通信09_线性系统鲁棒故障检测滤波器.doc

本科毕业设计(论文)题目线性系统鲁棒故障检测滤波器的设计学生姓名： 张 强 专 业： 通信工程 指导教师： 周 磊 完成日期： 2013年5月31日 诚 信 承 诺 书本人承诺：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签 名： 日 期： 本论文使用授权说明本人完全了解南通大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容。(保密的论文在解密后应遵守此规定)学生签名： 指导教师签名： 日期： 摘 要几十年来，鲁棒故障诊断已经成为故障诊断领域中重要的研究方向之一。在考虑分析近年来国内外各领域中故障诊断技术的发展和问题处理的基础上，对于在模型匹配的LTI系统故障检测的鲁棒性问题上，选择LMI(线性矩阵不等式)的方法来进行鲁棒故障诊断的研究计算，并应用于不确定线性时不变系统、时滞、等效变换等系统的故障检测中。在LMI方法的基础上，针对系统的不确定因素，使用线性矩阵不等式的方法来设计最优的鲁棒故障诊断观测器，并从中得出残差产生器，然后通过残差评价公式计算出残差评价值，最后将残差评价值与设计的阈值进行比较来判断控制系统是否有故障发生。通常在故障诊断过程中，H范数用来表征残差在外界信号干扰下的鲁棒性，而H-则用于表征故障发生时检测的灵敏度。通过对残差误差的计算和分析，将多个方面的数值统一转换为H范数，从而将故障诊断的设计问题转变为对H范数的优化问题。本文考虑了具有未知输入和建模误差的不确定LTI系统基于观测器的RFDF设计问题。假设没有建模误差，通过利用最优的残差产生器作为鲁棒故障检测滤波器的参考残差模型，在此基础上，将鲁棒故障诊断滤波器设计转化为H模型匹配问题。同时，通过使用H优化的研究结果，基于线性矩阵不等式(LMI)方法得到了优化问题的解决方案。本文主要结果包括：建立了最佳参考残差模型；设计了鲁棒故障检测滤波器；建立了鲁棒故障诊断滤波器存在的充分条件及其基于LMI参数求解方法；用于故障诊断的自适应阈值计算方法。最后通过具体的数字例子说明所提出方法的有效性。关键词：故障诊断滤波器，鲁棒性，线性矩阵不等式，H优化，模型匹配ABSTRACT The field of fault diagnosis for control systems has become an important topic of research in the control community over the last few decades. Recently, special attention has been paid to the problem of robustness of fault diagnosis methods based on analytical model for uncertain systems. According to the analysis of current developments and problems on fault diagnosis technologies, this thesis investigates the problem of robust fault diagnosis for uncertain systems based on a linear matrix inequality approach. The main work of this method is to construct an optimal fault detection observer to acquire a residual generator, and then the evaluation value of the residual is calculated by an evaluation function. The observer gain can be obtained by solving a convex minimization problem with a set of linear matrix