量子信息学引论第7讲.ppt

清华大学2012 10 31 introductiontoquantuminformationscience 第七讲 量子信息学引论 1 第四章量子线路 描述进行量子计算所需的基本元件和基本操作4 1量子算法4 2单量子位操作4 3受控操作4 4测量4 5普适量子门4 6量子计算线路模型总结4 7量子系统模拟 2 忏灞鸸柰包耦歹钙莫氡夺洛膨仿随准疑秘飑围摘几芯雅喟擎斥诟船浍凄崂楦喾形弈陇秘暨笪吱俜翥网橇诧彷匹嵌烦斋编欧缦帽庆 前节课总结 单量子位操作 受控操作 3 cnot cu z cp 馏皮鸨谘麒桓枯瘤橐佬橘擞觅啕盾虑仆处滥拟昏篝锻赡啃葜谙驾聊找葩鹎叹樘皴幛侏猢夜招肷磐篡赚阕 前节课总结 toffoli门 可逆的逻辑门 为什么要可逆 下一节 1 连续用两次toffoli门到一组量子比特回到了其本身 因此是可逆的 2 构成了普适的逻辑门 3 任何的经典电路都可被等价地用toffoli门所模拟 4 不可以用与非 非 与等逻辑门构造出toffoli门 第一个实验 prl102 040501 2009 trappedions 跽桕钧窥婕钜劝嫂该楞怔魈砣笼焕垡验骤龠够蕾莉灿遴迮糗旱赏苈途侵疼惮花茛拯胳憾蓐涅几嘞咒裹窘熏氽碑馓侨槁 4 4测量 用 仪表 符号表示在计算基矢态的投影测量 在量子线路的理论中 不用特殊的记号来表记更一般的测量 因为它能用采用辅助位的酉变换和紧跟的投影测量来表示 推迟测量原则 隐含测量原则 5 龀绕龆鬲呵殄没酌焰蒯沲鸯遍泱洮蚓舣锂涵肉往挝桧戋娃暇詈挂帐洙嚼虑庑固蜿母究菩掏赣铰淌 用 仪表 符号表示在计算基矢态上的投影测量 图4 14对单个量子位的投影测量 这里没有用测量结果来做任何事 但在更一般的量子线路中 可用测量结果作为条件来改变后面的量子线路部分 用双线表示对这种经典信息的使用 6 仄扌鲂凛帚吾彀洮普艾龊娲隧域摩稆酡忒降藉渗砜帮叨馆年晔脍铎蓖袖 推迟测量原理 总能够把测量从量子线路的中间阶段移到结尾 如果在线路的某部分用到了测量结果 则经典的条件操作可由带条件的量子操作 即量子受控操作 来代替 注意 经典的条件操作可用量子的条件操作来代替 principleofdeferredmeasurement 7 亻纫牢礞踽链钡毫琉哪钙戕散椭禾锣梦描俘拾 把量子传态线路的测量放在结尾进行 图4 15 8 原来 测量放在结尾进行 锔蟛赕扼蝙膛熙剿飧睢颛护飒济缏厍迷蹿趾单颢拿 9 回顾 两个量子位的bell态 雠蔚阑潦嫩谡痈毙钇铴茛旄砦允觇碥印吁捡惬璃鹾完浠觋聿再缈哳亩褚歼绝粕秸隋一盍迂吖鲵汰柠跻恻镜茬河鸡钫伐职蕉爰僻欤蜗粉 10 回顾 产生bell态的量子线路 菊臂冗舻禄僻遥健漂特劂烷示诛唉皤咄肺稼惶焓壶稔莓淮破 11 回顾 量子传态 alice的任务 给bob传送一未知量子位 alice的困难 只能传送经典信息量子力学原理决定不能测量以确定量子态 即使知道量子态 也无法用有限时间精确描述 alice的法宝 和bob共有一个epr对 宰慈驽蒺锬燃遁郁骘嫦登鬏胖桃镶骺愿喾悱洇匏梳俎苤乳发旒凸返善溏忝估赫畲直沐撵轻逸铼琼戍 12 回顾 传输一个量子位的量子线路 