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Dong xin yao【例题01】 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，设是抛物线上的动点，则的最大值是（）A B C D 解答1、 求非负表达式的最大值与求的最大值等价。设，又，所以：2、 扩展多项式分式（分子分母都是多项式的分式，如一元二次分式）的极值问题，可通过凑配法化成与形如“即型”的分式极值问题相关联的问题来处理。3、 均值不等式：几个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当它们都相等时，等号成立。4、 均值定理：若几个正数的和一定，则它们的积有最大值；若几个正数的积一定，则它们的和有最小值；当且仅当这几个正数都相等时，它们的算术平均数等于它们的几何平均数。5、 常见错误：不是正数不能用，不是常数不能用，无法相等不能用。【例题02】 函数定义在上且满足，则当时，和的大小关系（）A B C D 解答1、 应用构造函数法和函数图像法，设，则。2、 因为在上恒有，所以在上恒成立，所以在上是减函数，所以当时，有成立。3、 扩展：若条件改为，也需构造，有类似结论。4、 扩展：若条件改为，则需构造，有类似结论。5、 在涉及到两个函数乘积、函数与导数乘积的和、或与函数乘积等形式，可考虑构造函数法。图2COPF1QyxAF2【例题03】 已知点，圆与椭圆有一个公共点，、分别是椭圆的左、右焦点，直线与圆相切。（1）求的值与椭圆的方程。（2）设为椭圆上的动点，求的取值范围。解答（1）通过变量分析可知，“点在圆上”这一个条件即可确定参数的值。在确定椭圆方程时，最多需要再给两个条件，加上基本量的平方关系，这三个等量关系就可以确定椭圆方程：在点和圆确定后，可通过“与圆相切”应用点到直线距离公式，确定焦点的坐标，又已知点在椭圆上，这正好给出了两个条件，联合即可确定结论。（2）该问题是数学规划问题：线性目标函数与非线性可行域的最优解问题，将设为目标函数，即：，代入各点坐标后，目标函数转化为直线方程，该直线与椭圆相切时，目标函数分别取得最大值和最小值。【例题04】 已知函数，。（1）若函数在时取极值，求的单调递减区间；（2）证明：对任意的，都有； （3）若，求证：（4）若，求证：解答第三问的证明要点在于恒成立。（1）依题意，由，所以，因，且，所以由图像关于对称，得是函数的单调减区间。（2）因为，所以即证明成立。当时，因为，所以恒成立，当时，只需证明时结论成立，令，则，因为，所以成立，又因为，所以，即。综上所述，对任意的，都有成立。（3）若，求证：，令，则有，待证不等式变为，因为，所以，所以，因为，所以，依次递推可得，所以。证毕。（4），令，则有，待证不等式变为，因为，所以，所以，因为，所以，同理得：，依次递推可得：，所以，。结论得证。【例题05】 已知直线，则倾斜角的范围是_。解答直线倾斜角的取值范围是，的值域，由即的结论。【例题06】 若不等式对任意实数恒成立，则实数的范围是_。解答1、 形如的函数的最小值是；形如的函数的最小值是。2、 应用函数思想；将问题转化为求函数满足时的自变量的取值范围。3、 因是奇函数，所以分和两个区间分别处理，注意不要丢掉孤立的那个点。【例题07】 若，对任意实数都有，且，则实数的值等于（B）A B或 C D或解答函数有对称轴的特征是：存在使得成立。类似地有。1、 对任意实数都有，说明函数有对称轴，即是函数的最大值（波峰点）或最小值（波谷点）。2、 又因为振幅为，所以可能是波峰或波谷，是由向下平移或向上平移所得，所以可能是或。【例题08】 已知数列满足，且，则的值是（）A B C D解答关注等差数列、等比数列的对称性（即中项性质）1、 由，2、 所以。【例题09】 已知、是直线上任意两点，是外一点，若上一点满足，则的最大值是（）题有疑问？是个定值。A B C D，解答令提示：三点共线的向量表达式，表示系数的和为，即，若，则。因为、三点共线，所以由得，因为，所以。于是，所以，所以，都是定值。