第七章 应力和应变分析 强度理论.ppt

1 第七章应力和应变分析强度理论 本章内容 7 1应力状态概述 7 2二向和三向应力状态的实例 7 3二向应力状态分析 解析法 7 4二向应力状态分析 图解法 7 5三向应力状态 7 6位移与应变分量 7 7平面应变状态分析 7 8广义胡克定律 7 9复杂应力状态的变形比能 7 10强度理论概述 7 11四种常用强度理论 7 12莫尔强度理论 7 13构件含裂纹时的断裂准则 2 7 1应力状态概述 由杆件的基本变形分析可知 一般情况下 不同截面存在不同的应力 同一截面上 不同的点应力也不一样 即使同一点 不同的方向上应力也不一样 无论是强度分析还是刚度分析 都需要求出应力的极值 为了找到构件内最大应力的位置和方向 需要对各点的应力情况做出分析 一个点在各个方向上的应力分布就是点的应力状态 3 n 设杆的横截面面积为a 则斜截面面积为 这是斜截面上与轴线平行的应力 直杆轴向拉伸与压缩时斜截面上的应力 为横截面正应力 杆件截面上各点的应力会随点在截面的位置不同和截面的方向不同 应力的数值将发生发生变化 研究截面上任一点在各个不同方位的应力情况 点的应力状态 4 一 一点的应力状态 1 一点的应力状态 通过受力构件一点处各个不同截面上的应力情况 2 研究应力状态的目的 找出该点的最大正应力和剪应力数值及所在截面的方位 以便研究构件破坏原因并进行失效分析 二 研究应力状态的方法 单元体法 1 单元体 围绕构件内一所截取的微小正六面体 5 1 应力分量的角标规定 第一角标表示应力作用面 第二角标表示应力平行的轴 两角标相同时 只用一个角标表示 2 面的方位用其法线方向表示 3 截取原始单元体的方法 原则 用三个坐标轴 笛卡尔坐标和极坐标 依问题和构件形状而定 在一点截取 因其微小 统一看成微小正六面体 单元体各个面上的应力已知或可求 几种受力情况下截取单元体方法 2 单元体上的应力分量 单元体的边长dx dy dz均为无穷小量 4 单元体的特点 单元体的每一个面上 应力均匀分布 单元体中相互平行的两个面上 应力相同 6 c 同b 但从上表面截取 b 横截面 周向面 直径面各一对 a 一对横截面 两对纵截面 c a b d 从a b c三点截取 7 5 主应力及应力状态的分类 主应力和主平面 切应力全为零时的正应力称为主应力 主应力所在的平面称为主平面 主平面的外法线方向称为主方向 主应力用 1 2 3表示 1 2 3 应力状态分类 单向应力状态 二向应力状态 平面应力状态 三向应力状态 空间应力状态 主单元体 8 7 2二向和三向应力状态的实例 1二向应力状态的实例 薄壁圆筒 端部总压力 n 取研究对象如图 9 求 计算n力 即 内压力在y方向的投影等于内压乘以投影面积 所以 10 可以看出 轴向应力 是环向应力 的一半 对于薄壁圆筒 有 所以 可以忽略内表面受到的内压p和外表面受到的大气压强 近似作为二向应力状态处理 11 2三向应力状态的实例 滚珠轴承 12 例8 1 已知 蒸汽锅炉 10mm d 1m p 3mpa 解 求 三个主应力 前面已得到 13 7 3二向应力状态分析 解析法 二向应力状态的表示 应力状态分析 在已知过一点的某些截面上的应力时 求出过该点的任一截面上的应力 从而求出主应力和主平面 切应力的下标 作用面的法线 切应力的方向 平面应力状态 两向应力状态 正负号规定 14 切应力 使单元体顺时针方向转动为正 反之为负 截面的方向角 由x正向逆时针转到截面的外法线n的正向的 角为正 反之为负 15 计算方向角为 的截面上的应力 以单元体的一部分为研究对象 由平衡条件 16 17 考虑到剪应力互等定理 xy yx以及利用三角函数关系 18 最大正应力和最小正应力 令 可以看出 当 0时 取极值的正应力为主应力 若 0满足上式 则 0 90 也满足上式 代入公式可得 平面应力状态下的主应力为 19 正应力的不变量 截面上的正应力为 90 截面上的正应力为 任意两个互相垂直的截面上的正应力之和为常数 20 最大切应力和最小切应力 令 