全国高中数学联赛贵州省初赛试题及答案.pdf

20132013 全国高中数学联赛贵州省初赛试题全国高中数学联赛贵州省初赛试题 本卷考试时间 150分钟满分 150分 一 填空题 本大题共10小题 每小题8分 共80分 1 已知集合 23 loglog axxx 2 bx xaxax 且ab 则实数a的取值范围 解 集合 01 axx 且满足ab 则知 1 bx ax 故0a 2 已知o 是abc 的外接圆 8ac 6ab 则ao bc 解 ao bcao acab ao acao ab cos cos acaoao acabaoao ab 11 22 acacabab 22 1 14 2 acab 3 如图 在abc 中 已知点d在bc边上 adac 2 2 sin 3 bac 3 2ab 3ad 则bd的长等于 解 因为 2 2 sin 3 bac 且adac 所以 2 2 sin 23 bad 所以 2 2 cos 3 bad 在abc 中 由余弦定理得 22 2cos3bdabadab adbad 4 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为 解 设球半径为r 其内接圆锥的底半径为r 高为h 作轴截面 则 2 2 rhrh 22233 1484 2 42 33663273 vr hhrhhrhr 锥 所求比为8 27 5 已知等差数列 n a的前n项和为 n s 已知 10 0s 15 25s 则 n ns的最小值为 r h 解 由 10 0s 15 25s 得 1 3a 2 3 d 2 110 33 n snn 则 32 110 33 n nsnn 令 32 110 33 f nnn nn 则 2 20 3 fnnn 由 0fn 得0n 或 20 3 n 所以 f n在 1 6 上递增 7 上递减 而 6 48f 7 49f 故最小值为49 6 定义函数n 表示1 2 n 中与n互质的数的个数 称此函数为欧拉函数 则 2013 解 20133 11 61 由欧拉函数性质知 111 2013 2013 1 1 1 1200 31161 7 已知abc 是边长为 2013 正三角形 11 33 bdbc ceca adbep m是线段dc的中点 则pm 解 易证abd ace 所以60apebadabpbadcbe 又60ecd 所以p d c e四点共圆 所以dpcdec 连接de 由60ecd 及 1 2 cecd 得dece 所以cpdp 即dpc 是直角三角形 因为m是斜边dc的中点 所以 111 2013671 233 pmdcbc 8 设函数 2 2 2013 sin2013 2013 xx f x x 的最大值为m 最小值为m 则mm 解 2 22 2 20132013sin20132 2013sin2013 1 20132013 xxxxx f x xx 令 2 2 2013sin2013 2013 xx g x x g x 为奇函数 由奇函数的性质知 maxmin 0g xg x 2mm 9 已知 2 0 2 f xaxbxca b 0 xr f x 恒成立 则 1 0 1 f ff 的最小值是 解 由 0 xr f x 恒成立 得 2 40bac 又0a 所以 2 4 b c a 所以 1 0 1 fabcabc ffcabcba 2 4 b ab a ba 2 2 1 4 1 bb aa b a 令 b t a 则 1 0 1 f ff 2 1 1 4 1 tt t 2t 再令1st 则 1 0 1 f ff 2 139 424 ss s 93 442 s s 1s 9333 23 4 4242 s s 2 此时 9 44 s s 且1s 即3s 10 已知函数 32 31f xxx 2 2 1 1 0 2 3 1 0 xx g x xx 则方程 0g f xa a为正常数 的实根最多有 个 解 方程 0g f xa 的实根个数转化为函数 yg f x 与函数ya 的交点个数问题 当 0 1 a 时 函数ya 与 yg x 有两个交点 1 4x 和 2 2x 而此时方程 2f x 和 4f x 的实根分别有3个和1个 共4个 当1a 时 函数ya 与 yg x 有两个交点 1 3x 和 2 1 2 x 而此时方程 3f x 和 1 2 f x 的 实根分别有2个和3个 共5个 当 5 1 4 a 时 