如果单从函数由，进而得：，于是：。COBFAyx图2D【例题10】 如图所示，过抛物线焦点的直线依次交抛物线与圆于点、，则的值是（）A B C D解答抛物线定义：抛物线上一点到焦点的距离等于到准线的距离。1、 显然的焦距为，焦点坐标，恰好又是圆的圆心，所以，；2、 设过焦点的直线，与联立得，。Oyx【例题11】 定义在上的函数满足，的导函数的图象如图所示，若两个正数、满足，则的取值范围是：A B C D解答虽然可以用解线性规划的方法来解决，但是因为可行域是开区间，所以没有最优解和最优值。1、 由图像可知，在上是增函数，所以由和得：。2、 问题转化为截距型线性规划问题。目标函数为，约束条件为且、。3、 以为横轴、为纵轴，建立直角坐标系，画出可行域，解得：，4、 注意本问题和线性规划问题的差别是：问题原形相关的可行域不包含边界，因此目标函数无最值。【例题12】 已知函数，在处取得最小值，则函数是（）A偶函数且它的图像关于点对称 B偶函数且它的图像关于点对称C奇函数且它的图像关于点对称 D奇函数且它的图像关于点对称解答用辅助角公式、正/余弦函数图像的对称轴与对称点的位置特征。1、 因为在处取得最小值，所以，令得，。2、 所以，进而，3、 所以的图像关于点对称。【例题13】 函数是偶函数，其图像与直线某两个交点的横坐标分别为、，若的最小值是，则该函数的一个递增区间可以是（）A B C D解答类似的最大值，最小值，与交点间距离是半周期。1、 依题意，的最大值是，所以恰好是周期，所以函数的周期为，。2、 若，则的增区间，长度，无合适选项。3、 若，则的增区间，长度，、。【例题14】 函数是定义在上的增函数，的图像关于点对称，若实数、满足不等式，则的取值范围是（）A B C D解答运用换元法，令，。1、 因为的图像关于点对称，所以函数关于原点对称，是奇函数。2、 所以3、 所以，4、 圆的圆心，半径，5、 所以的取值范围从，即。【例题15】 在中，、分别为角、的对边，若，求证：（1）；（2）求边长；（3）若，求面积。解答1、 由条件，以及得（），即和在边上的射影长度相等。2、 有三角形性质，（）是边上的高，将两式两端平方并相加即得：，所以。3、 因为，得。4、 设上的高为，则，所以。【例题16】 三棱锥的高，、分别在和上，且，试问下面的四个图像中哪个图象大致描绘了三棱锥的体积与的变化关系。A Oyx223 Byx223 COyx3 D Oyx3解答1、 有三棱锥体积公式：，2、 可见是关于的二次函数，且开口向下，所以图像适合选项A中的图形。【例题17】 在中，、分别为角、的对边，已知，且圆上任意一点关于直线对称点都在圆上，则面积最大值为（）A B C D 解答1、 依题意圆的圆心在直线上，所以，2、 应用正弦定理：， 3、 整理：，4、 所以：，将代入得，5、 进而：。Oyx【例题18】 函数图像与图像所有交点横坐标之和等于（）A B C D 解答这个题有问题！1、 因为函数与都过点和，但并不相切，2、 而水平线与在点和处相切，3、 函数的图像过和与不相切，因此在这两个点附近还有其他交点。因此，两个函数图像共有5对即10个交点，每对交点关于对称，总和为。4、 原题忽略了在点和之前必有交点的事实。【例题19】 设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是_。解答yxxyy1、 奇函数的特征：定义域、值域、图像关于原点对称，或不存在（使分母等于零），如图所示。2、 奇函数的典型实例：、。【例题20】 已知函数，若在区间上任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的范围_。解答构造函数法，并首先注意到即。1、 令，则。2、 改写为，因为，所以于是问题变为：当时，不等式恒成立，若则恒成立，这说明在上是增函数。3、 确定的增区间，确保该区间包含区间：当时，。4、 由得， 即该不等式的解集包含集合。5、 因为函数在时，是增函数，所以只要，就可以保证不等式的解集包含区间，所以的范围是。【例题21】 已知等差数列的首项为，且，、成等比数列：（）求数列通项公式；（）设，求数列的前项和。