inequality constrains. Through comparing the residual evaluation value with a threshold, it is easy to judge whether there is a fault in the control system. In fault detection field, used H norm to describe the robustness of the residual against unknown uncertainties an disturbances, and the H- index described the best sensitivity of the residual to the fault. The main contributions consisted of the formulation of the multi-objective optimization FD problem as a H norm optimization problem by using the residual error instead of residual. The robust fault detection filter design problem in uncertain linear time-invariant systems with both unknown inputs and modeling errors is studied. Assuming no modeling error and using an optimal residual generator on the basis of the modeling error LTI system, the robust fault detection filter design problem is formulated as a H model-matching problem. Meanwhile, by using the H optimization results, an optimized solution to the problem is obtained by the linear matrix inequality (LMI) method. The main results of this paper include: the development of an optimal reference residual model; robust fault detection filter design problem formulation; the derivation of a sufficient condition for the existence of a robust fault detection filer and a construction of it based on the LMI solution parameters; the determination of adaptive threshold for fault Diagnosis. An illustrative design example is used to demonstrate the effectiveness of the method.Keywords: Fault detection filter, Robustness, Linear matrix inequality (LMI), Model matching目 录摘 要IABSTRACTII目 录IV第一章 绪 论11.1本课题研究的意义11.2研究领域现状11.3发展趋势21.4主要工作3第二章 基于LMI的鲁棒故障诊断的理论基础42.1 线性矩阵不等式(LMI)42.1.1 线性矩阵不等式的定义42.1.2 定义线性矩阵不等式的目的42.1.3 线性矩阵不等式的优点52.2 鲁棒故障诊断52.2.1 故障诊断的基本概念52.2.2 故障诊断的任务62.2.3 