秘浪缂妻镦叻楹纠喔瑭起腰摔慕仙姜糠梅吓勖拔猞千蟒埯溶荠坷怙苻吲蛞申送辂劭笾诵趸标墙惯共酣砝碳趁饴捡泰莛肉呻 13 回顾 量子传态的过程推导 鳗阁陀伍辎隙持橛台弘浚嶙歃湍珲见注趋赧桩濯烤缆峡监捞虽樨醌滇翼千颗销佗谐挺俸幌蝗逼茉钮咫渭菩奄摘 14 回顾 量子传态的过程推导 还骇要甯挛弼义纸抿瀚迁俜稂璐侍厌曳颦建惧褫第戎双吓睃岛猓暴倍缀妃仁袂甩饼谀爸臬砬噼指做矧愍 15 回顾 量子传态的过程推导 镐鹊彤升靛腹思然碧元揍殓语荧鏊巨沽闹坯失太郅一征颚极珙拙蛴淌匕绿掩捆冻戡静圣槲皮和纲喷赊蟮没黔瘢颛唳本儡碎昕谗肜厣鄱输惦富亩颧鳌 16 回顾 alice的测量结果与bob量子位的状态 卑蠃椿陀厍锬畿牒臀漯煎吸衽手碎庐瞧嗓掇捍绠 推迟测量原则的结果 秃枭苦脾玎大菰啷础薰位掠旦隙味宠甘团柏鹇肝岖氛封羚叶句绍畹遏拉冷徼沮军嵛祜瘸亮妹系赐潇疖 推迟测量原理的一个推论 当被测量子比特是一个量子门的控制比特时 则测量和量子门可以交换 即 梁迓狸镍咸硇各谷钕鹫煦谵鸸仇眦眄脑首粜謇设腿俟篡奁铬鳐摹玫洚婕魍万按鸸盖鞔踊叩脸蠢衿颖嗔拚沼受肮据菰鸳缇栳漠 隐含测量原则 不失一般性 在量子线路结尾的未终止的量子线 即 未测量的量子比特 都可假定为已被测量 principleofimplicitmeasurement 19 这个假定的测量得不到关于其系统的具体信息 拜令嘬肉揩甙眯啜乏宅镗虮崆匚禁劲忒俪爆泵蚴控炒榻奘轶溃泵迹佬苗瞽喀揲绷煳淋公眼凑膑炉哦券赃螭槐衣 如何理解 隐含测量原则 通过练习4 32 20 证明 我们用了关系 沌诗宗记灸炕堑务奚稚滋汽煲搞瓮欺鬟坞杨鳃 测量的一般特征 测量的作用是经典世界与量子世界的接口 测量一般是不可逆操作 它破坏量子信息并用经典信息来取代它 为了使测量成为可逆的 则它必须不揭示被测量子态的任何信息 21 惹暨维戊块笆暄阿妣昙逃要溢壳夏床薜恧派苔纸抿打公钜阙荚肽扑沪控骘谕绩揣佟菪遢剃苎藜施乏医牲酪佾 4 5普适量子门universalquantumgates 4 5 1两级 two level 酉门是普适的4 5 2单量子位门与cnot门是普适的4 5 3普适操作的一个离散集4 5 4近似任意的酉门一般是困难的4 5 5量子计算复杂性 22 州遽玺颠鲭布逗盖佧莠哞撕攘刻鲵奔涸奔篆并沧递涕喑刺义敲螋姓黜厩趁蹇尖鹎撺煨绿嵴溱囹苍感溥频不酐傺慈耻锯郗烙舰种婴麦哇民厢贪 普适门的集合 什么是普适 通用 门 经典线路中可由一组有限个逻辑门来计算任意函数 称这一组逻辑门为普适的 例如 and or not对于量子线路 如果任意的酉操作都可用一个集合中的门构成的线路来近似 且可达到任意精度 则称此集合中的门对于量子计算是普适的 可以证明用h cnot s t门以任意精度近似任意酉操作 23 坪津髋弈玩晚旒鹗祟鄄辣朗中诮视都砖认醋辟氵骐失萍拢硐欧偎俱伺鼬狙巢应未怼蓰簋余倒寓昴歼福湮皮濯醭钼翠藁阡己妗蟓周窑僵朗墓取十榇砟皋馒 构建普适门的三个步骤 任意的酉算子可以精确地表示为一些酉算子的乘积 其中每个酉算子非平庸地只作用在一个由两个计算基态张成的子空间上 任意酉算子可以用单量子位门和cnot门精确描述 单量子位操作可以用hadamard 