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方阵与其伴随矩阵的关系 摘 要 本文给出了阶方阵的伴随矩阵的定义,讨论了阶方阵与其伴随矩阵之间的关系,例如与之间的关系，并且给出了相应的证明过程.关键词 矩阵、伴随矩阵、关系、证明 在高等代数课程中我们学习了矩阵，伴随矩阵。它们之间有很好的联系，对我们以后的学习中有很大的用处。1伴随矩阵的定义.设阶方阵.令,其中是的代数余子式.则称为的伴随矩阵.2矩阵与其伴随矩阵的关系及其证明.2.1=.当可逆时,有,即1.证明：因为所以=.当是可逆矩阵时, ,所以由上式得=即 .证毕.2.2 =.(显然)2.3 若可逆，则=.(显然)2.4 设为阶方阵，则2.引理1.若矩阵,满足,则.证明 因为,所以的列向量是以为系数矩阵的齐次线性方程的解向量.若,则.由克拉默法则知,方程只有零解,从而,进而;若,则方程组的基础解系中含个向量,于是,因此有.证毕.下面证明2.4.当时, 的每一个阶代数余子式都为零.所以为零阵,所以.当时，,=.由引理1知,+.因为 则,知至少有一个阶子式不为零.即 至少有一行不全为零. 所以.因为,从而. 当时，可逆，由1知，也可逆.所以.证毕.2.5 . 当可逆时，.所以. 当不可逆时，.1) 当时，由2.4知.所以.，.则2) 当时，,即，则.证毕.2.6 当可逆时,若为的特征值,则是的特征值.当时，的特征值为零，并是重的.引理2. 设可逆,若为的特征值,则是的特征值.证明: 若,则由得到,于是,这与可逆矛盾,所以.同时由还有.因此,即 是的特征值.引理证毕.下面证明2.6.不妨设的特征值为.则由有.,这说明是的特征值.由引理2知, ,所以,即是的特征值.若,(即)时,所以的特征值且是重的.2.7 若为可逆矩阵,则也是可逆矩阵. 证明:由2.1即可得到此结论.2.8 若为对称矩阵,则也是对称矩阵.2.9 .证明:当,均可逆时, ,所以.当,不都可逆时,则当足够大时,存在使得, 均可逆,此时有,这是关于的恒等式,即取零时,该等式也成立,即.证毕.2.10 若为正交矩阵,则也是正交矩阵.证明:若为正交矩阵,则且,由2.2知.再由2.9知,所以也是正交矩阵.证毕.2.11 ,其中是阶方阵.证明:因为,所以1) 当时,.则 2) 当时,由2.4知.当时,故.当时,令,则,.证毕.通过以上的证明,说明了阶矩阵
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