故障的鲁棒性和自适应性62.3 本章小结7第三章 MATLAB的LMI工具箱基本知识应用83.1 线性矩阵不等式(LMI)问题与求解83.2 LMI工具箱的相关函数使用语法103.3本章小结11第四章 基于LMI方法的不确定LTI系统故障检测124.1 介绍124.2 问题描述124.2.1 残差信号的生成134.2.2 残差估计154.3 设计方案154.4 鲁棒故障检测滤波器的综合174.4.1参考模型174.4.2 RFDF设计的解决方案184.4.3自适应阀值的设计204.5 本章小结21第五章 系统的实现与测试225.1 数值算例225.2 本章小结24结束语25参考文献26致 谢27附 录28第一章 绪 论1.1本课题研究的意义随着人们认识世界的深入，改造世界的拓展，生产和科技水平的不断进步，出现了许多大型的、复杂的系统，其自动化程度也越来越高。这些系统的规模大，造价昂贵，一旦出现故障，其后果往往是灾难性的，因为系统的任何一个故障都可能导致连锁反应，就像蝴蝶效应一般，由于蝴蝶翅膀的振动，最终引发一场海啸。所以，往往要求这类系统要具有极高的安全性和可靠性。然而故障检测与诊断技术则为提高系统的安全性、可靠性、可维护性和有效性开辟了一条新的途径。故障诊断技术作为提高系统的安全性、可靠性的重要手段之一，日益引起了人们的重视，成为控制理论继综合技术和分析之后的又一个主要内容。国内外每年都有大量的文献报道这方面的研究，并且已经取得了许多有价值的成果。近年来，随着鲁棒控制理论的日益成熟5，鲁棒故障诊断理论也在飞速的发展着，但与鲁棒控制不同的是，鲁棒故障诊断不但要求产生的残差对外部的扰动和不确定性有鲁棒性，还要求其满足残差对于故障有灵敏性，这就要求在设计时，其性能指标要同时满足灵敏性和鲁棒性，因此也产生了许多不同的混合方法。通过三十多年来的不断发展，鲁棒故障诊断技术已经得到了广泛深入的研究，已经提出了众多可行之法。故障诊断技术已经在人造卫星、航天飞机、家用电器、无人飞机自动驾驶、大型的电网系统、汽车、船舶发动、输油输气管线、冶金设备、机械控制机床等各个领域得到了广泛的应用，并从中取得了丰富的研究成果，创造了非常可观的经济效益1。1.2研究领域现状由于系统问题的复杂性，故障诊断技术是一门涉及自动控制理论、计算机科学、数理统计、信号处理、优化理论、人工智能等多学科的新型的边缘学科，仍然存在许多有待进一步研究的问题。当今的自动控制技术都是基于反馈的概念。反馈理论主要包括测量、比较和执行三个部分。测量的变量与期望值相比较，用得出的误差纠正调节控制系统的响应。早期，鲁棒控制主要研究的是单变量系统(SISO)在微小摄动下的不确定性，具有代表性的是Zames提出的微分灵敏度分析。然而，在实际的运行过程中系统中参数的变化是由故障导致的，由此产生的变化是有界的摄动。所以，就出现了新的现代鲁棒控制6。在对物理系统进行仿真或控制系统设计时，物理系统的数学模型是必不可少的。所谓的自然科学，实际上就是分门别类地研究各种物理、化学等现象并使用各种形式的模型来描述和再现这些现象的学问。工程学中通常使用的模型是以微分方程、差分方程或者同级数据形式表达的模型。可以说，现代控制系统的设计基本上都是基于实际控制对象数学模型的。然而，用数学模型不可能做到完美的描述实际物理系统的物理现象。即使能做到，也只会使模型更加复杂，从而难以抓住主要矛盾。工程实践尤其如此。因为大多数工程系统不是与外界隔绝的，它们不断受到来自周围环境的影响。这些外界影响很难用模型准确的描述。这就是说，实际系统与其数学模型之间存在着差距。这个差距叫做模型不确定性。，鲁棒控制的目就是，提炼出模型不确定性的特征性质，并把有关模型不确定性的信息充分运用到控制系统的设计中，以求最大限度的提高实际控制系统的性能。经过多年的研究，鲁棒控制理论已经比较成熟，在时域和频域方面都取得了令人瞩目的成就，其代表性的研究方法有多项式代数方法，H控制理论，理论方法及基于状态空间的时域法等。而对于鲁棒故障检测滤波器的设计，则存在多种研究方法，例如：基于LMI的、基于多目标约束的、基于观测器的、关于一类时滞系统等效变换的、一类切换线性系统的、还有卡尔曼滤波的等等。1.3发展趋势故障诊断技术发展几十年来，在工业领域得到了广泛的应用。