华理概率论06-6-B-试卷答案.doc

华东理工大学20052006学年第二学期概率论与数理统计课程期末考试试卷 B 2006.06开课学院： 理学院 ，专业：大面积 ，考试形式：闭卷 ， 所需时间：120分钟考生姓名： 学号： 班级 任课教师 题序一二 三四五六七八总 分得分评卷人一、 填空题（每题5分，共20分） （1）设 P ( A ) = 0.5 , P ( ) = 0.75 , a） 若A 与B 独立，则 P(B) 0.5 ； b). 若A 与B 不相容 ，则 P(B) 0.25 。（2）设为总体的样本，则它们分别服从 和 分布。 （3）设随机变量相互独立，且。记，则 。（4） 设随机变量的密度函数为： 且 ，则： 的值分别等于： 1 和 2 。 二、 选择题（每题5分，共20分）（1） 设A,B是任意两个概率不是零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（ D ）。（A）； （B）；（C）P(AB) = P(A) P(B)； （D）。（2）设随机变量相互独立，且；，则（ A ）。（A）14.8 ； （B） 4 ；（C）12.4 ； （D）其它 。（3）设随机变量X ，Y相互独立，服从相同的两点分布：，则下列结论中肯定正确的是（ C ）：（A）X=Y ； （B）P(X=Y) = 0 ；（C）P(X=Y) = ； （D）P(X=Y) = 1 。（4）设服从二维正态分布，则随机变量独立的充要条件为（ B ）：（A）； （B）；（C）； （D）。三、（共10分）袋中有5个白球，3个红球，甲先从袋中随机取出一球后，乙再从中随机取出一球。（1）试求“乙取出的是白球”的概率；（2）若已知“乙取出的是白球”，计算“甲取到红球”的条件概率。解：（1）设A 甲取出的是白球 ；B 乙取出的是白球 ；则，由全概率公式（或抓阄模型）， 。（5分）（2） 利用贝叶斯公式，得。（5分）四、（共12分）一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行过程中每个元件损坏的概率是0.10。又知为使系统正常运行，至少必需有85个元件工作。试用中心极限定理近似计算：（1）系统的可靠度（即正常运行的概率），（2）若上述系统改由 n 个相互独立元件组成，而且又要求至少 80 元件工作才能使整个系统正常运行，问 n 至少为多大时，才能保证系统的可靠度不低于 0.95 ？ （ ）解：设，（根据第i 个元件是否工作，对应的分别取 1 或 0）。显然，其中 。由二项分布中心极限定理， 。（4分）（1）此时，系统可靠度为：。（4分）（2）由于所以从，得到，即。（4分）五、（共8分）设随机变量 的有关数字特征分别为：，试求：。解：24 。六、（共10分）设令随机变量 ，试求：（1） 的密度函数 ； （2） 的数学期望 。解： （1）由于为单调增加函数，其反函数，故当时， ；（1分）当时，（4分）（2）。（5分）七、（共10分）某种产品在处理前与处理后分别抽样，分析其“含脂率”如下：处理前 ：0.19 ，0.18 ，0.21 ，0.30 ，0.41 ，0.12 ，0.27 ；处理后 ：0.15 ，0.13 ，0.07 ，0.24 ，0.19 ，0.06 ，0.08 ，0.12 。假定处理前后的含脂率都服从正态分布，其标准差不变。取显著性水平 0.05后，经过Excel软件计算得到下面的输出表格（其中变量 1 代表处理前的含脂率 ；变量 2 代表处理后的含脂率）。问：（1） 表格中数字的含义，（2）检验它们的均值是否相等（0.05）？ 解： （1）”t Stat” = T统计量的（观察）测试值，“P(T=t) 双尾” 双侧检验时的 P值，“t双尾临界” 双侧检验时的临界值，其它省略。（5分）（2）设它们的期望分别为：，令 , 采用双侧T检验。由于从表格可以看出，此时的P-值0.0190 0.05 ，这说明T统计量的（观察）测试值落入拒绝区域，从而拒绝原假设，即认为处理前后的均值不相等。（5分）八、（共10分）设总体 ，随机抽样得到样本观察值： ，今分别用 ， 作为的估计值。（1）试分别写出的分布函数，（4分）（2）问它们是否分别为的无偏估计；（4分）（3）如果不是无偏估计，问应该如何把进行线性组合，使之成为的无偏估计。（2分）解：（1）由于，对应的分布函数为： ，所以的分布函数分别为： ，（2分）