推理与证明题型归纳.doc

推理与证明题型归纳推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何与立体几何等多个知识点，需要采用多种数学方法才能解决问题，是提高区分度，增强选拔功能的重要题型，因此在最近几年的高考试题中，推理与证明问题正在成为一个热点题型。因此，我们必须学好它。如何学好？首要任务是熟练掌握本章的典型题目。下面将本章题型归纳如下：题型一归纳推理发现一般性结论归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。常见形式有：一是“具有共同特征”，二是“循环型”（周期性），三是“递推型”。例1 观察下列两式： ；分析上面两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，并证明你的结论。解：一般规律的等式：若，。证明如下：由，得，即，所以即。思维启迪：具有共同特征的几个式子得出一个通式，是归纳推理的常见题型。例2 设定义在R上的函数满足+，若，则 解：因为+，所以，由此归纳出： ，所以 。思维启迪：本题条件+换为，解题思路是一致的，属于“循环型”（周期性）。例3 （2012届南通学科基地）如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：，则第行第3个数字是 。解：，所以 即第三个数：思维启迪：设第行的第2个数，第行的第2个数，通过对三角形规律的研究得出答案中的两个式子即可求解，本题属于“递推型”。题型二类比推理拓展新知识类比推理又称类比法,它是根据两个或两类对象有部分属性相同,从而推出它们的其它属性也相同的推理。简单地说,类比推理是由特殊到特殊的推理。常见形式有：等差数列性质类比等比数列性质，椭圆性质类比双曲线性质，平面中的“点、线、圆、三角形、角、面积、周长”分别类比空间中的“线、面、球、三棱锥、二面角、体积、表面积”等等。例4 数列是正项等差数列，若，则数列也为等差数列。类比上述结论，写出正项等比数列，若= ，则数列也为等比数列 。解：思维启迪：=，等差数列和等比数列相类比，则= 例5 已知命题：平面直角坐标系中，顶点和C，顶点B在椭圆上，椭圆的离心率是，则 。试将该命题类比到双曲线中，可得到一个命题： ACOxyB解：如图,由正弦定理得, 所以 = 由椭圆的定义类比到双曲线的定义可得：平面直角坐标系中，顶点和C，顶点B在双曲线上，双曲线的离心率是，则| 。思维启迪：本题由椭圆的性质类比双曲线的性质。例6 若ABC内切圆半径为r，三边长为a、b、c，则ABC的面积Sr (a+b+c) 类比到空间，若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1、S2 、S3 、S4，则四面体的体积V 。解：ABC内切圆半径为r和四面体内切球半径为R相对应，三边长与四个面的面积对应，不难类比猜测本题的答案：R(S1S2S3S4)。 思维启迪：本题类比主要对象是三角形面积和三棱锥体积。一般地，三角形面积计算都要有，而棱锥体积则都包含。因此最后的结果是R(S1S2S3S4) 。题型三 “三段论”进行演绎推理演绎推理是一种由一般性的命题推出特殊性命题的推理模式，是一种必然性的推理，演绎推理的前提和结论之间有蕴含关系，因而只要前提是正确的，推理形式是正确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论。EDCBAOMF例7 如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱。（1）证明/平面；（2）设，证明平面。解：（）证明：取CD中点M，连结OM。在矩形ABCD中，又，则，连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形。又平面CDE，且EM平面CDE，FO平面CDE（）证明：连结FM，由（）和已知条件，在等边CDE中，且。因此平行四边形EFOM为菱形，从而EOFM而FMCD=M，CD平面EOM，从而CDEO。而，所以EO平面CDF。思维启迪：演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据。题型四直接推理证明例8 设，是从， 这三个数取值的数列，若+ ，+，则，中有 个1解：+（+）+2(+)+50=102 。因为+，所以+=40，所以50个数中有40个从中取，另外10个0，由+可得23个1，17个 。故本题答案：23个1思维启迪：本题的表象是代数求解问题，实质是推理。寻找本题的解题思路，我们采用分析法，当我们将+展开，得到+=40，很容易想到只有，40个，另10个是0，让我们有一种“柳暗花明”的感觉，这其实就是分析法的妙处。写解题过程时，我们通常采用综合法，由已知条件出发，推出结论。题型五 运用反证法证明利用反证法时，需要注意的一是否定结论部分，把握住结论的反是什么？二是导出矛盾部分，矛盾有时是与已知条件矛盾，有时是与假设矛盾，而有时又是与某定义、定量、公理或事实矛盾，因此要弄明白究竟是与什么矛盾。例9 若a,b,c均为实数，且，证明：a,b,c中至少有一个大于0 证明：假设a,b,c中全不小于0，即这与矛盾。所以假设不成立，原命题正确。思维启迪：对难于从正面入手的数学证明问题，解题时可从问题的反面入手，探求已知与未知的关系，从而将问题得以解决。因此当遇到“否定性”、“唯一性”、“无限性”、“至多”、“至少”等类型命题时，宜选用反证法。题型六用数学归纳法证明常见题型：用数学归纳法证明与自然数有关的等式，用数学归纳法证明整除性问题。例10 用数学归纳法证明等式: （）证明:(1)当时,左=右,等式成立。(2)假设当)时,等式成立,即。则。所以当时,等式也成立。综合(1)、(2),等式对所有正整数都成立。思维启迪:用数学归纳法证明等式是一类常见题型,注意用数学归纳法证明的步骤,明确从到时式子变化了哪些,同时注意归纳假设时,如何凑出要证的结论,搞清项数与各项的结构。证明的关键是第二步时提取公因式、分解因式、添拆项、配方等技巧的合理使用,并用活。例11 用数学归纳法证明:能被整除。答案要点:(1)当时,能被整除,命题正确；(2)假设时命题正确,即能被整除,所以当时,而两个连续的整数的乘积是偶数,所以能被整除,所以能被整除,即当时命题也正确,由(1)、(2)知命题时都正确。思维启迪:整除问题在考试中并不多见,一般用数学归纳法解决此类问题。用数学归纳法证明有关数或式的整除问题时,要充分利用整除的性质。若干个数(或式)都能被某一个数(或式)整除,那么其和、差、积也能被这个数(或式)整除。即若能被整除,则的倍数也能被整除()；若、都能被整除,则也能被整