2011届高三数学第一轮复习(数列综合).doc

选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库2011届高三数学第一轮复习(数列综合） 高考在考什么【考题回放】1、 (2008福建文) 已知是整数组成的数列，且点在函数的图像上：（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求证：.解：（1）由已知得：， 所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列；即 （2）由（1）知所以：2、(2008福建理) 已知函数.（）设an是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点(nN*)在函数y=f(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f(x)的图象上；（）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值. ()证明：因为所以(x)=x2+2x, 由点在函数y=f(x)的图象上, 又所以x(-,-2)-2(-2,0)0(0,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值 所以,又因为(n)=n2+2n,所以, 故点也在函数y=f(x)的图象上.()解:,由得.当x变化时,的变化情况如下表:注意到,从而当,此时无极小值；当的极小值为,此时无极大值；当既无极大值又无极小值.3、（2008安徽理）设数列满足为实数（）证明：对任意成立的充分必要条件是；（）设，证明：;（）设，证明：解 (1) 必要性 ： ， 又 ，即充分性 ：设，对用数学归纳法证明 当时，.假设 则，且，由数学归纳法知对所有成立 (2) 设 ，当时，结论成立 当 时， ,由（1）知，所以 且 (3) 设 ，当时，结论成立 当时，由（2）知 4（2008北京理）对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义设是每项均为正整数的有穷数列，令（）如果数列为5，3，2，写出数列；（）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；（）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，4（）解：，；，（）证明：设每项均是正整数的有穷数列为，则为，从而又，所以，故（）证明：设是每项均为非负整数的数列当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，则当存在，使得时，若记数列为，则所以从而对于任意给定的数列，由可知又由（）可知，所以即对于，要么有，要么有因为是大于2的整数，所以经过有限步后，必有即存在正整数，当时，5、(2008湖南理)数列 ()求并求数列的通项公式； ()设证明：当 13解: ()因为所以 一般地，当时，即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为()由()知， -得， 所以 要证明当时，成立，只需证明当时，成立. 证法一 (1)当n = 6时，成立. (2)假设当时不等式成立，即 则当n=k+1时， 由(1)、(2)所述，当n6时，.即当n6时， 证法二 令，则 所以当时，.因此当时，于是当时，综上所述，当时，6、(2008江西理) 等差数列各项均为正整数，前项和为，等比数列中，且，是公比为64的等比数列 （1）求与； （2）证明：16.解：设公差为d，由题意易知d0，且dN*，则通项=3 +（n1）d，前n项和。再设公比为q，则通项由可得 又为公比为64的等比数列， 联立、及d0，且dN*可解得q = 8，d = 2通项= 2n + 1 ，nN*通项，nN*（2）由（1）知，nN*，nN*高考要考什么本章主要涉及等差（比）数列的定义、通项公式、前n项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏其中小题主要考查间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函数、方程与不等式，解析几何 等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷常见题型：（1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力（2）给出Sn与an的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力（3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列突 破 重 难 点【范例1】已知数列，满足，且（）（I）令，求数列的通项公式；（II）求数列的通项公式及前项和公式解：（）由题设得，即（）易知是首项为，公差为的等差数列，通项公式为（II）解：由题设得，令，则易知是首项为，公比为的等比数列，通项公式为 由解得， 求和得【变式】（文）在等差数列中，前项和满足条件， （）求数列的通项公式；（）记，求数列的前项和。解：（）设等差数列的公差为,由得：，所以，即，又，所以。（）由，得。所以，当时，；当时，即。（理）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（）、求数列的通项公式；（）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；解：（）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5.当n1时，a1S13122615，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）a；（3）记（n=1,2,），求数列bn的前n项和Sn。解析：（1），是方程f(x)=0的两个根，； （2），=，有基本不等式可知（当且仅当时取等号），同，样，（n=1,2,）， （3），而，即，同理，又【文】已知函数，、是方程的两个根()，是的导数设，.(1)求、的值；(2)已知对任意的正整数有,记,.