第四章弯曲内力(材料力学).ppt

材料力学 第四章弯曲应力 2019年12月25日 2 第四章弯曲应力 3 4 1弯曲的概念和实例 一 工程实例 4 7 二 关于弯曲的概念 受力特点 杆件在包含其轴线的纵向平面内 承受垂直于轴线的横向外力或外力偶作用 变形特点 直杆的轴线在变形后变为曲线 梁 以弯曲为主要变形的杆件称为梁 8 弯曲变形 9 a b 10 对称弯曲 外力作用于梁的纵向对称面内 因而变形后梁的轴线 挠曲线 是在该纵对称面内的平面曲线 非对称弯曲 梁不具有纵对称面 例如z形截面梁 或梁虽有纵对称面但外力并不作用在纵对称面内 从而挠曲线不与梁的纵对称面一致 本章讨论对称弯曲时梁的内力和应力 对称弯曲时 梁的挠曲线与外力所在平面相重合 这种弯曲称为平面弯曲 11 对于对称弯曲的直梁 外力为作用在梁的纵对称面内的平面力系 故在计算简图中通常就用梁的轴线来代表梁 一 支座的基本形式 1 固定端 b c 4 2受弯构件的简化 12 2 固定铰支座 实例如图中左边的支座 计算简图如图b e 3 可动铰支座 实例如图a中右边的支座 计算简图如图c f 3 向心轴承 4 向心止推轴承 二 载荷的简化 集中力 集中力偶 分布载荷 14 悬臂梁 三 梁的基本形式 简支梁 外伸梁 15 梁的剪力和弯矩 shearingforceandbendingmoment 图a所示跨度为l的简支梁其约束力为 梁的左段内任一横截面m m上的内力 由m m左边分离体 图b 的平衡条件可知 4 3剪力和弯矩 16 它们的指向和转向如图b中所示 显然这些内力是m m右边的梁段对于左边梁段的作用力和作用力矩 故根据作用与反作用原理 m m左边的梁段对于右边梁段 图c 的作用力和作用力矩数值应与上式所示相同 但指向和转向相反 这一点也可由m m右边分离体的平衡条件加以检验 17 从而有 18 梁的横截面上位于横截面内的内力fs是与横截面左右两侧的两段梁在与梁轴相垂直方向的错动 剪切 相对应 故称为剪力 梁的横截面上作用在纵向平面内的内力偶矩是与梁的弯曲相对应 故称为弯矩 为使无论取横截面左边或右边为分离体 求得同一横截面上的剪力和弯矩其正负号相同 剪力和弯矩的正负号要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定 例求c截面的内力 解 先求支座反力 以左半部分平衡求内力 以右半部分平衡求内力 综上所述可知 1 横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力的代数和 左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向下的外力将引起正值的剪力 反之 则引起负值的剪力 2 横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力对该截面形心的力矩之代数和 1 不论在左侧梁段上或右侧梁段上 向上的外力均将引起正值的弯矩 而向下的外力则引起负值的弯矩 2 截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩 而逆时针转向的外力偶则引起负值的弯矩 截面右侧梁段上的外力偶引起的弯矩其正负与之相反 4 4剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 剪力方程 弯矩方程 剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式 它们分别表示剪力和弯矩随截面位置的变化规律 显示这种变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图 悬臂梁受均布载荷作用 试写出剪力和弯矩方程 并画出剪力图和弯矩图 解 任选一截面x 写出剪力和弯矩方程 依方程画出剪力图和弯矩图 由剪力图 弯矩图可见 最大剪力和弯矩分别为 例题4 3 图a所示简支梁受集度为q的满布荷载作用 试作梁的剪力图和弯矩图 解 1 求约束力 fb fa 例 2 列剪力方程和弯矩方程 由图可见 此梁横截面上的最大剪力 按绝对值 其值为 正值 负值 发生在两个支座各自的内侧横截面上 最大弯矩其值为发生在跨中横截面上 3 作剪力图和弯矩图 图示简支梁c点受集中力作用 试写出剪力和弯矩方程 并画出剪力图和弯矩图 解 1 求约束反力 fay fb lfby fa l 2 写出剪力和弯矩方程 ac cb 3 依方程画出剪力图和弯矩图 例题4 2 图示简支梁c点受集中力偶作用 试写出剪力和弯矩方程 并画出剪力图和弯矩图 解 1 求解约束反力 fay m l fby m l 2 写出剪力和弯矩方程 ac cb 3 依方程画出剪力图和弯矩图 例 29 讨论 由剪力图可知 在梁上的集中力 