基于小波包信号降噪处理毕业设计.doc

装订线安徽工业大学 毕业设计（论文）说明书基于小波包信号降噪处理毕业设计目 录摘 要2Abstract3目 录4第1章 绪 论51.1 本课题的目的及意义61.2 本课题的现状和发展趋势71.3 基于MATLAB的小波变换的降噪原理71.4 小波变换的原理71.5 小波降噪原理81.6 本课题研究的主要内容81.7 本课题要研究或解决的问题8第2章 齿轮振动机理及其信号特征92.1 齿轮的力学模型分析92.2 齿轮振动调制信号112.3 本章小结14第3章 小波分析方法基本概念153.1 傅里叶变换和短时傅里叶变换153.2 小波变换理论163.3 小波包变换在信号消噪中的原理与算法183.3.1 小波包算法183.3.2 小波包消噪的原理203.4 如何选取最优小波包基213.5 实例分析及其比较213.6 本章小结22第4章 实验数据采集及使用进行去噪分析244.1 常用的去噪方法244.2 小波阈值的去噪原理254.3 阈值的选取264.4 小波包能量去噪算法274.5 振动分析方法的介绍324.6 实验系统的组成334.7 齿轮故障特征信号的小波包能量法分析34第5章 小波包信号降噪在信号处理的发展前景42参考文献43致 谢44 第1章 绪 论1.1 本课题的目的及意义作为齿轮箱动力传递的核心部件，齿轮在机械设备中的使用非常广泛，它的损伤和失效常常会导致传动系统或整机的故障，从而引发重大的安全事故。因此，齿轮作为齿轮箱状态监测与故障诊断的主要对象，越来越受到重视。在实际生产中，对齿轮的检测和故障诊断大多都建立在对振动信号分析研究的基础上，但实际采集到的齿轮箱的振动信号中掺杂了大量未知干扰，对齿轮振动信号的准确分析势必会产生严重的影响。基于此，才使用了小波包对信号进行去噪分析。现在小波分析已经渗透到了自然科学、应用科学等方面,小波分析已成为国际研究热点。无论是傅里叶分析还是小波分析均以线性变换为基础,按非线性傅立叶分析提出了非线性小波变换,这种非线性小波变换处理对处理非线性问题更为有效。小波变换能够把任何信号映射到一个由基本小波伸缩、平移而成的一组小波函数上去,实现信号在不同时刻、不同频带的合理分离而不丢失任何原始信息。这些功能为动态信号的非平稳描述、机械零件故障特征频率的分析、微弱信号的提取以实现早期故障诊断提供了高效、有力的工具。齿轮箱故障诊断技术是随着现代系统工程、信息论、控制论、电子技术、计算机技术、通信技术等发展而发展起来的。它是多种学科和技术交叉、渗透而形成的一门新兴综合性学科，它大致由几部分组成：首先，要确定信息来源。目前通常齿轮的状态是用振动、声音、声发射、红外线等载体携带的信息来表达的。 其次，诊断方式选择。齿轮故障的诊断方法从难易程度来说可以分为简易诊断方法和精密诊断方法。再次，选择信号处理方法。就目前而言，机械故障诊断技术仍然处在一个以传感器技术和动态测试技术为基础，以信号处理技术为手段的常规诊断技术发展阶段。这一阶段的诊断技术已在工程中获得了大量的应用，并取得了巨大的经济效益。从技术手段上看，现代诊断技术吸收了大量的现代科技成果，使得诊断技术可以利用振动、噪声、力、温度、电磁、光、射线等多种信号实施诊断，由此产生了针对机械故障的振动诊断技术、噪声诊断技术、光谱诊断技术、铁谱诊断技术、无损检测技术及红外和热成象诊断技术等。1.2 本课题的现状和发展趋势自从1822年傅里叶()提出非周期信号分解概念以来，傅里叶变换一直是信号处理领域中应用最广泛的分析手段和方法，傅里叶变换是一种纯频域的分析方法，在时域无任何定位性，即不能提供任何局部时间段上的频率信息。为了研究信号在局部时间范围的频域特征，1946年提出了著名的变换并进一步发展为短时傅里叶变换。其基本思想是给信号加一个小窗，信号的傅里叶变换主要集中在对小窗内的信号进行变换，可以反映出信号的局部特征。短时傅里叶变换已经在许多领域得到了广泛应用。但是由于窗函数选定后，时频窗窗口的大小和形状与时间和频率无关所以保持固定不变，不利于分析包含丰富频率成份的非平稳信号,而小波变换恰恰解决了这个问题。