解答由等差数列推导出来的一些特殊数列的前项和的求法。（）依题意，设，因为、成等比数列，所以代入并整理得，因为，所以。所以。（），通过裂项消元法，求得。【例题22】 先后两次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为、。求：（）求直线与圆相切的概率；（）将、的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率。解答，应用联立、消元、令判别式等于零与直接用点到直线距离公式的结果相同。1、 应用点到直线的距离公式：原点到直线的距离：。2、 显然、满足上式的组合为，所以所求概率为。【例题23】 已知等差数列的公差不为零，若、成等比数列，则A B C D 解答一个等式两个未知数，只能得到两未知数之间的关系式。1、 由、成等比数列得，或（舍）。2、 于是，【例题24】 已知，则的最大值是_解答1、 由指数函数的单调性，求原表达式的最大值等价于求的最小值，转化为线性规划问题。2、 变形目标函数、画可行域、画参考线、平移参考线找最优解、算最优值、算原表达式最优值。【例题25】 平面内，到定点和到定点的距离的比值为的点的轨迹为曲线，直线与曲线相交于、两点，若在曲线上存在点，使且，求直线的斜率及对应点的坐标。（点为坐标原点）解答1、 若到两定点、的距离之比是定值，则有两个分点，其中内分点是、的等分点。2、 到两个定点的距离之比是定值（不等于）的动点轨迹是圆；到两个定点的距离之比等于的动点轨迹是两定点连线的垂直平分线。本题圆方程：由得，原点为圆心，为半径。3、 有斜率且相互垂直的两条直线，斜率的乘积等于，称为“斜率互为负倒数”。由于圆心在原点，所以，四边形是菱形且，所以对角线且到的距离。又直线过、，所以的斜率。4、 的坐标：因为与共线，模，所以5、 因为直线上的点满足，代入坐标得：，化简得直线的方程：。【例题26】 已知函数，（1）讨论的单调区间；（2）若在恒成立，求的取值范围。（1）解答分类讨论法，将导函数分解因式，并确定区间分点。1、 初步判定：求导数：，显然单调区间的分点为和。2、 详细判定：参考函数定义域可知 ，所以对分、两种情况讨论。3、 当时，因为，所以恒成立，是函数的增区间；当时，因为时，而时，所以是减区间；是增区间。（2）解答分离变量法，“对任意都成立”即求分离变量后的表达式的最值。1、 因为，所以将变形为，求的最大值即可。2、 求导：，因为在上恒成立，所以在上是增函数，最大值，所以。【例题27】 已知抛物线焦点为，顶点为，点在抛物线上移动，是的中点，是的中点，求点的轨迹方程。解答动点关联法：定点、主动点、从动点之间满足一定关系，主动点在已知曲线上，求从动点坐标。1、 首先明确已知点的坐标、，然后设定动点坐标，、2、 由中点公式得：、；，。3、 从中解出：，因为在抛物线上，所以，将前面两式子带入得：，化简得：，所以的轨迹方程为。【例题28】 下列是关于函数的几个命题：若且满足，则是的一个零点；若是在上的零点，则可用二分法求近似值；函数的零点是方程的根，但的根不一定是函数的零点；用二分法求方程的根时，得到的都是近似值，以上叙述中正确的个数（）A B C D 解答函数的零点是一个数，而不是一个坐标点；用二分法求近似值是有条件的，而且可能是精确值。【例题29】 已知，且，若恒成立，则实数的范围是（）A或 B或 C D 解答表达式已经是分离变量形态，直接用“左边的下界就是右边的上界”处理。1、 利用均值定理求的最小值，将变形为。2、 因为，所以，所以。3、 解二次不等式，先因式分解，所以解集是两根之间。【例题30】 在平面直角坐标系中，已知平面区域，则平面区域的面积是（）A B C D 解答坐标变换法确定集合确定的平面区域。1、 设，由、得：、，2、 于是有，求得的面积。【例题31】 已知等差数列的前项和为，且首项，若存在自然数使得，则当时，与的关系是（）A B C D无法确定解答1、 等差数列的通项公式是关于的一次函数，图像是直线上的点列。2、 因为，所以且公差，当时，因为。3、 所以。