求数列的前项和解、(1) 由 得 (2) 又 数列是一个首项为 ,公比为2的等比数列; 【变式】对任意函数f（x），xD，可按图示32构造一个数列发生器，其工作原理如下：输入数据x0D，经数列发生器输出x1f（x0）；若x1D，则数列发生器结束工作；若x1D，则将x1反馈回输入端，再输出x2f（x1），并依此规律继续下去现定义f（x）=（）若输入x0，则由数列发生器产生数列xn请写出数列xn的所有项；（）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值；（）（理）若输入x0时，产生的无穷数列xn满足：对任意正整数n,均有xnxn1，求x0的取值范围解：（）f（x）的定义域D（1）（1，）数列xn只有三项x1，x2，x31（）f（x）x即x23x20，x1或x2即x01或2时，xn1xn，故当x01时，x01；当x02时，xn2（nN）（）解不等式x，得x1或1x2，要使x1x2，则x21或1x12对于函数f（x）。若x11，则x2f（x1）4，x3f（x2）x2当1x12时，x2f（x）x1且1x22依次类推可得数列xn的所有项均满足xn1xn（nN）综上所述，x1（1，2），由x1f（x0），得x0（1，2）【范例3】已知（）是曲线上的点，是数列的前项和，且满足，（I）证明：数列（）是常数数列；（II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；（III）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增解：（I）当时，由已知得因为，所以 于是 由得 于是 由得， 所以，即数列是常数数列（II）由有，所以由有，所以，而 表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，所以，数列是单调递增数列且对任意的成立且即所求的取值集合是（III）解法一：弦的斜率为任取，设函数，则记，则，当时，在上为增函数，当时，在上为减函数，所以时，从而，所以在和上都是增函数由（II）知，时，数列单调递增，取，因为，所以取，因为，所以所以，即弦的斜率随单调递增解法二：设函数，同解法一得，在和上都是增函数，所以，故，即弦的斜率随单调递增【文】设是数列（）的前项和，且，（I）证明：数列（）是常数数列；（II）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列（）中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项解：（I）当时，由已知得因为，所以 于是 由得：于是由得：即数列（）是常数数列（II）由有，所以由有，所以，而表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列所以，由题设知，当为奇数时，为奇数，而为偶数，所以不是数列中的项，只可能是数列中的项若是数列中的第项，由得，取，得，此时，由，得，从而是数列中的第项（注：考生取满足，的任一奇数，说明是数列中的第项即可）【变式】（文）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，（1） 证明数列lg(1+an)是等比数列；（2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及数列an的通项；（3） 记bn=，求bn数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.解：（）由已知，两边取对数得，即是公比为2的等比数列.（）由（）知（*）=由（*）式得（） 又 又（理）在数列中，其中（）求数列的通项公式；（）求数列的前项和；（）证明存在，使得对任意均成立（）解法一：，由此可猜想出数列的通项公式为以下用数学归纳法证明（1）当时，等式成立（2）假设当时等式成立，即，那么这就是说，当时等式也成立根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立解法二：由，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为（）解：设，当时，式减去式，得，这时数列的前项和当时，这时数列的前项和（）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：由知，要使式成立，只要，因为所以式成立因此，存在，使得对任意均成立选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 (按ctrl 点击打开)选校网（）是为高三同学和家长提 供高考选校信息的一个网站。国内目前有2000多所高校，高考过后留给考生和家长选校的时间紧、高校多、专业数量更是庞大，高考选校信息纷繁、复杂，高三 同学在面对高考选校时会不知所措。选校网就是为考生整理高考信息，这里有1517专业介绍，近2000所高校简介、图片、视频信息。选校网，力致成为您最 强有力的选校工具！产品介绍：1.大学搜索：介绍近2000所高校最详细的大学信息，包括招生简章，以及考生最需要的学校招生办公室联系方式及学校地址等.2.高校专业搜索：这里包含了中国1517个专业介绍，考生查询专业一目了然，同时包含了专业就业信息，给考生报考以就业参考。3.图片搜索：这里有11万张全国高校清晰图片，考生查询学校环境、校园风景可以一览无余。4视频搜索：视频搜索包含了6162个视频信息，大学视频、城市视频、访谈视频都会在考生选校时给考生很大帮助。5.问答：对于高考选校信息或者院校还有其他疑问将自己的问题写在这里，你会得到详尽解答。6新闻：高考新闻、大学新闻、报考信息等栏目都是为考生和家长量身定做，和同类新闻网站相比更有针对性。7.千校榜：把高校分成各类，让考生选校时根据类别加以区分，根据排名选择自己喜欢的高校。8选校课堂：这里全部的信息都是以考生选校、选校技巧、经验为核心，让专家为您解答高考选校的经验和技巧。9.阳光大厅：考生经过一年紧张的学习生活心理压力有待缓解和释放，阳光大厅给家长以心灵启示，给考生心里以阳光。10.港澳直通：很多考生都梦想去香港澳门读大学，港澳直通，给考生的梦想一个放飞的地方，港澳直通囊括了港澳大学的所有信息，将一切更直观的呈现给考生。11.选校社区：注册您真是的信息，在这里可以和大家分享您所在城市的到校信息，