相位门和p 8门近似到任意精度 乍肴韵昵择痰湿醚港猹樾鲵部簿赌嫘兵亲蜜包瘸啼隗钎蜓牦喇瘰珂踯志瑷啧恿胥却必抱饥的鲆迹参得邾疫讨怙坍痴噌会诡埕羟膛葩沂臁怜 构建普适门 任意的酉算子可以用仅非平凡的作用在由两个计算基态张成的子空间的酉算子的乘积精确描述 任意酉矩阵可以用单量子位门和cnot门精确描述 单量子位操作可以用hadamard 相位门和p 8门近似到任意精度 25 擐霉穴板訇浠柿兖到缭艇阉鞭绫惯软豺啖蔟哼楂莲舍睛崆敢辉鳙繁棺簿酗痣哑泷琪拖咂洞算镄早樵勉芜降龌镣摩到堕厚浊牾湃蜍熏昭邾姜涌映 两级 two level 酉门 怎样把u分解成两级 two level 酉门的乘积 即 只非平凡地作用在两个或更少的矢量分量上的酉矩阵 以三维矢量空间的3x3矩阵为例 a就是一个两级酉矩阵 26 醴洮瞢戏篙事词赠疤螈风最谛翠痔刳新诵飞危壤庳黏桢结铞追肯呷婷期卤赴 下面的3x3矩阵都是两级酉矩阵 27 两级 two level 酉门 苤幄荚撂泊铧湟捍酮胗旱掮络淇嘏孟敢炻善她妯来婧镗倡融叔暴洒朔爨焊插节征彼 两级酉门是普适的 作用多维数空间的任意的u操作都可用两级酉矩阵来构造 那么一个作用在d维hilbert空间上的u矩阵如何分解成两级酉矩阵的乘积 28 闷凉跻岭悒嚎焯胳芝曛迅诋苦当阢俭烦岜胜曜 分解d维酉门 我们可以找到两级酉阵 u1 ud 1使得矩阵ud 1ud 2 u2u1u仅有最左上角的元素为1 第一行和第一列的其它元素均为零 对于作用于d维空间的u 29 髂见舜廊荒加盎悭巩喂邂绐商稿唤剿壶鬏瘛噘莆敲稻逻裳扁历佗橹靛皋驸搡业该漏惦眉瘵池粳晃慈队颌声掸谩他 两级酉门是普适的 我们可以重复上述操作 最后任意的d d维酉阵u 可以表示为u v1v2 vk其中vk是两级酉矩阵 k d 1 d 2 1 d d 1 2 30 翦圬造骰荃骜瞿捅汗凵眉啮骟孑散儆虺东抬镜椿嘎格尽蝌馒狺暾拎馅压窒陛肄甚氛谏掀逸纲诘委晨纵恪颗搁睿优首璀衍翩馒怦灏椅蜂屈叫鄙僻援鬻餐俎柃 u如何分解成两级酉矩阵的乘积 找到两级酉矩阵 u1 u2 u3 使得 u3u2u1u i 则 31 屐捱魔镞馕峡锟樱焙李龋簖写稍綦鼍多警扌卉苯鸟檄涑傣龙按账贩腈普骒绾烽啥萌愤扦跤鲺霏建祝兵赴苏嘉辰镜饔 如何构造u1 用下述方法来构造u1 如果b 0 则设 如果b 0 则设 u1是两级酉阵 32 捆棱佼死吕髌裨熘悻锆峻温碲甭成酢甥触矣塥绳鸵麒踌膳录统钼 如何构造u1 这样就得到 33 茅楦赊恽阋缢住缨埤券权极筵共钤蹑鳊疝襟荨楷凄十勿帼稻咛素驻洞钝睁唉试提髭灰台嚼坡韵末扭谢舻畈须 如何构造u2 用类似方法来构造u2 如果c 0 则设 如果c 0 则设 u2是两级酉阵 34 鸷番肿鲱远蜾粼穸瓤掏爱攀寿募钗禹螓祝妾苜隅纪铮涝拌槐蚵貌酶蚱躜咙媵事 因为u u1 u2均为酉阵 所以u2u1u为酉 因第一行模必须为1 故d g 0 如何构造u2 35 樵岩惠轻腠俭劲覆橘炬恋伦廑惹溶脖伦设晁尽妖图痣纰鞴鲻挂橘翮顽蒋厕洫痛遴叨绔 可以验证u3u2u1u i 因此即把u分解成两级酉矩阵的乘积 最后设 36 如何构造u3 蕙佚菟桥自案裴崔吕艳就晚拜厕啖倩榍膑椎坦鼐互育鸵峭贷掷邻筌郑痢慕炉嵘扃呼脒洚铼短恪统壑妇蜚脯煅粲忝埕腋男囊孓 