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反函数例题讲解例1下列函数中，没有反函数的是( )(A) y = x21（x）(B) y = x3+1（xR）(C) （xR，x1）(D) 分析：一个函数是否具有反函数，完全由这个函数的性质决定判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念从代数角度入手，可试解以y表示x的式子；从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析作为选择题还可用特例指出不存在反函数本题应选（D）因为若y = 4，则由 得 x = 3由 得 x = 1 （D）中函数没有反函数如果作出 的图像（如图），依图更易判断它没有反函数例2求函数 （1x0）的反函数解：由 ，得： 1x2 = (1y)2， x2 = 1(1y)2 = 2yy2 1x0，故 又 当 1x0 时， 01x21， 01，011，即 0y1 所求的反函数为 （0x1）由此可见，对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是： 把给出解析式中的自变量x当作未知数，因变量y当作系数，求出x = ( y ) 求给出函数的值域，并作为所得函数的定义域； 依习惯，把自变量以x表示，因变量为y表示，改换x = ( y )为y = ( x )例3已知函数 f ( x ) = x2 + 2x + 2（x1），那么 f 1 (2 )的值为_分析：依据f 1 (2 )这一符号的意义，本题可由f ( x )先求得f 1 ( x )，再求f 1 (2 )的值（略）依据函数与反函数的联系，设f 1 (2 ) = m，则有f ( m ) = 2据此求f 1 (2 )的值会简捷些令 x2 + 2x + 2 = 2，则得：x2 + 2x = 0 x = 0 或 x =2 又x2)(4) (0x1)例3求函数的反函数点评：反函数为例4已知，求f f 1(x)的值点评：，注意f (x)的定义域为x|xR且x1，值域为y|yR且y3例5已知一次函数y=f (x)反函数仍是它自己，试求f (x)的表达式分析：设y=f (x)=ax+b (a0)，则f 1(x)=(xb)由(xb)=ax+b得或 f (x)=x或f (x)=x+b (bR)例6若函数在其定义域内存在反函数(1) 求a的取值范围；(2) 求此函数的值域解：(1)方法一：原式可化为4xy+3y=ax+1，(4ya)x=13y，当y，即时，解得时原函数有反函数方法二：要使在其定义域内存在反函数，则需此函数为非常数函数，即，所以时函数在其定义域内存在反函数(2) 由解得的反函数为的定义域是x|xR且x=故的值域是y|yR且y例7设函数y=f (x)满足f (x1)=x22x+3(x0)，求f 1(x+1)解： x0，则x11 f (x1)=(x1)2+2 (x0) f (x)=x2+2 (x1)由y=x2+2 (x1)解得(y3) (x3)故 (x2)点评：f 1(x+1)表示以x+1代替反函数f 1(x)中的x，所以要先求f 1(x)，再以x+1代x，不能把f 1(x+1)理解成求f (x+1)的反函数习题1已知函数f (x)=x21 (x2)，那么f 1(4)=_2函数y=x2+