弯曲变形的概念.doc

91 弯曲变形的概念 一、弯曲与平面弯曲1、弯曲：直杆在垂直于杆轴的外力作用下，杆的轴线变为曲线，这种变形叫弯曲。2、梁：以弯曲为主变形的构件称为梁。其特点：a、形状：轴线是直的，横截面至少有一个对称轴。 b、荷载：荷载与梁轴垂直并作用在梁的纵向对称面内3、平面弯曲：梁变形后，梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的这种弯曲称为平面弯曲 二、梁的支座，支反力a、可动铰支座 b、固定铰支座 c、固定端支座 三、梁的三种形式 a、简支梁 b、外伸梁 c、悬臂梁 92梁的弯曲内力 、M一、梁的内力 求：Qm ，Mm 由 =0 =0； Qm+RA=0 Qm=RA =0 =0 =0； RA+Mm=0， Mm=RACQm剪力 Mm弯曲 梁平面弯曲时截面产生两种内力 : 剪力Q和弯矩M二、Q，M正负号的规定 剪力：顺时针为正，逆时针为负 弯矩：下受拉为正，上受拉为负 三、任意截面Q，M的计算 讲P155 例51 结论：要正确区别运算符号和性质符号例52 结论：取外力较少部分作研究对象例53 结论：在支座和集中力处左右截面上剪力不相同，而弯矩相同；在集中力偶处左右截面上的剪力相同，而弯矩不同四、 讨论：1、要正确区别性质符号和运算符号。所谓正，负Q，M是指性质符号而言2、Qx=y 或 Qx=y， Mx=M 或Mx=M3、可用“简便方法”计算截面内力六、求剪力和弯矩的基本规律（1）求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致（方向，转向相反）。一般取外力比较简单的一段进行分析（2）梁内任一截面上的剪力Q的大小，等于这截面左边（或右边）的与截面平行的各外力的代数和。若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有与y轴同向的外力使该截面产生正剪力，而所有与y轴反向的外力使该截面产生负剪力；若考虑右段为脱离体时，在此段梁所有与y轴同向的外力使该截面产生负剪力，而所有与y轴反向的外力使该截面产生正剪力。93、用M，Q，q间微分关系绘内力图一M，Q，q的微分关系 图梁上作用任意荷载q（x）：（1）取出梁中一微段dx（dx上认为荷载是均匀的）；（2）设截面内力：Q（x），M（x）。利用 =0。则：Q（x）+q（x）dxQ（x）+dQ（x）=0 dQ（x）=q（x）dx即 dQ（x）/dx=q（x） 剪力对x的一阶导数等于荷载 =0 M（x）M（x）+dM（x）+Q（x）dx+q（x）dxdx/2=0 即； dM（x）/dx=Q（x） 弯矩对x的一次导等于剪力（1） q（x）=0 （无线荷载） dQ（x）/dx=q（x）=0 说明剪力方程是常数。只有常数导数才为零，所以此时剪力图是一条水平线。 dM（x）/dx=Q（x） 而剪力是常数，说明原弯矩方程是x的一次函数，所以弯矩图是一条斜直线（2） q（x）=常数（有线载） dQ（x）/dx=q（x）=常数 说明剪力方程是x的一次函数，所以剪力图是一条斜直线。 即 dM（x）/dx=Q（x） 而剪力又是x的一次函数，说明原弯矩方程是x的二次函数。所以弯矩图是二次抛物线。M极植 在Q（x）=0处。由于 dM（x）/dx=Q（x）=0处有极植例题 三角荷载简化及内力图 q=q0x/l (相似比) 在dx段上的荷载（集中力） =qdx=q0xdx/l 合力p ： p=（q0/l）=q0l2/l2=q0l/2 （三角形面积） 合力p的位置： 以A点为矩心 据合力矩定理 ：pd= d=（1/p）=（1/p）=2l/3解：（1）求支座力 由=0，和 =0 解得RA=ql/6 RB=ql/3（1） 列Q，M方程式Q（x）=q0l/6 +q0（x）x=q0l/6 +q0x2/2l （0x5，剪力对正应力分布影响很小，可不计。