小波变换是80年代后期迅速发展起来的新兴学科，它是继傅里叶变换后的重大突破，克服了傅里叶变换和短时傅里叶变换的缺点，具有时域和频域局部化的特点，适合分析非平稳信号，可以由粗及精地逐步观察信号，适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并显示其成份，有“数学显微镜”的美称。近年来,通过我国科技人员的不断努力,已取得了可喜的进展,成功研制开发出小波变换信号分析仪,填补了国内空白,具有国际先进水平。在理论和应用研究基础上,提供了普遍适用于机械设备在线和离线非平稳检测诊断的技术和装置,取得了经济效益,得到了国家科技进步奖励。随着信号分析与数据处理技术的发展，特别是计算机技术的迅速发展，使各种诊断方法应运而生，形成了状态空间分析诊断、对比诊断、函数诊断、逻辑诊断、统计诊断和模糊诊断等方法。齿轮箱故障诊断技术与当代前沿科学的融合是齿轮箱故障诊断技术的发展方向。当前故障诊断技术的发展趋势是传感器的精密化、多维化，诊断理论、诊断模型的多元化，诊断技术的智能化，具体来说表现在如下方面：与最新的信号处理方法相融合；与非线性原理和方法的融合；与多元传感器信息的融合；与现代智能方法的融合。齿轮箱故障诊断技术正随着科学技术的发展变的越来越成熟，越来越完善。小波分析虽然在许多领域已经取得了一定的成果,但专家预言小波分析的真正高潮还没有到来。主要原因如下:(1) 小波理论尚不完善,除一维小波理论比较成熟以外,高维小波、向量小波的理论还远非人们所期待的那样,特别是各类小波,如正交小波、双正交小波及向量小波、二进小波、离散小波的构造和性质的研究。(2) 最优小波基的选择方法的研究。虽然国内外已有些最优基选区方法的研究,但缺乏系统的规范的最佳小波基选取方法,即针对不同的问题能最优的选择不同的小波基以实现最好的应用效果。我们知道不存在一种小波基能适应所有的情况,因此,小波基的优化选择始终是小波理论研究的重要内容。(3) 小波分析的应用范围虽然很广,但是真正取得极佳应用效果的领域并不多,人们正在挖掘有前景的应用领域。(4) 目前小波分析软件远不如有限差分方法、有限元方法、边界元方法等软件,作为商品的高水平小波分析软件基本没有。(5) 小波分析在数据图像压缩方面已取得很好的成绩,人们期待利用小波能够实现高压缩比、高重现度图像的压缩,并探索在图像的边缘检测、分类与描述中应用。所以小波信号去噪技术还有很长的一段发展路程要走。1.3 基于MATLAB的小波变换的降噪原理按小波变换的发展过程划分，大致可以划分三个阶段：第一阶段：孤立应用时间。主要特征是一些特殊构造的小波在某些科学研究领域的特定问题上的应用。这个时代最典型的代表成果是法国地球物理学家和第一个把“小波”用于分析处理地质数据，引进了以他们的名字命名的时间尺度小波，即小波。这个时期的另一个具有代表性的成果是1981年对在1910年所给出的（哈尔）系标准正交小波基的改进。同时，著名的计算机视觉专家在他的“零交叉”理论中使用的可按“尺寸大小”变化的滤波算子，现在称为“墨西哥帽”的小波也是这个时期有名的成果之一，这部分成果和后来成为的正交小波构造理论支柱之“多尺度分析”或“多分辨分析”有密切联系。这个时期一个有趣的现象是各个领域的专家、学者和工程师所从事的领域广泛分布于科学和技术研究的许多方面。因此，这个现象从另一个侧面预示了小波分析理论研究和应用热潮的到来，说明了小波理论产生的历史必然性。第二阶段：国家性研究热潮和统一构造时期。真正的小波热潮开始与1986年，当时法国数学家成功地构造出具有一定衰减性质的光滑函数，这个函数（算子）的二进尺度伸缩和二进整倍数平移产生的函数系构成著名的2-范数函数空间的标准正交基。这项成果标志“小波分析”新时代的到来。第三阶段：全面应用时期。从1992年开始，小波分析方法进入全面应用阶段。在前一阶段研究工作基础上，特别是数字信号和数字图像的分解和重构算法的确定，使小波分析的应用迅速波及科学研究和工程技术应用研究的几乎所有的领域。编辑部设在美国的大学的国际杂志Applied and Computation Harmonic Analysis从1993年创刊之日起就把小波分析的理论和应用研究作为其主要刊载内容，编辑部的三位主编与都在小波分析的研究和应用中有独到的贡献。