若 1满足上式 则 1 90 也满足上式 代入 公式可得 21 若 1满足上式 则 1 90 也满足上式 代入 公式可得 切应力的极值称为主切应力主切应力所在的平面称为主剪平面主剪平面上的正应力 将 1和 1 90 代入公式可得 即 主剪平面上的正应力为平均正应力 22 主平面与主剪平面的关系 由 0和 1的公式可得 即 主平面与主剪平面的夹角为45 23 例7 3 图示单元体 试求 主应力并确定主平面的位置 解 根据应力的符号规定的规则 24 主应力按大小顺序排列为 25 例7 4 已知 圆轴受扭转 求 应力状态及分析铸铁件受扭时的破坏现象 解 最大切应力 取单元体abcd 纯切应力状态 主应力 主方向 或 26 主应力 主方向 或 主应力排序 圆轴扭转时 横截面为纯剪切应力状态 最大拉 压应力在与轴线成 45o斜截面上 它们数值相等 均等于横截面上的剪应力 对于塑性材料 如低碳钢 抗剪能力差 扭转破坏时 通常是横截面上的最大剪应力使圆轴沿横截面剪断 对于脆性材料 如铸铁粉笔 抗拉性能差 扭转破坏时 通常沿与轴线成45o的螺旋面发生拉断 27 例 p256 7 11如图所示的简支梁由36a工字钢组f 140kn l 4m a点所在的截面在集中f的左侧 且无限靠近f力作用的截面 试求 1 a点在指点截面上的应力 2 a的主应力及主平面位置 解 1 计算集中f且无限靠近f力作用的截面的左侧的弯矩为 查表 28 29 30 31 主应力主平面主方向角 32 例图示梁 求得m m截面上的k点处的正应力大小70mpa 剪应力大小为50mpa 试确定k点的主应力及主平面的方位 并讨论同一横截面上其他点的应力状态 m k q 解 1 切取单元体 确定a的应力状态 如图所示 2 应力状态分析 计算主应力的大小及位置 33 例 试画图示拉弯构件点a的单元体 并求a点 60o斜截面上的应力 解 1 构件发生拉扭组合变形 构件横截面上有拉伸引起的正应力 和扭转引起的剪应力 其原始单元体如图 c d 所示 34 2 求a点指定 600斜截面上的应力 35 3 求梁的主应力及主平面方位角 4 画点的主应力单元体如图 e 所示 36 例7 4已知 a点应力 70mpa 50mpa 解 求 a点主应力和主平面 及其它点的应力状态 a点单元体 取x轴如图所示 a点的主应力 37 主应力 主方向角 或 38 单向拉伸 单向压缩 纯剪切 其它几点的应力状态 39 主拉应力 1迹线 主应力迹线 主压应力 3迹线 主应力迹线 主应力方向线的包络线曲线上每一点的切线都指示着该点的主拉应力 或主压应力 方位 40 例 p255 7 8 已知矩形截面梁 某截面上的剪力fs 120kn及弯矩m 10kn m 试绘出1 2 3 4点应力状态的单元体 并求出各点的主应力 b 50mm h 100mm 从图中可分析1 4点是单向应力状态 2点在中性轴上为纯剪切应力状态 3点上既有正应力又有切应力 计算各点处主应力 梁截面惯性矩为 1点处弯曲正应力 压应力 1点为单向压缩受力状态 所以 解 41 2点的应力计算 纯剪切 42 3点的应力计算 43 例 p256 7 15 以绕带焊接成的园管 焊缝为螺旋线 管的内径为300mm 管的壁厚为1mm内压为p 0 5mpa 求沿焊逢斜面上的正应力和切应力 解 在焊逢斜面上取一单元体如图 轴向应力为 环向应力为 xy 0 焊逢斜面上的正应力和切应力 方向角 400 44 7 4二向应力状态分析 图解法 1应力圆 莫尔圆 方程 由公式 平方相加得 45 这是坐标轴为 以 为变量的圆的方程 园的半径 圆心坐标为 o r 应力园 46 应力圆是在以横坐标轴为 纵坐标轴为 上画出应力圆的圆周上的每一个点分别代表着所研究的单元体上某一斜截面上的正应力和切应力应力圆上的点的纵 横坐标与单元体上的截面的切 正应力 有着一一对应的关系 称为 点面对应 应力圆的画法步骤 1 建立 o 直角坐标系2 按选定的比例尺 在 o 坐标系中定出x面上的点d1 x x 和y面上的点d2 y y 3 连接两点得到交点 即为应力圆的圆心c 