包括集中荷载和约束力 作用处剪力图有突变 这是由于集中力实际上是将作用在梁上很短长度 x范围内的分布力加以简化所致 若将分布力看作在 x范围内是均匀的 图a 则剪力图在 x范围内是连续变化的斜直线 图b 从而也就可知 要问集中力作用处梁的横截面上的剪力值是没有意义的 总结 q分析步骤 求支反力 建立坐标 建立剪力弯矩方程 画剪力弯矩图 q当需要分段列剪力弯矩方程时 集中力 集中力偶 分布载荷不作用在整个梁段 可以采用整体坐标或局部坐标 q剪力弯矩图中要标明符号以及特征点的大小 q剪力图在有集中力作用处 包括支座处 发生突变 q弯矩图在有集中力偶作用处 包括支座处 发生突变 作业 p129 4 4c g h 一 剪力 弯矩和分布载荷间的微分关系 1 假设 规定q x 向上为正 向下为负 任取微段 认为其上q x 为常数 无集中力 集中力偶 内力作正向假设 2 微分关系推导 4 5载荷集度 剪力和弯矩间的关系 33 从而得 由梁的微段的平衡方程 略去二阶无穷小项 即得 34 由以上两个微分关系式又可得 m切记 q向上为正 x向右为正 q剪力图某点处的切线斜率 该截面处载荷集度的大小 q弯矩图某点处的切线斜率 该截面处剪力的大小 q该截面处载荷集度的正负决定弯矩图某点处的凹凸性 35 1 常见荷载下fs m图的一些特征 36 集中力作用处 集中力偶作用处 若某截面的剪力fs x 0 根据 该截面的弯矩为极值 2 梁上最大弯矩mmax可能发生在fs x 0的截面上 或发生在集中力所在的截面上 或集中力偶作用处 最大剪力可能发生在集中力所在的截面上 或分布载荷发生变化的区段上 3 在集中力作用处剪力图有突变 其突变值等于集中力的值 弯矩图有转折 4 在集中力偶作用处弯矩图有突变 其突变值等于集中力偶的值 但剪力图无变化 2 分布荷载集度 剪力和弯矩之间的积分关系 若在a和b两个横截面之间无集中力 则 q x 若横截面a b间无集中力偶作用则得 q x 3 快速作图法 微分关系定性 积分关系定量 辅以突变规律 利用以上各点 除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外 还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图 而不必再建立剪力方程和弯矩方程 其步骤如下 1 求支座约束力 2 分段确定剪力图和弯矩图的形状 3 求控制截面内力 根据微分关系绘剪力图和弯矩图 4 确定 fs max和 m max 利用微分关系快速画剪力弯矩图 跟着箭头走 先求支反力 从左往右去 剪力图口诀 根据剪力图 两点对一段 若遇到力偶 顺上逆下走 弯矩图口诀 例一简支梁受两个力f作用 如图所示 有关尺寸如图所示 试用本节所述关系作此梁的剪力图和弯矩图 解求梁的支反力 画剪力图和弯矩图 f f a a c d a b 例一简支梁受均布荷载作用 其集q 100kn m 如图所示 试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图 解梁的支反力 画剪力图和弯矩图 结构对称 受力对称 则剪力图反对称 弯矩图正对称 例一简支梁受力如图所示 试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图 解 支反力为 结构对称 受力反对称 则剪力图正对称 弯矩图反对称 例题4 6作梁的内力图 解 1 支座反力为 将梁分为ac cb be四段 46 4 6平面刚架和曲杆的内力图 平面刚架 平面刚架 由同一平面内不同取向的杆件相互间刚性连接的结构 平面刚架杆件的内力 当荷载作用于刚架所在平面内时 杆件横截面上的内力除剪力和弯矩外 还会有轴力 47 作刚架内力图的方法和步骤与梁相同 但因刚架是由不同取向的杆件组成 习惯上按下列约定 弯矩图 画在各杆的受压一侧 不注明正 负号 剪力图及轴力图 可画在刚架轴线的任一侧 通常正值画在刚架外侧 但须注明正负号 剪力和轴力的正负号仍与前述规定相同 48 例题4 13试作图a所示刚架的内力图 即作出组成刚架的各杆的内力图 a 49 各杆的内力方程为 解 此刚架的c点为自由端 故求内力时如取包含自由端的那部分分离体作为研究对象 则可不求固定端a处的约束力 a 50 绘内力图时 轴力图和剪力图可画在各杆的任一侧 但需注明正负号 图b及图c 弯矩图则画在杆件弯曲时受拉的一侧 图d a 51 作为校核可取该刚架的结点b为分离体 标出结点处的外力及内力 考察结点是否满足平衡条件 a 52 平面曲杆 平面曲杆的横截面系指曲杆的法向截面 亦即圆弧形曲杆的径向截面 当荷载作用于曲杆所在平面内时 其横截面上的内力除剪力和弯矩外也会有轴力 内力情况及绘制方法与平面刚架相同 第四章弯曲应力 轴力 引起拉伸的轴力为正 弯矩 使曲杆的曲率增加 即外侧受拉