的性质，比较简单设出a=3k，b=4k是解此题的关键12（2017杭州一模）已知三个数1，2，请再添上一个数，使它们构成一个比例式，满足这样条件的数是，2【分析】根据比例的性质，可得答案【解答】解：1=2：；：2=：1，：1=2：2，故答案为：，2【点评】本题考查了比例的性质，利用内项的积等于外项的积是解题关键13（2017浦东新区一模）已知线段a=3cm，b=4cm，那么线段a、b的比例中项等于2cm【分析】根据线段的比例中项的定义列式计算即可得解【解答】解：线段a=3cm，b=4cm，线段a、b的比例中项=2cm故答案为：2【点评】本题考查了比例线段，熟记线段比例中项的求解方法是解题的关键，要注意线段的比例中项是正数14（2017徐汇区一模）已知线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b=6【分析】根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2=ac即可求解【解答】解：若b是a、c的比例中项，即b2=ac则b=6故答案为：6【点评】本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负15（2017历城区模拟）如图，ABGHCD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=4，则GH的长为【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，将两个式子相加，即可求出GH的长【解答】解：ABCHCD，+=+=1，AB=2，CD=4，+=1，解得：GH=；故答案为：【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；由平行线分线段成比例定理得出比例式是解决问题的关键16（2017泰州一模）如图，ABCDEF，如果AC=2，AE=6，DF=3，那么BD=1.5【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可【解答】解：ABCDEF，=，即=，解得，BD=1.5，故答案为：1.5【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键17（2017奉贤区一模）如果两个相似三角形对应角平分线的比是4：9，那么它们的周长比是4：9【分析】由两个相似三角形对应角平分线的比是4：9，根据相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比，周长的比等于相似比，即可求得答案【解答】解：两个相似三角形对应角平分线的比是4：9，它们的相似比为4：9，它们的周长比为4：9故答案为：4：9【点评】此题考查了相似三角形的性质注意熟记定理是解此题的关键18（2017东莞市一模）若两个相似三角形的周长之比为2：3，较小三角形的面积为8cm2，则较大三角形面积是18cm2【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求出面积比，根据题意计算即可【解答】解：两个相似三角形的周长之比为2：3，两个相似三角形的相似比是2：3，两个相似三角形的面积比是4：9，又较小三角形的面积为8cm2，较大三角形的面积为18cm2，故答案为：18【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比19（2017平南县一模）如图，P是RtABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，满足这样条件的直线共有3条【分析】过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以【解答】解：由于ABC是直角三角形，过P点作直线截ABC，则截得的三角形与ABC有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与RtABC相似，过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线故答案为：3【点评】本题主要考查三角形相似判定定理及其运用解题时运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似20（2017南开区校级模拟）如图，在ABC中，C=90，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，沿BC以2cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为ts，当t=4.8或时，CPQ与CBA相似【分析】分CP和CB是对应边，CP和CA是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解【解答】解：CP和CB是对应边时，CPQCBA，所以，=，即=，解得t=4.8；CP和CA是对应边时，CPQCAB，所以，=，即=，解得t=综上所述，当t=4.8或时，CPQ与CBA相似故答案为4.8或【点评】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于分情况讨论三解答题（共10小题）21（2017无锡一模）如图所示，在44的正方形方格中，ABC和DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上（1）填空：ABC=135，BC=2；（2）判断ABC与DEF是否相似？并证明你的结论【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出ABC的度数，根据，ABC和DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段BC的长；（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明ABC与DEF相似【解答】（1）解：ABC=90+45=135，BC=2；故答案为：135；2（2）ABCDEF证明：在44的正方形方格中，ABC=135，DEF=90+45=135，ABC=DEFAB=2，BC=2，FE=2，DE=，=ABCDEF【点评】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系22（2017益阳模拟）如图，在ABC中，ABC=80，BAC=40，AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E，连接BD求证：ABCBDC【分析】由线段垂直平分线的性质，得DA=DB，则ABD=BAC=40，从而求得CBD=40，即可证出ABCBDC【解答】证明：DE是AB的垂直平分线，AD=BDBAC=40，ABD=40，ABC=80，DBC=40，DBC=BAC，C=C