公式=My/Iy 可适用横向弯曲。9-6 梁的应力强度计算一、强度条件 1、如果截面上下对称： （1） W1= W2=如y1 y2, 那么： W1 W2此时应强度条件： （2）材料抗拉压应力不同：要分别对拉应力和压应进行核对。 二、最大弯矩压应力：包括最大拉应力和最大压应力（最大压应力一般称为最小压应力，用表示）最大压应力发生在最大弯矩（绝对值）处。用截面的上下边缘。即： max为受拉区最外边缘到中性轴距离，为受压区最外边缘到中性轴距离。当中性轴是截面对称轴时，令： Wz=、Wz称为抗弯截面摸量（单位为cm3）则、；对矩形截面：Wz=bh3对圆形截面：Wz=d3三、强度计算的三类问题：1、强度核算：已知：、W、M 是否：2、选择截面：已知：、M据：确定截面尺寸（若是型钢可查型钢表）、计算许用核载：已知：、求进而确定荷载提高梁压应力强度的主要途径一、据：、压应力分布规律（远距离中性轴的正应力越大）。 、，提高降低 、考虑材料特性 、选合理的结构一、 具体措施：、据比值选择截面形状 、.选择合理的截面形状据正应力分布规律：、将矩形截面改成工字形、减轻梁的自重，在靠近（预制板开孔的道理）中性轴的地方开孔、据、选择合理的放置方法（同一截面）显然：则：所以通常矩形截面梁竖放。、锯材料的特性选择截面形状；.塑性材料：如钢材、因其受拉、受压容许应力相同。故将截面形状设计成对称于中性轴的截面，如矩形、工字形、圆形截面。.脆性材料：如铸铁、因其容许压应力大于容许拉应力，故选择不对称于中性轴的非对称截面，使中性轴偏于材料容许压应力较低的一边。如采用“”或“”截面。（如上侧受拉则“”，下侧受拉则“”）梁横截面上的剪应力及其强度的计算引言：在剪切弯曲时截上有、，因此上有、一般剪应力是影响梁的强度的次要因素，鼓将剪应力作简单介绍。一、矩形截面梁的剪应力1、两个假设： .横截面上各点处的剪应力方向都与剪力的方向一致。.梁横截面上距中性轴的距离处各点的剪应力数值都相等。讲图 2、横截面的任意一点处剪应力的计算为（推导略）横截面上的剪力横截面上需求剪应力处的水平线以下（或以上）部分的面积对中性轴的静距。 整个截面对中性轴的惯性距。 需求剪应力处的横截面的宽度。3、剪应力的分布规律：、沿着截面宽度均匀分布、沿截面高度的分布：由公式：知道Q、Iz、b是常数。剪应力的变化是由而变化，越大，也越大。当时， 则 ，y=0 时， （达到最大值则最大）二、工字型截面的梁的剪应力翼元部分的剪应力复杂，又很小，通常不计算。( 1 ) 腹板部分（按矩形） 通常计算可知：与相差不大，可近似认为腹板上的剪应力是均匀分布的，因为腹板上所承受的Q是工字型截面剪力的95%。 所以： 也可： 或：三、圆形截面梁的最大剪应力剪力与剪应力方向在圆截面任一点处不都是互相平行的，在圆周上的剪力与圆周相切。但在中性轴两端点处的剪应力方向平行与剪力Q。则在中性轴上方点处的剪应力都平行与剪力Q而且相等。这样可应用矩形截面剪应力公式： 其中： 则 四、环形截面梁的最大剪应力用推导圆形截面的方砖： 得： 其中： 是大半圆面积乘其型心到Z轴的距离减去小半圆面积乘上其型心到Z轴垂直距离。9-9 积分法计算梁变形一、求转角方程，挠曲线方程 积分一次得 而 再积分一次：“D”积分常数，常数距边界条件即求：、取（a）据 （）两边积分：边界条件：当X1=0、Ya=0、QA=0、C=0、D=0当 X=l 取（b）：据 两边积分：两边积分：边界条件：当 、 、Q=0 、C=0 、D=0当 叠加： 例： 已知：EI为常数 求、及解： 积分一次： （1）再积分一次： （2）确定积分常数：据边界条件： x=0 处 y=0 代入（1）式 D=0 x=l 处 y=0 代入（2）式 将C、D植代入（1）、（2