02 第二节 矩阵的特征值与特值向量.doc_第1页
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第二节 方阵的特征值与特征向量内容分布图示 特征值与特征向量的概念 例1 例2 例3 例4 例5 特征值与特征向量的性质 ( 1 ) 例6 特征值与特征向量的性质 ( 2 ) 例7 例8 定理1 例9 例10 例11 内容小结 课堂练习 习题4-2 返回内容要点:一、特征值与特征向量定义1 设是阶方阵, 如果数和维非零向量使成立, 则称数为方阵的特征值, 非零向量称为的对应于特征值的特征向量（或称为的属于特征值的特征向量）.注：1. 阶方阵的特征值，就是使齐次线性方程组 有非零解的值, 即满足方程的都是矩阵的特征值.称关于的一元次方程为矩阵的特征方程，称的一元次多项式 为矩阵的特征多项式.根据上述定义，即可给出特征向量的求法：设为方阵的一个特征值，则由齐次线性方程组 可求得非零解，那么就是的对应于特征值的特征向量，且 的对应于特征值的特征向量全体是方程组的全体非零解。即设为的基础解系，则的对应于特征值的特征向量全体是不同时.二、特征值与特征向量的性质性质1 阶矩阵与它的转置矩阵有相同的特征值.性质2 设是阶矩阵，则 其中是的全体阶主子式的和. 设是的个特征值，则由次代数方程的根与系数的关系知，有(1) (2) 其中的全体特征值的和称为矩阵的迹, 记为 .性质3 设是阶矩阵,如果(1) 或(2) 有一个成立, 则矩阵的所有特征值的模小于1, 即定理1 阶矩阵的互不相等的特征值对应的特征向量线性无关.注：1. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的; 2. 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量 3. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的, 一个特征值具有的特征向量不唯一; 一个特征向量不能属于不同的特征值.例题选讲：例1 (讲义例1) 求矩阵的特征值和特征向量.例2 (讲义例2) 设 求A的特征值与特征向量.例3 (讲义例3) 求n阶数量矩阵的特征值与特征向量.例4 试求上三角阵A的特征值: 例5 令则例6 (讲义例4) 试证: n阶矩阵A是奇异矩阵的充分必要条件是A有一个特征值为零.注: 此例也可以叙述为：n阶矩阵A可逆它的任一特征值不为零.例7 (讲义例5) 设是方阵A的特征值, 证明(1) 是的特征值; (2) 当A可逆时, 是的特征值.注：易进一步证明：若是的特征值, 则是的特征值，是的特征值，其中 特别地, 设特征多项式 则是的特征值, 且例8 (讲义例6) 设3阶矩阵A的特征值为, 求例9 求3阶矩阵的特征值以及相应的线性无关的特征向量组.例10 (讲义例7) 设和是矩阵A的两个不同的特征值, 对应的特征向量依次为和, 证明不是A的特征向量.例11(讲义例8) 正交矩阵的实特征值的绝对值为1.注:的特征值是特征方程的根，也是的根.的对应
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