【例题32】 平行六面体各面都是菱形，则在平面上的射影是的（）A重心 B外心 C内心 D垂心解答1、 用极限情形法，考虑正方体被压扁的情况（一种是射影在底边中点附近，一种是射影点在直角点附近）2、 这类题比较适合寻找特殊情况来验证结论的正确与否。【例题33】 设，则函数的值域是_。解答转化为以为主元的一元二次方程在给定区间上的值域问题。1、 设，立即写出的取值范围：因为，是关于的增函数，所以。2、 则函数变为：，愿问题变为“求在上的值域。”3、 二次函数在给定区间上的值域问题有三种情况“对称轴在区间左侧、右侧、中间”。算出左右端点和顶点的函数值，比较大小就可以得出值域。【例题34】 已知是平面内一点，命题：点、是线段的三等分点，则有。把此命题推广，设点、，是的等分点（），则有_。解答注意对称性的应用，线段的等分点是关于线段中点对称分布的。1、 偶数个分点将线段分成奇数段，线段中点不是分点；奇数个分点将线段分成偶数段，线段中点是分点。2、 两个对称的分点对应一个；若线段的中点是分点则它对应。3、 所以，当线段有为分点时， 。【例题35】 过抛物线的焦点作直线与抛物线交于、两点，若该抛物线过、两点的切线相交于点，且，则_。解答1、 根据抛物线焦点弦的性质可知：过抛物线焦点弦端点的切线的交点一定在抛物线的准线上，并且、三点构成直角三角形，即，且与抛物线焦点的连线垂直于该焦点弦，即是斜边上的高。而与焦点弦的中点的连线（斜边的中线）平行于对称轴（是直角梯形的中位线）2、 用计算面积的不同的公式相等、用计算体积的不同公式相等来计算某些未知量时常用的方法。3、 。【例题36】 已知数列的前项和，函数（其中、均为常数，且），当时函数取得极小值，点均在函数的图像上，（其中是的导函数）。（1）求的值。（2）求数列的通项公式。解答三次多项式的极值：三次项系数大于零则左极大右极小，三次项系数小于零则左极小右极大。1、 首先求导：，解得或者。2、 因为，所以，由三次函数图像性质可知，在处取极小值，所以。3、 依题意，将点的坐标代入得， 4、 当时，即；当时，。5、 显然时也成立，所以数列的通项公式为【例题37】 已知：函数（1）求函数单调区间。（2）若恒成立，试确定实数的范围。（3）证明：解答（1）1、 注意：首先确定使表达式有意义的自变量与参数的取值范围：，这是根本前提。在对参数进行讨论时，一定要穷尽的所有可能情形，关注的特殊值。2、 然后求导：必须将导数写成因式乘积的形式：。3、 显然，若是极值点，必有，但不要忽略的特殊情形。当时，显然时，此时是的单调增区间。当时，因为，所以，所以，此时是的单调增区间。当时，在时，有解，是函数的极值点。当时，此时是的单调增区间；当时，此时是的单调减区间。4、 综上所述，当时，是的单调增区间；当时，是的单调增区间，是的单调减区间。 解答（2）当且时，因为，此时结论不成立。（据一个特殊值否定）当且时，是函数的极大值，由，所以时，恒成立。解答（3）令，于是。所以对任意恒成立，所以：证毕。【例题38】 三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长度分别为、，则三棱锥的外接球的表面积是（）A B C D 解答1、 这是个从长方体上切下来的特殊三棱锥，将满足条件的三棱锥补齐为棱长分别为、的长方体，他们的外接球相同。该长方体对角线就是外接球的直径。2、 已知几何体的某些特征，求几何体外接球的表面积或体积，就是求球的半径，基本方法是找一个满足某些条件的大圆。过几何体的任意一条棱（即球的一条弦）和球心都可以做一个大圆，但是球心是不知道的，因此，总是过几何体的一条棱和几何体的另外一个顶点作大圆，如果找不到第三个顶点，就在几何体上找一个特殊的点，确保过该点和几何体的一条棱可以做出一个大圆。然后利用“半径、弦心距、半弦长”构成的黄金三角形和勾股定理计算球半径。【例题39】 已知圆方程，点，过作与垂直的直线交圆于、两点，分别过、作圆的切线，两切线的交点为，则过点且平行于直线的直线方程是（）A B C D 解答1、 因为本题中的直线与坐标轴的截距都是正数，所以选项A、D被排除。