故障诊断技术是在60年代发展高性能的飞机和保证航天系统的安全可靠性而发展起来的，以后逐渐的推广到了核能设施、动力设施和其他的一些大型的成套设备中。随着从事故障诊断研究的人不断的增多，研究的手段和方法也日新月异，诊断的方法也从感官判断发展到利用各种自动测试技术、信息处理技术、图像分析技术和监控技术。目前，非线性系统的故障诊断技术的研究正成为许多人关心的重要研究课题，特别是控制理论、信号处理、人工智能、模式识别等学科的不断发展，为其提供了丰富的理论基础。机电系统的故障诊断中需要进一步解决的问题主要有以下几个方面：（1） 鲁棒故障检测：在基于解析模型的故障诊断方法中，鲁棒性残差的产生是尤其重要的，因为在机电系统的故障检测中，存在干扰、噪声和模型误差等不利因素。因此，为了减少故障诊断单元的误报率，鲁棒性是必须考虑的问题，使得设计出的机电系统的故障诊断算法是只对系统存在的传感器和执行器故障或机电系统中其他零件的故障灵敏，而对于模型的不精确和误差，以及系统的噪声和干扰不敏感的鲁棒性观测器。基于未知观测器的故障诊断方法已经成为当前研究的重要方向之一。（2） 非线性系统的故障检测：用于非线性故障诊断的自适应非线性观测器的方法和用于状态与参数联合估计的强跟踪滤波器方法是其重点的研究方向。（3） 时滞系统的故障诊断：时滞系统在工业生产过程中是广泛存在的，对于研究这类问题，对于其提高安全可靠性具有非常重要的意义和价值。但由于系统中存在时间的滞后，使得这类系统的故障诊断非常不易。目前关于时滞系统诊断的成果非常的少，很多的问题还有待进一步的研究。（4） 系统控制中的故障诊断：目前对于复杂系统有许多新兴的控制方法，比如模糊控制、专家控制、分布式控制、神经网络控制等，因此对于这一方面的故障诊断研究也是很具潜力的。这种研究的主要思想是利用鲁棒控制器使得系统受到模型不确定性和未知扰动的影响降低，从而使得残差阀值能够相应的下降，实现更早的检测和更迅速的诊断。1.4主要工作第一章为绪论，主要介绍鲁棒控制和故障检测的发展背景和意义、研究现状以及发展趋势。第二章为理论知识，主要了解鲁棒故障检测中基于LMI的设计相关的理论基础。着重给出了线性矩阵不等式及相关知识、鲁棒故障诊断。第三章为MATLAB中LMI工具的介绍，还包括一些主要相关函数的使用。第四章是基于LMI方法设计的不确定LTI系统的故障检测滤波器，主要讲述初始问题的公式化、残差的产生和评价、设计方案、模型匹配等。第五章为算例的仿真设计，对理论的有效性进行验证。 第二章 基于LMI的鲁棒故障诊断的理论基础2.1 线性矩阵不等式(LMI)2.1.1 线性矩阵不等式的定义线性矩阵不等式的表达式如下 (2-1)其中：是n个实数向量称为决策变量；是实对称矩阵，即。式(2-1)中不等式小于零的意思是负定的，即，u为非零实向量。因为实对称矩阵的所有特征值均为实数。式(2-1)等价于所有的特征值均是负的。也就是说，最大特征值。LMI的求解问题就是要找到一组决策变量使得(2-1)成立。若式(2-2)成立 (2-2)则称之为非严格LMI。定义2.1.1：线性矩阵不等式是一个如下所示的不等式 (2-3)其中，F是一个仿射函数的有限维向量空间的映射到H或S上。2.1.2 定义线性矩阵不等式的目的线性矩阵不等式(2-3)定义了x上的一个凸约束，即线性矩阵不等式的解是凸集。事实上，如果，那么 其中，F是仿射集且不等式满足。 虽然凸约束看起来比较特殊，但是可以证明凸集可用这种表达方式。这些集合具有比一般凸集更多的性质。比如其中一个就是Schur补性质： 给定对称矩阵：其中，则以下三个条件是等价的：（1） ；（2） ，；（3） ，。2.1.3 线性矩阵不等式的优点控制论中，识别信号处理的许多优化问题可用线性矩阵不等式表示。显然，如果这些不等式可用高效可靠的方式来求解，那么唯一的问题在于求解线性矩阵不等式集。由于线性矩阵不等式定义了一个凸约束变量x，所以小勇函数f的最优化问题包含最小化(或者最大化)问题。且属于凸优化问题。由上面说的，构造这些线性矩阵不等式可以显示出：如果性能函数f是凸的，那么优化理论的优势是可行的。2.2 鲁棒故障诊断2.2.1 故障诊断的基本概念所谓的故障诊断，广义上通常作为故障检测、分离和辨识的通称；狭义上特指故障分离和故障辨识。