2应力圆的画法 47 y y 具体作法 x x 该圆上的每一点表示单元体上斜面的正应力和切应力如果欲求任意斜截面上的应力只要按斜面的方向从x面转过2倍的 角度即可得到该面的应力 2 三 主应力和最大切应力 max 注意应力圆的a1 a2点和g1点 48 由应力圆的a1点和a2点处切应力为零这两点就是主应力的数值g1点为最大切应力的数值 主应力的方向用 0表示 它表示从x面的d1点旋转到轴的方向各值为 2 0 49 单向应力状态的应力圆 50 b e 纯切应力状态的应力圆 d1 51 例 一单元体应力状态如图 已知 x 20mpa xy 20mpa y 40mpa yx 20mpa 用应力圆求 1 30 斜截面上的应力 2 主应力与主平面的位置3 最大切应力 解 建立 o 坐标系 选定比例 20 20 40 20 确定x面上的点d1 20 20 确定y面上的点d2 40 20 过d1 d2作直线得到圆心c点完成应力圆 以cd1为起点顺时针旋转60 得到e点 e点的坐标值就是30 斜截面上的应力 30 22 3mpa 30 16mpa 求斜截面上的应力 52 求主应力及主平面位置 该应力圆上与 轴相交的左右点a1和a2即为主应力数值 经测量得到 1 46 1mpa 2 0 3 26 1mpa 2 0 经cd1到ca2 轴 之间的夹角2 0即是主方向角之一 经测量得到 2 0 a2cd1 33 7 0 16 85 最大切主应力应力圆的最高点g是切应力最大值所在点 经测量得到 max 36 1mpa 主应力状态 53 例8 5 已知 x 80mpa y 40mpa xy 60mpa yx 60mpa 解 求 用应力圆求主应力和主方向 作应力圆 由 d1点 80 60 由 d2点 40 60 画出应力圆 54 圆心坐标 半径 o 40 60 80 60 2 0 e 55 主平面 从d1点 x轴 逆时针转45 至a1点 由几何关系 o 40 60 80 60 2 0 e sx y 0 22 50 56 7 5三向应力状态 三向应力状态 三个主应力均不为零的应力状态 57 特例 至少有一个主应力的大小方向为已知 平面应力状态即为这种特例之一 58 三向应力状态的应力圆 设三个主应力均已知 平行于s1的方向面 其上之应力与s1无关 于是由s2 s3可作出应力圆i 平行于s2的方向面 其上之应力与s2无关 于是由s1 s3可作出应力圆ii 平行于s3的方向面 其上之应力与s3无关 于是由s1 s2可作出应力圆iii 任一方向面上的应力位于阴影区内 59 最大切应力 t 在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力 即 60 200 300 50 tmax 平面应力状态作为三向应力状态的特例 平面应力状态作为三向应力状态的特例 应注意 1 可能是 1 也可能是 2或 3 2 按三个主应力的代数值排序确定 1 2 3 3 61 7 8广义胡克定律 1 单向应力状态下的胡克定律 或 纯剪切应力状态下的剪切胡克定律 或 横向变形与泊松比 62 2 广义胡克定律 三向应力状态 可看作是三组单向应力状态和三组纯剪切的组合 叠加原理 用叠加原理的条件 1 各向同性材料 2 小变形 3 变形在线弹性范围内 x方向的线应变 x x引起的部分 63 x方向的线应变 x x引起的部分 y引起的部分 z引起的部分 叠加得 64 叠加得 同理可得 剪应变为 这六个公式即为广义胡克定律 65 用主应力表示的广义胡克定律 从前三式中可解出三个主应力 66 从前三式中可解出三个主应力 例 p2597 27 从钢构件内某一点的周围取一部分如图 根据理论计算已经求得 30mpa 15mpa 材料的e 200gpa 0 30求对角线ac的长度改变量 l 解 构件内的切应力对其线应变不产生影响 67 对角线ac的长度改变量 l 68 例 已知 受扭圆轴 d e 测得 45 求 外加扭矩的值 解 在测点取单元体 纯切应力状态 切应力为 要求出45 方向的应变 需先求出45 