函数ya 与 yg x 有两个交点 1 1 0 2 x 和 2 1 1 2 x 而此时方程 1 f xx 和 2 f xx 的实根分别有3个和3个 共6个 当 5 4 a 时 函数ya 与 yg x 有一个交点 1 1 x 而此时方程 1 f xx 的实根有1个 综上 方程 0g f xa a为正常数 的实根最多有6个 二 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 本大题共4小题 共70分 11 本小题满分15分 已知数列 n a中 1 1a 且 11 2 nnnn aaaa 求数列 n a的通项公式 求证 12 2 n aaa 解 由 11 2 nnnn aaaa 得 1 12 1 nn aa 2分 1 11 1 2 1 nn aa 4分 所以数列 1 1 n a 是一个以2为首项 2为公比的等比数列 1 1 12 22 nn n a 即 1 21 n n a 7分 当1n 时 1 212 nn 成立 所以 1 1 111 2122 n nn 10分 21 12 111 1 222 n n aaa 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 n n 故 12 2 n aaa 15分 12 本小题满分15分 已知 1 a 2 a n a是n个正数 满足 12 1 n a aa 求证 12 2 2 2 3n n aaa 证明 2 ai 1 1 ai 3 3 ai i 1 2 n 5分 2 a1 2 a2 2 an 1 1 a1 1 1 a2 1 1 an 3 3 a1 3 3 a2 3 3 an 3n 3 a1a2 an 3n 15分 13 本小题满分20分 如图 已知抛物线c 2 4yx 过点 1 2 a作抛物线c的弦ap qa 若qapa 证明 直线qp过定点 并求出定点坐标 假设直线qp过点 5 2 t 请问是否存在以qp为底边的等腰三角形qap 若存在 求出 qap 的个数 若不存在请说明理由 解 设qp的直线方程为xmyn 点p q的坐标分别为p 11 x y q 22 xy 由 2 4 xmyn yx 得 2 440ymyn 2分 由0 得 2 0mn 12 4yym 12 4yyn 由qapa 得q0ap a 1212 1 1 2 2 0 xxyy 5分 又 2 1 1 4 y x 2 2 2 4 y x 则 1212 2 2 2 2 16 0yyyy 12 2 2 0yy 或 12 2 2 160yy 8分 21nm 或25nm 0 所以25nm 即直线qp的方程为5 2 xm y 直线qp过定点 5 2 10分 假设存在以qp为底边的等腰三角形qap 由于直线qp过定点 5 2 t 25nm 直线qp的方程为25xmym 设点p q的坐标分别为p 11 x y q 22 xy 由 2 25 4 xmym yx 得 2 48200ymym 13分 12 4yym 12 820yym qp的中点为 1212 22 xxyy 即 22 1212 82 yyyy 又 2 2 1212 2 225 8 yyy y mm qp的中点为 2 225 2 mmm 16分 由已知得 2 22 225 1 m m mm 即 32 310mmm 设 32 31g mmmm 则 2 3230g mmm g m 在r上是增函数 又 0 10g 1 40g g m 在 0 1 内有一个零点 即函数 g m在r上只有一个零点 所以方程 32 310mmm 在r上只有一个实根 故满足条件的等腰三角形有且只有一个 20分 14 本小题满分20分 求正整数 12 n k kk 和n 使得 12 54 n kkkn 且 12 111 1 n kkk 解 解 由0 1 2 i kin 则 2 12 12 111 n n kkkn kkk 所以 2 54nn 解得14n 5分 由式 等号成立条件知 当 1n或 4n时 所有的 1 2 i k in 均相等 1 当 1n时 1 1 k 即 1k 2 当 4n时 1234 16 kkkk 且 1234 1111 1 kkkk 解得 1234 4 kkkk 10分 3 当 2n时 12 6kk 且 12 11 1 kk 此二式相乘得 21 12 4 kk kk 则 2 1 k k 为无理数 矛盾 无解 15分 4 当 3n时 123 11 kkk 且 123