故障检测是指使用某种方法，确定系统是否发生故障。故障检测根据被诊断对象的性质，可以采用不同的故障检测方法。对于同一个故障采用不同的方法，诊断效果往往很不一样，这就需要根据一定的性能指标对不同的方法进行评价。故障分离是指在故障检测之后，确定故障的种类和故障发生的部位。在有些实际应用中，故障被检测到后，就可以满足实际要求，维修人员经过复查后就可以对元器件的故障进行维修或直接更换元器件。但在有些自动化程度要求较高的系统中，只检测出系统的故障往往是不够的，还需要进一步确定是哪个部位发生了故障，以便在线的故障容错系统对其进行补偿或者维修人员可以准确地找到发生故障的元部件。相对于故障检测来讲，故障分离具有更大的难度，因为各种不同的故障都可以引起残差度量值超出阈值，要区分开始哪一个故障引起的，往往需要更多的工作。故障辨识是指在故障分离后，确定故障的大小以及故障发生的时间、位置和故障性质，并对故障加以评价等。故障辨识是故障诊断中最难和最复杂的一个问题，一般在故障检测和分离后，主要完成故障的幅值大小等的确定和识别。对于一些可参数化的故障，其故障幅值大小的识别可以用一些滤波方法和估计方法加以确定。残差是指故障检测单元对系统被监测量的预测值和系统的实际输出值之间的差值。监测残差是故障检测的主要方法之一，采用一定的残差度量指标(如残差信号的范数)，并设立相应的阈值，就可以进行故障检测。当系统中没有故障发生时，它的变化主要反映了系统外界干扰、模型不确定性对系统输出的影响，此时残差的度量输出值小于设定的阈值；当想发生故障时，系统的实际输出发生明显变化，而故障检测单元预测输出仍然为无故障时的输出，残差会有明显的变化，残差的度量输出值会大于无故障是的情形，当其值大于阈值时，认为系统发生了故障。2.2.2 故障诊断的任务当系统故障发生时，故障诊断的主要任务是找出故障的特性，并利用它进行故障检测、预报、分离、辨识，进而实现故障决策。其任务包括以下几个部分：（1） 故障特征的提取：通过测量数据和一定的数据处理技术获取反映系统故障的特征描述的过程。故障提取的主要方法有直接的观测和测量；状态参数的估计或滤波重构；对测量的值进行数据处理。（2） 故障建模：按照先验信息和输入输出关系，建立系统故障的数学模型，并作为故障诊断的依据。同时它也包括故障树、有向图、定性推理等故障检测与诊断方法中非数学模型的建立。（3） 故障检测：从可测或不可测的估计变量中，判断运行的系统是否发生故障，一旦发生意外变化，应及时的发出警报。（4） 故障分离和辨识：如果系统发生故障，给出故障发生位置，区别出发生原因，并在弄清故障性质的同时，计算故障的程度、大小及时间等参数。（5） 故障评价与决策：判断故障的严重程度，以及故障对系统的影响和发展的趋势，针对不同的情况采用不同的安全措施，其中还包括保护系统的启动。2.2.3 故障的鲁棒性和自适应性鲁棒性：在噪声、扰动、建模误差等干扰的情况下，故障诊断系统能够正确的完成故障诊断任务，同时保持一定程度的误报和漏报，保持对故障的始终敏感。故障诊断系统的鲁棒性越强，说明它受噪声、扰动、建模误差的影响就越小，其可靠性也就越高。自适应性：指故障诊断系统对于变化的被诊断对象所具有的自适应能力，并且能够充分利用由变化产生的新信息来改善自身，如设计相应的故障诊断系统、时变的故障检测阈值等。对时变系统，保证良好的适应性是非常重要的。只有有了适应性，才可以保证系统的故障检测的“精、准、快”指标，才可以对故障进行可行的分离和辨识。2.3 本章小结本章主要介绍线性矩阵不等式相关概念知识，并从中说明定义的目的和线性矩阵不等式的相关优点和有关性质，加深对线性矩阵不等式的认识和了解。同时也讲述了鲁棒故障诊断的概念、任务、性能指标以及其鲁棒性和自适应性。由此来认识基于LMI方法的鲁棒故障诊断。第三章 MATLAB的LMI工具箱基本知识应用3.1 线性矩阵不等式(LMI)问题与求解MATLAB的LMI工具箱提供了三类标准问题的求解器。假定F，G，H是对称的矩阵仿射函数，c是一个给定的常熟向量。（1） 可执行问题(LMIP)：给定LMI ，检验是否存在x使得成立。如果存在这样的x，则称该LMI可行，否则该LMI不可行。