，ABCBDC【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质，题目难度不大23（2017金山区一模）如图，已知正方形ABCD，点E在CB的延长线上，联结AE、DE，DE与边AB交于点F，FGBE且与AE交于点G（1）求证：GF=BF（2）在BC边上取点M，使得BM=BE，联结AM交DE于点O求证：FOED=ODEF【分析】（1）根据已知条件可得到GFAD，则有=，由BFCD可得到=，又因为AD=CD，可得到GF=FB；（2）延长GF交AM于H，根据平行线分线段成比例定理得到，由于BM=BE，得到GF=FH，由GFAD，得到，等量代换得到，即，于是得到结论【解答】证明：（1）四边形ABCD是正方形，ADBC，ABCD，AD=CD，GFBE，GFBC，GFAD，ABCD，AD=CD，GF=BF；（2）延长GF交AM于H，GFBC，FHBC，BM=BE，GF=FH，GFAD，FOED=ODEF【点评】本题主要考查平行线分线段成比例及正方形的性质，掌握平行线分线段中的线段对应成比例是解题的关键，注意利用比例相等也可以证明线段相等24（2017松江区一模）如图，已知ACBD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，SBEF：SEFC=2：3（1）求EF的长；（2）如果BEF的面积为4，求ABC的面积【分析】（1）先根据SBEF：SEFC=2：3得出CF：BF的值，再由平行线分线段成比例定理即可得出结论；（2）先根据ACBD，EFBD得出EFAC，故BEFABC，再由相似三角形的性质即可得出结论【解答】解：（1）ACBD，AC=6，BD=4，BEF和CEF同高，且SBEF：SCEF=2：3，EFBD，（2）ACBD，EFBD，EFAC，BEFABC，SBEF=4，SABC=25【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键25（2016秋建湖县期末）如图，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC、DE，两杆相距30米，测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H、B、F、D、G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度？【分析】根据AHCBDE，可得AHFCBF，AHGEDG，可得=，=，即可求得AH的值，即可解题【解答】解：解：由题意知，设AH=x，BH=y，AHFCBF，AHGEDG，=，=，3x=1.5（y+3），5x=1.5（y+30+5）解得x=24m答：旗杆AH的高度为24m【点评】本题考查了相似三角形的应用，平行线的性质等知识，本题中列出关于AH、BH的关系式是解题的关键26（2016秋盐都区期末）如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行并使直角边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，且测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=25米，求旗杆AB的高度【分析】求出ACD和FED相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出AC，再求出BC=DG，然后根据旗杆的高度AB=AC+BC代入数据计算即可得解【解答】解：ADC=FDE，ACD=FED=90，ACDFED，=，即=，解得AC=12.5，ABBG，DGBG，DCAB，ABG=BGD=DCB=90，四边形BGDC是矩形，BC=DG=1.5，AB=AC+BC=12.5+1.5=14米答：旗杆AB的高度是14米【点评】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质，主要利用了相似三角形对应边成比例27（2015秋兴宁区校级月考）小亮和小颖想用下面的方法测量学校教学楼的高度：如图，小亮蹲在地上，小颖站在小亮和教学楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M、小颖的头部B及小亮的眼睛A恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C、D，然后测出两人之间的距离CD=2m，小颖与教学楼之间的距离DN=38m，（C、D、M在同一直线上），小颖的身高BD=1.6m，小亮蹲地观测时眼睛到底面的距离AC=1m请你根据以上测量数据帮助他们求出教学楼的高度【分析】过A作CN的平行线交BD于E，交MN于F，由相似三角形的判定定理得出ABEAMF，再由相似三角形的对应边成比例即可得出MF的长，进而得出结论【解答】解：过A作CN的平行线交BD于E，交MN于F由已知可得FN=ED=AC=0.8m，AE=CD=1.25m，EF=DN=30m，AEB=AFM=90又BAE=MAF，ABEAMF=，即=，解得MF=12mMN=MF+FN=12+1=13（m）教学楼的高度为13m【点评】本题考查的是相似三角形的应用，解答此题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答；此题需要转化为相似三角形的问题，利用相似三角形的判定与性质求解28（2015秋长沙校级月考）ABC是一块锐角三角形余料，边BC=180mm，高AD=120mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？【分析】（1）设出边长为xmm，由正方形的性质得出PNBC，PQAD，根据平行线的性质，可以得出比例关系式，=、=，代入数据求解即可（2）设宽为xmm，则长为2xmm，同（1）列出比例关系求解，但是要注意有两种情况，PQ可以为长也可以为宽，分两种情况分别求解即可【解答】解：（1）设边长为xmm，矩形为正方形，PNBC，PQAD，根据平行线的性质可以得出：=、=，由题意知PQ=x，BC=180mm，AD=120mm，PN=x，即=，=，AP+BP=AB，+=+=1，解得x=72答：若这个矩形是正方形，那么边长是72mm（2）设边宽为xmm，则长为2xmm，四边形PNMQ为矩形，PNBC，PQAD，根据平行线的性质可以得出：=、=，PQ为长，PN为宽：由题意知PQ=2xmm，AD=120mm，BC=180mm，AN=xmm，即=，=，AP+BP=AB，+=+=1，解得x=45，2x=90即长为90mm，宽为45mmPQ为宽，PN为长：由题意知PQ=xmm，AD=120mm，BC=180mm，PN=2xmm，即=，=，AP+BP=AB，+=+=1，解得x=，2x=即长为mm，宽为mm答：矩形的长为90mm，宽是45mm或者长为mm，宽为mm【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要