方向的应力 45 方向为主应力方向 69 切应力为 45 方向为主应力方向 由广义胡克定律 测扭矩的方法 70 3 体积胡克定律 单元体 变形前体积 变形后体积 略去高阶微量 单位体积的改变 71 单位体积的改变 体积应变 将广义胡克定律 代入上式得 72 单位体积的改变 体积应变 将广义胡克定律代入上式得 又可写成 记 体积弹性模量 体积胡克定律 73 例7 9 已知 孔 d1 50 01mm柱 d2 50mm p 300kn 钢块不变形 e 200gpa 0 3 求 圆柱的主应力 解 柱受到的压应力 径向的应变 圆柱的主应力为 74 7 9复杂应力状态的变形比能 1单向应力状态下的比能 功能原理 2三向应力状态下的比能 变形能与加载方式无关 为将变形能用主应力表示 将广义胡克定律 dy 75 2三向应力状态下的比能 为将变形能用主应力表示 将广义胡克定律 代入上式 化简得 根据 7 8的讨论 单元体上的平均应力为 76 3体积改变比能和形状改变比能 体积改变 形状不变 体积不变 形状改变 因体积改变而贮存的变形能 体积改变比能 因形状改变而贮存的变形能 形状改变比能 77 体积改变比能 78 形状改变比能 或 79 例8 10 已知 纯剪切应力状态 试导出e g 之间的关系 解 第3章已求出纯剪切时 用本节公式求纯剪时的应变能 纯剪切时 80 强度理论研究材料失效的判据 从而建立强度条件 7 10强度理论概述 不同材料在相同的加载情况下 破坏 失效 的形式不同 塑性材料 屈服失效 脆性材料 断裂失效 81 相同材料在不同的加载情况下 破坏 失效 的形式不同 塑性材料 当有深切槽时 发生断裂 应力集中导致根部出现三向应力状态 82 脆性材料 83 对单向应力状态和纯剪切通过实验建立强度条件 对复杂应力状态无法通过实验建立强度条件 强度理论 根据部分实验结果 提出的假说 从而可根据单向应力状态的实验结果 建立复杂应力状态下的强度条件 强度理论分为两类 7 11四种常用的强度理论 适用于断裂失效情况 适用于屈服失效情况 84 1最大拉应力理论 第一强度理论 基本观点 不论是什么应力状态 只要最大拉应力达到材料的某一极限 就发生脆性断裂 失效准则 强度条件 相当应力 单向拉伸失效时 复杂应力状态时 令 适用对象 脆性材料受拉 塑性材料受三向拉伸且s1 s2 s3相近 缺点 没有考虑s2和s3的影响 且无法应用于没有拉应力的情况 85 2最大伸长线应变理论 第二强度理论 基本观点 不论是什么应力状态 只要最大伸长线应变达到材料的某一极限 就发生脆性断裂 失效准则 单向拉伸失效时 复杂应力状态时令 适用对象 脆性材料受压 强度条件 相当应力 缺点 对脆性材料受拉与试验符合不好 86 3最大切应力理论 第三强度理论 基本观点 不论是什么应力状态 只要最大切应力达到材料的某一极限 就发生塑性屈服 失效准则 单向拉伸失效时 复杂应力状态时 强度条件 适用对象 塑性材料的一般受力状态 缺点 偏于安全 没有考虑s2的影响 87 4形状改变比能理论 第四强度理论 基本观点 不论是什么应力状态 只要形状改变比能达到材料的某一极限 就发生塑性屈服 失效准则 单向拉伸失效时 代入上式得 88 复杂应力状态时 令上式在复杂应力状态时成立 得 强度条件 相当应力 适用对象 塑性材料的一般受力状态 缺点 计算相当应力较麻烦 89 5小结 强度条件可统一写为 第一强度理论和第二强度理论适用于脆性材料 脆性材料受拉 第三强度理论和第四强度理论适用于塑性材料 脆性材料受压 90 但是 无论是塑性材料还是脆性材料 在三向拉应力接近相等状态下 都以断裂形式破坏 宜采用最大拉应力理论 在三向压应力接近相等状态下 都引起塑性变形 宜采用第三 第四强度理论 复杂应力状态下构件的强度条件的另一种形式 式中 n 构件的工作安全系数 n 构件的许用安全系数 0 材料的极限应力 r 相当应力 91 1 通过受力分析确定构件的外力 内力 危险截面 2 通过应力分析确定危险截面上的危险点 3 从构件的危险点处截取单元体 计算主应力 4 选