2、 因为，所以，而的长度正是原点到题中所说直线的距离，由点到直线距离公式可知，原点到选项B中直线的距离恰好是。3、 从策略上讲，先算出原点到直线的距离，在逐一判断，就本题选项顺序的安排，将是不划算的，因此根据截距的符号迅速否定选项A、D，进而直接验证B、C效率较高，这样只验证一个即可。【例题40】 已知圆关于直线对称，圆心在第二象限，半径为。（1）求圆的方程。（2）已知不过原点的直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，求直线的方程。解答配方法、点到直线距离公式。1、 由配方法可得的圆心坐标和半径。2、 由圆心在第二象限且满足方程和半径为等条件可知、。3、 解方程组和的技巧：先对两边平方算出再由平方关系算出，进而由和解得、。【例题41】 已知，直线和圆。（1）求直线的斜率的取值范围。（2）直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？解答1、 第一问中，直线和圆并没有关联，而且，所以由得。2、 第一问转化为求函数的值域，因为，所以。3、 由圆的一般式可确定圆心与半径。所以的圆心和半径。4、 “弧长的比值为的两端圆弧”意味着直线截圆所得圆弧的圆心角分别为、。5、 由圆与直线方程可知，圆与轴相切于点，而直线是过定点的直线。所以圆与直线的图像表明，该直线与轴所夹弦切角（夹在两直线中间的圆弧所对的圆周角）最大且满足，对应的圆心角。所以不存在这样的直线。【例题42】 等比数列的前项和为，前项和为，则它的公比是（）A B C或 D 或解答1、 当时，、，因为首项不为零，所以此时无解。2、 当时，、， 3、 做比例，解得。（当时，；当时，。）【例题43】 某工厂第二年比第一年的年产量的增长率为，第三年比第二年的年产量的增长率为，这两年的年平均增长率为，则（）A B C D 解答“年平均增长率”可视为“年增长率恒定不变”1、 依题意，可认为第一年产量为，第二年为，第三年为。2、 所以，“这两年的年平均增长率”满足。3、 由均值不等式得，即得。4、 提示：“这年的年平均增长率” 满足。【例题44】 已知不是的最大内角，且，求边长的长度最小值解答注意，因为1、 条件变为；条件可以变形为，得。2、 因为“不是的最大内角”，所以是锐角，所以，。3、 由余弦定理得。4、 解得，所以的长度最小值为。COPANyxBFMl【例题45】 已知、分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的右焦点，是椭圆上异于、的任意一点，直线、分别交直线于、两点，交轴于点。（1）当时，求点的坐标。（2）是否存在实数，使得以为直径的圆过点？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由。解答（1）略解答（2）过程1确立目标，过程2求出、，过程3代人，过程4化简求值。1、 显然“以为直径的圆过点”等价于“是直角三角形，”，设、，则有向量表达式：成立，2、 设，的方程、的方程，因为点在上、点在上，所以，。从中解出和：，且，导出，3、 于是4、 由，得。【例题46】 已知数列的各项均为正数，前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求解答（1）1、 首先算出，解得，2、 然后将与相减得：3、 化简：4、 因为，所以，所以。解答（2）1、依题意，所以，应用列项消元即可求解。【例题47】 已知数列满足，前项和为，对任意，有（为常数）。（1）求和、的值；（2）求数列的通项公式解答1、 当时，于是2、 将与相减，化简得：，因为，所以，所以是以为首项以为公差的等差数列。【例题48】 已知函数（1）当时，求在区间上的最大值和最小值。（2）如果函数、在公共定义域上满足，那么就称为、的“活动函数”。已知函数，若在区间上，函数是、的“活动函数”，求的取值范围。解答将函数的导数写成下面的最终形式是关键的一步，一定要做到。这样才会知道如何讨论。1、 首先注意函数的定义与是。2、 令，3、 求的极小值：， 解得或者。