基于有理插值样条的非线性回归算法

基于有理插值样条的非线性回归算法徐群( 合肥工业大学 数学学院 ,安徽 合肥 230009)摘 要 :非线性回归问题的近似解法 ,通常采用 Gauss2Newto n 迭代法 。鉴于非线性回归问题的特点 ,用有理插值函数逼近方法也得到了较好的结果 。文章利用基于函数值的带参数的有理插值样条逼近非线性回归模 型 ,给出计算回归方程的一种算法 。实例表明 ,所给方法拟合程度高 ,回归方程有效性显著 ,且在预测方面也 有较好的效果 。关键词 :有理插值样条 ; 非线性回归 ; 有效性文章编号 :100325060 (2009) 0821290203中图分类号 : T P391文献标识码 : AA met hod of nonl inear regression ba sed on rat ional interpolat ion spl ineXU Q un( School of Mat he matics , Hef ei U niver sit y of Technolo gy , Hef ei 230009 , Chi na)Abstract : The app ro xi mat e met ho d of no nli nea r regre ssio n i s u suall y t he Ga u ss2New to n met ho d.Inview of t he cha ract eri stic s of t he no nli nea r re gre ssio n p ro ble m , ratio nal i nt e rpolatio n f u nctio n app ro xi2matio n met ho ds ca n be app lied a nd bet t er re sult s have bee n go t t e n . In t hi s p ap e r , a new met ho d of no nli nea r regre ssio n ha s bee n de rive d t hat dep e nd s o n t he ratio nal i nt e rpolatio n sp li ne ba sed o n f unc2 tio n val ue s. A nd t he a rit h metic of t he re gre ssio n equatio n i s al so go t t e n . The re sult s of e xa mp le s sho w t hat t he met ho d ha s a hi gh fit ti ng de gree , t he vali dit y of t he regre ssio n equatio n i s no t a ble , a ndt he met ho d al so ha s f airl y goo d eff ect i n t he fo reca st fiel d.Key words :ratio nal i nt erpolatio n sp li ne ; no nli nea r re gre ssio n ; vali dit y在统计计算及统计计量分析中 ,经常会遇到非线性回归问题 ,其一般模型为 :y = ( x ,) +。其中 ,分别为 d 维参数向量及随机变量 , E ()= 0 , va r () =2 。 解决非线性回归问题通常采用线性化方法 ,即将非线性问题转化为线性问题处理 。对于线性 化问题 , 最小二乘法是常用的有效方法 。而对不 能转 化 为 线 性 的 所 谓 纯 非 线 性 问 题 , 通 常 采 用 Ga u ss2New to n 迭代法 1 。鉴于用有理函数逼近非线性函数的有效性 , 文献 2 , 3 用有理插值函数对非线性回归逼近进 行了研究 , 取得了较好的效果 。本文利用基于函数值的有理样条插值函数去逼近 ( x ,) , 给出了具体算法 , 并用实例说明 , 所给算法与已有算法相比具有更好的逼近效果 。基于函数值的带参数有理样条有理样条是多项式样条的推广形式 , 文献 4 对有理样条进行了系统的介绍 。文献 5 , 6 对基 于函数值的一种有理插值样条进行了讨论 , 并给 出了一些有应用价值的结果 。在区间 a , b 上 给 定 插 值 点 及 函 数 值 ( x i , y i ) , i = 1 , 2 , , n , 使得 a = x1 x2 0 , i = 1 , 2 , , m -1 , 得到i且 , V 3i = (i + 1) y i +i y i + 1 ; W 3i = (i + 2) y i + 1 - x 33i , x i + 1 , i = 1 , 2 , m - 1 上 的 确 定 函 数hi3 1 。这里i 0 ,3i = ( y i + 1 - y i ) / hi 。P 3 33i( x) = Pi ( x ,i ) , 即为 a , b 上 的 插 值 函 数 。i +这种插值被 称作 基 于函 数值 的 一 元 有 理 插值 , 它满足 :此时 , 该 插 值 函 数 为 观 测 数 据 ( x i , y i ) , i = 1 , 2 , n 所得的非线性回归方程 。 如果需要对所观测现象进行预测 , 只需在上p 33( x i )y i , pi ( x i +1 )=y i +1 ,ip 3 = i , pi ( x i +1 ) = i +1 。33 3( x i )述步骤 ( 1) 中构造新样本点 x 33m + 1 时 , 改变 hm - 1 , 以i显然 , 插值函数 P 3 ( x) 在 x i , x i + 1 上对插值使得预测点位于最后一个插值区间内 , 即可得到预测信息 。在计算新样本点时 , 可以根据需要 , 选 择已知数据中的若干数据进行插值 , 得到更复杂 的函数 , 从而获得新样本点 , 也可以选择某个较接 近 被 逼 近 函 数 的 已 知 函 数 来 计 算 新 样 本 点 的函数值 。i数据 ( x i , y i ) , i = 1 , 2 , , n 和参数i 是惟一的 。2样条逼近算法一般一元非线性回归模型为 :y = ( x ,) +( 2)其中 ,= (1 ,2 , ,r ) 为未知参数向量 ;为随机误差变量 , E () = 0 , va r () =2 。 采用上述基于函数值的一元有理插值样条对( x ,) 进行逼近 , 即寻求有理插值样条 :数值例子晶体振荡器频率中热敏网络电压 V 与温度T 的非线性关系为 7 :3P 311= i ( x ,) , i = 1 , 2 , , n -i ( x)1 ,293TV=1 1确定参数的具体值 , 即可求得所需回归模型 。根据上述建模思路 , 模型的具体算法步骤为 : ( 1) 从已知样本数据 a = x1 x2 x n = b3 a5 ec5 T - 293b 1 1+ b2 + a4 ec4T - 293b1 +1 1b3 + a5 ec5T - 293( 3)为待定参中挑 选 适 当 的 数 据 组 成 新 的 样 本 ( x 3 , x 3 , ,其中 , E = 12 ; a= 1 ; b, b, b, a, c, c1 25123445x 33333m ) , 一般令 x1= x1 , x m= x n 。计算 hi= x i + 1 -数 。所得 T 与 V 的观测数据见表 1 前 3 列所列 。采用 Ga u ss2New to n 法 进行 7 次 迭 代 收 敛 ,在初始值选择恰当的情况下得到 :x 3i , i = 1 , 2 , , m - 1 。为 了 使所 得函 数为 区 间 a , b上的函数 , 故需加入新点 x 3 + 1 = x 3+ hm - 1 。mm取 ( x 3 - 1 , y 3 - 1 ) , ( x 3 , y 3= 01 214 740 5 ,= 01 356 985 5 ,m )进行线性插值 , 得插值b1b2mmm函数 y = k x + c , 将 x 3 + 1 代入得 y 3 + 1 , 由此得到新b3 = 11 142 07 0 ,c4 = 4 6981 075 ,a4 = 01 011 620 9 ,c5 = 3 9501 680 。mm的样本点 ( x 3 + 1 , y 3 + 1 ) 。mmx 3 x 3 x 3将这 些 值代 入 ( 3) 式 , T k 作 自 变 量 , 计 算 出V k 的值见表 1 所列 。采用文献 3 中的算法得出 另一组 R ( V k ) 的值 , 列于表 1 中 。( 2) 对新的 样 本 数 据