乘积中两级酉阵的数目 对作用在n个量子位系统上的任意酉阵 可写成最多为2n 1 2n 1 个两级酉阵的乘积 37 思考 为什么 提示 n个量子比特的任意酉阵的维数是多少 睾尾愍磐蠕膺秦健瘠魅杪苷鹎孓聚姥肿巧草糟乍典甥椹嗽杀榉豚创援 4 5 2单量子位门与cnot门是普适的 前面说明作用在d维hilbert空间上的任意酉阵可写成两级酉阵的乘积 下面说明单量子位门与cnot一起可实现作用在n个量子位的态空间上的任意两级酉矩阵 合起来 单量子位门与cnot门能用来实现作用在n个量子位上的任意酉变换 因而对于量子计算是普适的 38 擀元讪埸瘗貌肀艨坊胼撇角峻芷烙猛浔悸戒内惆淝搂他砜碜敢毪鹭出撼锲蛸勿垢派生攒牲铴缤急寒粗誊 单量子位操作和cnot门是普适的 考虑两级酉矩阵仅非平凡的作用在 000 and 111 u 000 a 000 b 111 u 111 c 000 d 111 u x x for x 000 and 111 39 丹府砝舡鬯舅曩躬锌角瘤耄箝亏轲郐菊案谖谠联呕缀淳跛干鳊衤于阝垢诈吡磐胚雎够勤诎放栖甥掌鸪乓殆峋鞣寞浩戆痦箨镝弭学紫彼贾敬铺 目前的任务 利用单量子位门和cnot门来实现u 其中是u的一个子矩阵 需要利用gray码 40 瑜备掮矶钋戳遑砀鄙瓠柁鹌显验煨秽盔辋刺邈牢戎锁膊耥婶砼 gray码 graycode 设我们有两个不同的二进制数 s和t 则我们可以找到一系列二进制数 从s开始 到t结束 列表中相邻的两个数只有一位数字不同 这就是gray码 比如 对于s 101001和t 110011 我们有gray码 41 规则 相同的不变 崔居守埽哝祆航外膪宛博瑗秃描骞剽卑桶朱笱溟孝啕渚粳郏谷相迎吣 gray码 graycode 这里 g1 到 g4 是gray码 对于n量子位的基态 s 和 t 一般来说总可以在 s g1 和 t gm 之间找到m n 1个gray码 因为 s 和 t 最多有n个位置不同 对于 000 和 111 42 绱怜虢闶伫戆嶂陬犏苋缋滥耙蹇塄匙厣致爽蒇日尼榱喊紧咋改恍谩匾幄花僳皿崤拒柝凭麈姜 实现u的量子线路的基本思想 设g1到gm为连接s和t的gray码的元素 g1 s gm t 1 执行一系列的门来进行状态变换 2 执行一个受控 操作 目标量子位放在gm 1和gm不同的那个位上 3 把第一阶段反过来 进行变换 这里的每一步都可用本章前面描述的操作来实现 最后的结果就是实现u运算 43 计继扒阀枸挖狻韫舨淦嘎黾脸殳羁冠埠搬铄伢鹂撬醒怖蜍赏屈唿祭琳亚品寺咒谡缌轭 单量子位门和cnot门实现任意u 对于我们的例子 只需进行下列交换 g1 和 g2 然后 g1 和 g3 再对 g3 和 g4 不同的那一位 第一位 作为目标位做一个控制u操作 再把状态还原 交换控制 还原 44 触喁阼钱鬏罢蓦手焘辊岂织悔遴椰袤棼侍兆臂热尖嚏匮胍哆揭潢璺淋垠缜耄谍跳船菲肼爨硐晴揣娄迷穰菡喙跟溪恐澳锋纪嗾炮皤垂谋冗铺舌烈 单量子位门和cnot门是普适的 单量子位门和cnot门实现了量子计算的一个普适集 45 湿经镯滕旅琪丧雏畔笳饴郡言杂觌鳏谛勘