（2） 特征值问题(EVP)：在一个LMI约束下，求解矩阵的最大特征值的最小化问题或确定问题是否有解。它的一般形式为 这个问题也可以转化为如下的一个等价问题： 这是LMI工具箱特征值问题求解器所处理问题的标准形式。（3） 广义特征值问题(GEVP)：在一个LMI约束下，求两个仿射矩阵函数的最大广义特征值的最小化问题。给定矩阵G和F，对标量，如果存在非零向量y，使得，则为矩阵G和F的广义特征值。很显然，当F=I时，广义特征值退化为普通的矩阵特征值问题。如果矩阵F是正定的，对充分大的标量一定有。随着的减小，在摸个适当的值，将变得奇异。因此存在非零向量y使得。这样的一个就是矩阵G和H的广义特征值。因此，矩阵G和F的最大广义特征值可以通过求解以下的优化问题得到：当矩阵G和F是x的一个仿射函数时，在LMI约束下，求矩阵函数和的最大广义特征值的最小化问题的一般形式为：基于内点法提供的与上述相对应的三类标准线性矩阵不等式问题求解函数：feasp，mincx，gevp 9。每个求解器针对不同的问题：feasp：解决可行性问题，例如：A(x)B(x)。mincx：在线性矩阵不等式的限制下解决最小化问题，例如最小化cx，在限制条件A(x)B(x)下。gevp：解决广义特征值最小化问题。例如：最小化lambda，在0B(x),A(x)lamba*B(x)限制条件下。要解决一个LMI问题，首要的就是要把线性矩阵不等式表示出来。对于以下类型的任意的LMI问题N*L(X1,.,XK)*NM*R(X1,.,XK)*M其中X1,.,XK是结构已经事先确定的矩阵变量。左侧和右侧的外部因子N和M是给定的同维数矩阵。左侧和右侧的内部因子L和R是具有相同结构的对称块矩阵。每一个块由X1,.,XK以及它们的转置组合而成形成的。解决LMI问题的步骤有两个：1、定义维数以及每一个矩阵的结构，也就是定义X1,.,XK。2、描述每一个LMI的每一项内容，此处介绍两个术语：矩阵变量：例如你要求解X满足A(x)B(x)，那么X就叫做矩阵变量。项：项是常量或者变量。常项是确定的矩阵。可变项是哪些含有矩阵变量的项，例如：X*A,X*C。如果是X*A+X*C，那么记得要把它当成两项来处理。此外，该工具箱还可用于以下几个方面。（1） 多目标控制器综合，包括LQG综合，H综合和极点配置综合。（2） 系统鲁棒性的分析测试，包括检测时不变线性系统的二次稳定性，带有参数的Lyapunov稳定性，混合的分析以及带有非线性成分的Popov准则。（3） 系统的辨识、滤波、结构设计、图形理论、线性代数以及加权值等问题，LMI工具箱还提供了两个交互的图形用户界面9。3.2 LMI工具箱的相关函数使用语法需要特别注意的是，Matlab中LMI工具并不在鲁棒控制工具箱boxrobust中，而是在专门的工具箱boxlmi中12。其中主要有几个重要的函数。(1)setlmis(lmisys0)：初始化新的LMI系统。方法：键入setlmis( )。(2)X=lmivar(type,struct)：增加新的矩阵变量x到当前的LMI系统中。type=1:定义块对角的对称矩阵。每一个对角块或者是全矩阵，标量，或者是零阵。如果X有R个对角块，那么后面这个struct就应该是一个Rx2阶的的矩阵，在此矩阵中，struct(r,1)表示第r个块的大小，struct(r,2)表示第r个块的类型0(0)来表示其正(负)定性。同样，M0(0)表示其半正(负)半定。所有的矩阵，如果不特别说明，都认为其维数是相容的。I表示适当维数的单位矩阵；对于一个向量函数，我们定义为：。传递函数G(s)的H范数为，也可以定义，这里和分别表示的最大和最小奇异值。 本文考虑如下线性时不变系统(LTI)的鲁棒故障检测(RFDF)问题： ， (4-1)， (4-2)其中，是状态向量，是控制输入向量，测量输出向量，是未知的输入向量(包括干扰，无关故障以及一些模有界的非结构模型的不确定性)，是被检测和分离的故障。A、B、C、D，是已知的具有适当维数的矩阵。不失一般性，假设是常模有界。是由下是给出的建模误差，其中是已知矩阵，且。引入如下的记号： 。本文中假设如下条件成立：(A1) 是渐近稳定的， (A2) (C,A)是可检测的，(A3) 对所有的行满秩。