3-实数与向量的积.doc

3实数与向量的积一、基础知识：（一）、实数与向量的积实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（）；（）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，。实数与向量积的运算律：（）结合律：；（）分配律：；。（以上3向量共线定理：如果有一个实数，使，那么与是共线向量；反之，如果与是共线向量，那么有且仅有一个实数，使。（二）、平面向量的基本定理定理：如果、是同一平面内两个不共线向量，那么对这一平面内任一向量，有且只有一对实数、，使成立，这时我们称不共线向量、为这一平面内所有向量的一组基底。二、基本题型：1已知，则在以下各命题中，正确的命题共有 个。，时，与的方向一定相同；，时，与是共线向量；，时，与的方向一定相同；，时，与的方向一定相反。2已知、是一对不共线的非零向量，若 ，且、共线，则 。3已知向量、，且， ，则一定共线的三点的序号是 A、B、D；A、B、C ；B、C、D A、C、D。4已知、是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的序号是 。和；和；和；和。5已知的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足，则P与的关系正确的序号是 。P在的内部；P在的外部；P在所在直线上；P是的一个三等分点。6已知点G是的重心，过G作BC的平行线与AB、AC分别交于E、F，若，则 。7在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或，其中，则_。. 8如图所示，以向量，为边作平行四边形， ，用，表示、。 9设过的重心G的直线与、分别交于P、Q两点，设，求证：。 10如图，已知梯形ABCD中，、分别是、边上的中点，且，设，以、为基底表示、。 11设，是两个不共线的向量，已知=2+， =+3，=2-，若A、 B、D三点共线，求的值。12设、不共线，点在上。求证：且，、。3数与向量的积一、基础知识：（一）、实数与向量的积实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（）；（）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，。实数与向量积的运算律：（）结合律：；（）分配律：；。（以上3向量共线定理：如果有一个实数，使，那么与是共线向量；反之，如果与是共线向量，那么有且仅有一个实数，使。（二）、平面向量的基本定理定理：如果、是同一平面内两个不共线向量，那么对这一平面内任一向量，有且只有一对实数、，使成立，这时我们称不共线向量、为这一平面内所有向量的一组基底。平面向量的基本定理陈述了这样一个事实，即：如果已知平面内两个不共线的向量，那么对平面内任一向量都可找到唯一的实数对，把这一向量分角。这与物理中力的分解有共同之处，我们可以通过类比的办法加以理解，另外注意这两个基底不是唯一的，只要是平面内不共线的两个向量都可以。二、基本题型：1已知，则在以下各命题中，正确的命题共有 个。（5），时，与的方向一定相同；，时，与是共线向量；，时，与的方向一定相同；，时，与的方向一定相反。2已知、是一对不共线的非零向量，若 ，且、共线，则 。3已知向量、，且， ，则一定共线的三点的序号是 （ ）A、B、D；A、B、C ；B、C、D A、C、D。4已知、是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的序号是 。（ ）和；和；和；和。5已知的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足，则P与的关系正确的序号是 。（）P在的内部；P在的外部；P在所在直线上；P是的一个三等分点。6已知点G是的重心，过G作BC的平行线与AB、AC分别交于E、F，若，则 。7在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或，其中，则_。. 4/3解：设、则 , ,代入条件得8如图所示，以向量，为边作平行四边形， ，用，表示、。（，）9设过的重心G的直线与、分别交于P、Q两点，设，求证：。证明：如图，设， ，从而。10如图，已知梯形ABCD中，、分别是、边上的中点，且，设，以、为基底表示、。（；）11设，是两个不共线的向量，已知=2+， =+3，=2-，若A、 B、D三点共线，求的值。解：-