（如果讨论单调区间，则要同时考虑使分母为零的值）当时，在上恒成立，当时，设是与中的最大者，当时，恒成立。因为当时，所以不存在使得在上恒成立。所以，当时，在上恒成立。（这里要用极限分析法）4、 求的极小值：解得。（因为要求与在区间上同时成立，所以只需在内讨论即可）。因为当时，在区间上恒成立，所以。5、 综上所述，的取值范围是：。6、 求的极小值：单独讨论（此问题单独出现时，才这样做。）当时，在上恒成立，；当时，在上恒成立，由，即或，因为，所以。【例题49】 已知函数，函数，若存在、，使得成立，则实数的取值范围是_。解答1、 问题等价于求函数、的值域，使它们有交集。令，。2、 因为，所以在上，在上是增函数， 、；因为，所以在上，在上是减函数， 、，所以的值域为，3、 由可知，当时，进而，4、 当时，函数在时的值域为，5、 为保证与有交集，必须，或者，6、 解得，或者，即在时，满足条件。【例题50】 已知圆，动圆，（1）求证：圆和圆相交于两个定点；（2）设点是椭圆上的点，过点做圆的一条切线，切点为，过点做圆的一条切线，切点为，是否存在点，是无穷多个圆满足，如果存在，求出所有这样的点，如果不存在，请说明理由。解答（1）1、 两曲线相交于两个定点，就是两曲线方程联立，适当消元（消二次项）会得到一个确定的直线方程。2、 联立方程与，消掉二次项后得到：，整理，进一步整理得：，3、 显然，当时，两圆重合，当时，两圆的交点在直线上，4、 由与联立，消元整理得：，解得，所以交点为与。解答（2）1、 由配方法确定的圆心，半径，2、 的圆心，3、 画图发现，这样的点可能在直线上，取椭圆的右顶点记为点，又知道圆的圆心，半径，可验证是常数，而的就是切线长。4、 。【例题51】 已知函数，则要得到函数的图像，只需将的图像（）A向左平移 B向右平移 C向左平移 D向右平移解答首先变成同名函数，再令法则后面括号里的表达式等于零，根据两个数之差确定平移量，并根据其在数轴上的位置确定平移方向。【例题52】 在区间内随机取两个数、，则使函数有零点的概率是（）A B C D 解答涉及两个随机变量时，事件总空间是两随机变量时间空间的乘积就是一块面积。【例题53】 已知函数，（1）若、都是从、中任取的一个数，求上述函数有零点的概率。（2）若、都是从区间中任取的一个数，求成立的概率。解答事件总空间是两随机变量时间空间的乘积就是一块平面点阵。【例题54】 直线与圆相交于、两点，若，为原点，则_。解答1、 运用点到直线的距离公式算得圆心到直线的距离为，即弦心距为，又半径是，所以。2、 若不是特殊角，则【例题55】 过点做直线与圆交于、两点，则的最大值是_。解答过定点的直线参数方程中，参数的几何意义就是定点到交点的有向线段的数量。图ACFEB【例题56】 如图在和中，点是中点，若，则与的夹角等于（）A B C D 解答将没有给定长度的向量用给定长度的向量的一个关系式等良替换。【例题57】 直线与曲线有个公共点时，实数的取值范围是（）。A B C D 解答判断两个函数图像交点的个数，通常用几何作图法处理，先找好不连续点、尖点，切点、顶点等特殊点的位置。【例题58】 定义在上的函数，在其定义域的子区间上函数不是单调函数，则实数的取值范围是（）。A B C D 【解答】不是单调区间的区间，一定包含极值点。所以，由和得，。要使且是的子区间，必须，解得。【例题59】 设函数在上的导函数为，且，则下面不等式在上恒成立的是（）A B C D解答构造函数法，并应用导数与积分的互逆运算关系。函数的原函数除相差一个常数外，使唯一的。1、 当原函数及其导数出现在同一个关系式中时，常用构造函数法：设，即。2、 变形一：，由积分与导数的关系可知，其中为常数，所以。选项A正确。3、 本题问题：由，令得，而条件中没有明确。可以将条件更正为“当时，成立”。或者改为“设函数在上的”。yx【例题60】 把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到图像，若对任意，曲线与至多只有一个交点，则的最小值为（）A B C D解答几何法很简单（即函数及大值极小值的差。）；代数法比较麻烦（重在理论推导。）