4.2.1 残差信号的生成 一般而言，一个故障检测系统包括两个部分：一个残差产生器和一个由阀值与决策逻辑单元组成的残差估计器。为了生成残差信号，我们考虑如下形式的故障检测滤波器： ， (4-3) ， (4-4) ， (4-5)其中，和分别表示状态和输出估计向量，r是残差信号。RFDF的设计参数为观测器增益矩阵H和残差加权矩阵V。为了描述RFDF (4-3)-(4-5)的动态系统，我们首先考虑和r。其动态方程可以表示为： (4-6) (4-7)需要注意的是，关于残差信号的动力系统的观测器不但依赖f，d和u，同时也依赖于状态x。因此，设计基于观测器的RFDF是本文的主要任务之一，具体来说，可以被描述为设计矩阵H，V使得：l 是渐近稳定的，l 所生成的残差信号r对故障f尽可能灵敏，同时对于未知输入d、控制输入u和模型不确定性具有尽可能大的鲁棒性。 目前有很多实现在FDI鲁棒性的方法。其中之一是引入一个参考模型，然后将残差发生器的设计表示为一个标准的模型匹配问题。另一个被广泛采用的方法是通过引入性能指标将FDF设计问题转化为下面的优化问题的其中一个:， ， ， ， (4-8)其中，和分别是从、到的传递函数矩阵。表示的第个非零奇异值。在(4-8)中性能指数的计算公式式表明考虑了传递函数矩阵全频域的所有非零奇异值。然而，需要说明的是，大多数现有的关于第二方案的方法只适用于带有未知输入的LTI系统，而用推广此方法来处理具有建模误差的不确定系统却是困难的。一般来说，不存在这样的解决方案(H，V)的性能指标J在(4-8)中对所有的，是最小的。与此不同，由于是标准的模型匹配问题的表达，因此，通过利用优化工具，如LMI技术，前一方案也可用于处理不确定系统。于是，我们提出使用参考残差模型来描述残余信号r所期望的动力学行为：，其中，。RFDF设计的最优准则是生成的残差信号与理想参考残差信号误差的最坏情形，而设计的故障检测滤波器在范数意义下给出的最坏情况下的距离的最小值具有鲁棒性。于是，RFDF(4-3)(4-5)的设计被转换为模型匹配问题，即，寻求合适的H和V，使得A-HC是渐近稳定的且最小化以下的性能指标： (4-9)其中，。4.2.2 残差估计FDF的设计之后，剩下的FDI重要任务是残差估计。一个广泛采用的方法是选择阀值，在此基础上，使用下面的逻辑关系对故障进行检测：， (4-10) ， (4-11)其中，残差估计函数是由下式确定：， (4-12)其中，是有限时间窗口，注意时间窗口长度是有限的(即，是有限的T而不是)。既然在整个时间范围内对残差信号的估计是不现实的，所以我们期望故障能尽可能早的被检测出来。4.3 设计方案基于性能指标(4-9)的RFDF设计方法在很多文献中已有论述。很明显，从FDI观点上来看，此方法的主要困难在于选择一个合适的具有重要物理意义的参考模型。选择不当参考模型(一个具有不切实际性能属性的参考模型)会导致FDF中的残差发生器具有较差的鲁棒性。在大多数的早期的工作中，参考残差模型通常是如下的形式： (4-13)通常可以假设传递函数为满秩向量、对角线或单位矩阵。这样表示的解释是参考残差信号只对故障敏感而与u和d是解耦的。然而，在许多没有建模误差情况下，产生的残差信号没有完全从未知输入d中解耦。因此，对于未知输入耦合情况下，形如(4-13)的参考残差模型是不可能实现的。因此，我们结合前面所提到的两个方案给出我们的设计方案。它包括两个步骤：1. 假设，设计系统(4-1)-(4-2)的一个最佳FDF设计，其目的在于寻求最大的故障检测率和最小的误警率之间的最佳折中方案。2. 将步骤1中的最佳FDF作为参考模型，通过使用LMI技术求解标准H模型匹配问题，设计系统(4-1)-(4-2)的RFDF(也都考虑在内)，。该设计方案的基本想法是参考模型对应于一个理想的解决方案，从而可以确保在系统模型是完全已知 (即没有建模错误， )时，最大故障检测率和最小误报率之间的最佳折中。因此，一个RFDF的设计目标是找到寻求一个FDF使得参考模型(理想的解决方案)和待设计的FDF(实际解决方案)之间的误差达到最小。根据假设(A1)-(A3)，第一步骤是确定通过设计标称FDF的最优化方法来确定参考残差模型。