1、 几何法：，于是，做差得：。2、 函数平移后是：，即点平移到。3、 具体过程如下：令代入原函数得：，将该关系式视为关于的函数，即可以改写为，整理得：。4、 联立与，消元得，化简得：，5、 依题意方程的叛别式，即，简化，6、 “对任意，至多只有一个交点，求的最小值”等价于“时，求最大值”，7、 因为函数是奇函数，由三次函数图像的特征，以及，可知，函数的最大值为。【例题61】 已知在半径为的球面上有、四点，若，则四面体的体积的最大值（）A B C D解答直接基于对称性来处理。1、 显然和都是边长为的等边三角形，设、的中点分别为和，2、 与位置的对称性在于，他们相互垂直并且与过中点、点、的平面垂直，3、 此时四面体被分割为和两个三棱锥，他们的体积相等，4、 ，5、 所以。yx111012【例题62】 已知函数，若、互不相等，且，则的取值范围是（）A B C D解答1、 假设，则，所以，2、 的图像与的交点为。为保证直线与的图像有三个交点，必须，3、 于是当时，所以【例题63】 设为抛物线的焦点，、为该抛物线上三点，若，则（）。A B C D 【解答】由于题意标明结果是唯一的。所以首先关注圆锥曲线的对称性质，可轻易解决本题。1、 变形，设、两点关于抛物线对称轴对称，则点必是抛物线的顶点，此时，为保证，令，由得，2、 令，则、满足条件， 。yx【例题64】 如果函数没有零点，则的取值范围是（）。A BC D 【解答】由判断函数是否有零点，就零函数表达式等于零，然后适当移项后，令等式两边为两个函数，原函数的零点就是这两个新函数的图像的交点横坐标，原函数无零点，这两个新函数的图像无交点。1、 分解函数法：设，黄色线是的图像，半圆线是的图像。函数没有零点，等价于与的图像没有交点。2、 红色半圆线恰好与黄线相切，蓝线半圆线恰好与黄线相交于点、三点。3、 所以或，即。COBAP【例题65】 如图四边形是圆的内接四边形，延长和交于点，若，则的值为_。【解答】1、 在中，由四边形是圆的内接四边形可得：；又是公用角，所以，2、 于是有：【例题66】 设是等比数列，公比，是的前项和，记，设为数列的最大项，则_。【解答】本题为了计算简洁，先不带入，最后结果推导出来后再代入。另外应预见到会消掉。1、 由得：，2、 进一步化简，3、 因为当时，取得最小值，所以。【例题67】 已知等差数列的公差不为，设，。（）若且、成等比数列，求的值，（）若，证明【解答】化整为零，合零为整，可以使解题步骤清晰简洁。注意不是数列的前项和。1、 由得，由定义得、。2、 因为、成等比数列，所以，得。3、 代入4、 代入5、 ；，6、 于是。证毕。【例题68】 设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是_。【解答】1、 将代入得：2、 ，3、 整理得：，4、 应用分离变量得：，因为该不等式对任意恒成立，所以，求问题转化为求在内的最小值，5、 令，则，问题转化为求在上的最小值。6、 由对称轴在区间的左侧，且二次函数图像开口向下，所以。7、 所以，得。8、 进而得：或。【例题69】 已知对于任意，恒成立，若的图像关于直线对称，且，则_。【解答】通过坐标变换：令，即得是的对称轴。即是偶函数。1、 因为的图像关于对称，所以是偶函数，所以。2、 又，令得。所以只能是。于是条件简化为，说明函数是以为周期的周期函数。3、 进而由，运用周期性和偶函数性质得：。【例题70】 椭圆上有两个动点、，则最小值_。【解答】由1、 由可知是直角三角形，所以由向量数量积的几何投影意义可知，。2、 所以问题转化为求线段的最小值的平方。设，与椭圆方程联立并消元得：，所以。Q/PDCE俯视图GHCPQOHPQC截面OPEQFPQE截面OPQGOGH截面HFFM【例题71】 已知半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点、，那么、两点间的球面距离是（）。A B C D【解答】通过弦在平面内的投影，计算弦长，而。1、 球面上两点间的球面距离是过这两点的大圆的劣弧长度，利用弧长公式，其中是圆心角。