不失一般性，我们假设设计的标称的最佳故障检测滤波器()为： (4-14) (4-15)因此，整个系统可以描述为 (4-16) (4-17) 其中，在第二步中，我们通过选择H和V来设计形如(4-3)-(4-5)的稳定的RFDF，以使得所产生的残差r信号在H规范意义下尽可能靠近跟踪参考残差信号。换句话说，我们的目标是确定观测器增益矩阵H和权重矩阵V，使得1. 系统(4-16)-(4-17)是渐近稳定的2.被变小。需要指出的是，参考残差模型的选择是标称FDF设计情形下()的最佳残差发生器，一般来说，它不是具有不确定性系统的最佳设计。RFDF设计的主要思想是最小化未知输入的影响和残差控制信号的同时保持在残差中的故障灵敏度。本文所使用的关于RFDF设计的优化准则对是残差信号r和理想残差信号间最差情况下的距离，其中由具有非零的参考模型所定义。4.4 鲁棒故障检测滤波器的综合本节将考虑以下三个问题：（a） 确定基准残差模型；（b） RFDF设计的解决方案；（c） 自适应阀值的设计。4.4.1参考模型考虑到LTI系统(4-1)-(4-2)和基于观测器FDF的设计(4-3)-(4-5)。在和的情况下，通过基于观测器FDF求解最小化问题(4-8)，已经得到了一个优化的设计方法。在此基础上，我们给出如下标称情况下最佳FDF设计问题的优化问题：，其中， (4-18)假设 (A1)-(A3)成立，最优的FDF问题的解决可由下面的定理中得到。定理1：对于给定的系统(4-1)-(4-2)且，假设 (A1)-(A3) 成立，那么 (4-19) ， (4-20)是优化问题(4-18)的解，其中是如下黎卡提代数方程的解： 利用定理1，我们得到了在没有建模误差情形下的LTI系统的最佳FDF(故障检测滤波器)问题的解，它可以作为RFDF设计的参考残差模型。推论1：由(4-19)-(4-20) 给定的和为LTI系统(4-1)-(4-2) 解决了最佳故障检测滤波器的设计问题，且。相应的参考残差模型有下式给出：， (4-21)， (4-22)4.4.2 RFDF设计的解决方案下面考虑鲁棒故障检测滤波器 (RFDF)问题的模型匹配设计方法，并通过LMI来进行求解。首先，基于有界实引理可得如下的结果。引理1：考虑不确定LTI系统：，。给定，如果存在标量和矩阵，使得 LMI (4-23)可解，则对任何，系统是渐近稳定的，且满足性能指标。利用引理1，我们可以得到如下的RFDF设计方法：1、 对于足够大的，找到适当的观测器增益矩阵H和加权矩阵V，使得系统(4-16)-(4-17)是渐近稳定的，且满足性能 (4-24)2、计算H和V使得 是(4-24)可行的下界。 对于给定的，满足性能(4-24)的充分条件可以通过应用引理1来获得。由于这个定理可以由系统(4-16)-(4-17)很容易的得到，其证明省略。 定理2：给定，如果存在标量和矩阵，使得下面的LMI有解： (4-25) 则系统(4-16)-(4-17)是渐近稳定的，并且满足性能指标(4-24)。此外，观测器增益矩阵可由下式给出： (4-26)其中 注2：对于给定的，定理2不仅建立了LTI系统(4-1)-(4-2)来保证满足H性能(4-24)的充分条件，同时，它也给出了确定观测器增益矩阵H和加权矩阵V的有效方法，可以通过使用Matlab LMI工具箱进行高效地求解。但是，为了保证使得(4-24)可行的RFDF具有尽可能小的，可能需要重复应用定理2。4.4.3自适应阀值的设计 考虑如下设计的残差生成系统 ， (4-28) (4-29) (4-30) 通过(4-12)选择作为残差评价函数，我们有 其中和定义如下： 此外，无故障情况下，残差评价函数是，其中，.我们选择阀值为，其中，是常数，可以离线估计，而u是假定为已知的，可以通过如下方法进行在线估计： ，其中，可以通过使用定理1来确定。此外，在的假设下，我们可以进一步得到。因此，阀值可以通过下式确定： ， (4-31)注意到上式所定义的阀值由两部分组成：不变部分和，它取决于系统输入u和扰动d，可通过在线计算。因此，改变系统输入u意味着需要确定新的阀值。在这个意义上说，我们称阀值是自适应的。4.5 本章小结本章给出了鲁棒故障检测问题的数学描述，对残差信号的生成、残差信号的估计、鲁棒故障检测滤波器的设计、鲁棒故障检测滤波器的综合及其三个主要问题的