2、 可以通过“球半径、弦心距、半弦长”构成的“直角三角形”运用勾股定理求圆心角。3、 设中点为，截面与截面相交于直线，是中点，点、共线。4、 ：截面截球所得大圆如第四图所示，就是弦心距，是半弦长，是半径。5、 其中半弦长在第一图中可根据相似关系求得：，而边长就是到的距离（如图二所示），由。6、 由射影定理可知，进而推出，由余弦定理可得：，所以。【例题72】 已知直线与双曲线交于、两点，是双曲线上不同于、的点，当直线、的斜率、存在时，。A B C D与的位置有关 【解答】应用点差法和对称性（即、两点关于原点对称）简化计算过程。1、 设、，线段的中点为、线段的中点为，则由中点公式得：、。2、 因为、三点在双曲线上，由点差法得、，将两式左右分别相乘：。（提示：）。【例题73】 已知正项等比数列的前项和为，且，则数列的公比是（）。A B C D 【解答】1、 当时，由得：2、 （当时，等式变为：不成立。）【例题74】 （10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为。（）请说明曲线表示什么曲线。（）求曲线与曲线的交点个数。【解答】，1、 因为，所以是抛物线。2、 因为，所以是直线。3、 联立消元，即或。（或者根据可知，与有两个交点）【例题75】 已知函数，求：（）的最小值（）当时，恒成立，求范围【解答】注意到要求，所以，下面的讨论都适基于当进行的，（），当时，由得，因为当时；当时，所以是极小值点，最小值为。（）当时，令：，化简得：，因为，且由，可知，当时，；当时， 所以，当时，当时，所以，当时，由恒成立，得：，当时，由恒成立，得：，所以，当时，当时，恒成立，。所以时，？【例题76】 已知函数，若存在正实数使方程有两个根、，其中，则的取值范围是（）A B C D 【解答】1、 由、的定义可知，、。2、 两式相加得：，代入。3、 由图像可知：随着的增大而增大。当时，取最大，当时，。4、 所以得：，B正确。5、 思路点拨：此题看似混沌，但是只要意识到一定要得出两个根要满足的关系、一定要明确目标表达式的变化与参数的关系，就可以写出第一条的结果，自然就会发现端倪了。【例题77】 已知函数，且的导函数满足，设、为方程的两个根。（）求的取值范围。（）当取最小值时，的极大值比极小值大，求的解析式。【解答】（）1、 依题意，所以，2、 由得：，所以，3、 进一步推导得：。【解答】（）1、 依题意：令 ，则，2、 将代入上式得：，3、 因为在上，是减函数，所以当时，取最小值。4、 此时，所以，由解得，5、 ，由得。【例题78】 已知双曲线，为曲线的右焦点，点，为轴正半轴上的动点，则的最大值为（）。A B C D 【解答】由1、 在直角三角形和中，利用正切的两角差公式得到的正切表达式，2、 再基于正切函数在是增函数的性质，得到正切的最大值，再写出反正切即可。【例题79】 已知抛物线和点，为抛物线上的点，则满足的点有（）个。A B C D 【解答】由1、 基于对称性和抛物线上的特殊点、即得结论C正确。2、 也可以将与联立，消掉得关于方程，可得到三个解，即三个交点。【例题80】 已知以为直径的半圆，圆心为，为半圆上任意一点，在线段上，则有的最小值是（）。A B C D 【解答】由1、 依题意，显然与共线反向，又，设2、 于是，（），当时，有最小值。【例题81】 已知在数列、中，且当时，其中表示不超过实数的最大整数，则_。【解答】令1、 当时，2、 当时，3、 当时，4、 当时，5、 于是以为周期。6、 因为，所以【例题82】 已知等比数列的前项积为，当时，若且，则_。【解答】应用主元法，将视为一个整体处理。1、 令，可得，2、【例题83】 若向量，其中，记函数且函数的图像与直线（为常数）相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列。（）求的表达式及的值。（）将的图像向左平移得到的图像，如果当时，图像与的交点横坐标成等比数列，求钝角的值。【解答】由1、 将向量带入函数表达式得：，进一步化简得：。依题意，切点是函数的极大值点（波峰点），所以，且的周期