时至今日，小波分析的应用范围还在不断扩大，许多科技期刊都刊载与小波分析有关的论文，各个学科领域的地区性和国际性学术会议都有设计小波分析的各种类型的论文、报告。同时，在国际互联网和其他有较大影响的网络上，与小波有关的书籍、论文、报告、软件、随时随地可以找到并免费下载，甚至颇有国际影响的软件公司在它的“科学研究和工程应用”软件中，特意把小波分析作为其“”的单独一个工具箱。1.4 小波变换的原理小波变换是一种信号的时间尺度（时间频率）分析方法，它具有多分辨分析的特点，在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但时间和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较低的时间分辨率和较高的频率分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于分析非平稳的信号和提取信号的局部特征，所以小波变换被誉为分析处理信号的显微镜。在处理分析信号时，小波变换具有对信号的自适应性。小波变换的应用是与小波变换的理论研究紧密地结合在一起的。如今，它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。现在，对于其随时间变化而稳定不变的信号的性质，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，所以特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。1.5 小波降噪原理在实际工程问题中，我们通过实验得到的原始信号总会混杂着一定的噪声，而噪声的存在严重地干扰了信号的本质特征，不利于进一步的信号处理和分析。因此，在对原始信号进行预处理时，对噪声加以消除或减小，以便最大程度的提取原始信号中的有用信息，是非常有必要的。本文主要考虑与信号无关的白噪声的去噪问题，信号经过去噪处理后，不但信噪比得到了提高，同时信号的一些细节特征也突现出来了。我们把去除信号中含有的噪声并恢复原始信号的过程称为信号去噪，在信号处理领域中，人们根据实际信号的特点和噪声的特征，基于统计估计原理，提出了各式各样的信号去噪方法。现有的一般去噪方法有基于变换的信号去噪方法，即低通滤波方法；基于信号的自相关去噪方法；基于小波变换的信号去噪方法等。其中，在解决实际问题中最常用的是滤波方法和基于小波变换的信号去噪方法。由上一章节的讨论我们知道小波变换是在傅里叶变换的基础上发展起来的，小波变换比傅里叶变换更为突出的优点是其具有时频局部分析功能。将小波变换的思想用到信号去噪中，即基于小波变换的信号去噪方法是本文所要研究的主要内容。1.6 本课题研究的主要内容随着世界科学技术的飞速发展，机械设备正向着大型化、高速化、高强度、自动化和高性能方向发展，但也潜伏着一些危机，一旦发生故障所造成的损害将十分严重，齿轮和齿轮箱的故障和失效给整个生产和社会造成的损失也越来越大。因此研究和探索齿轮及齿轮箱的故障机理，模式及诊断方法就显得十分重要和迫切。它对保证机械设备的安全可靠运行及获取巨大的经济效益、社会效益方面具有十分重大的意义。在齿轮箱设备故障诊断方面，人们已日益认识到小波分析的价值，许多学者作出了探索性的研究。小波分析在这些领域的应用一方面说明小波分析的优越性，同时也说明小波分析理论应用的深度和广度还远远不够，小波分析优越的时域和频域特性还没有完全体现出来。所以，在实际应用中提出更多更广的研究课题，进一步研究拓展小波分析理论在机械设备故障诊断领域的应用具有十分重要的理论和实践意义。1.7 本课题要研究或解决的问题本课题的主要内容有：（1）从齿轮的振动机理入手，研究齿轮运行时产生振动的原因、振动特点以及在齿轮振动信号中的各种频率成分和信号调制特点；（2）研究了小波变换的相关理论以及小波各种阈值去噪方法的特点，并对齿轮振动信号用计算机进行小波包信号去噪处理。（3）分析小波包去噪在实际应用中的影响和作用。 第2章 齿轮振动机理及其信号特征在齿轮箱的故障诊断中，关键是对齿轮的状态检测和故障诊断。齿轮箱工作时所产生的的振动信号含有齿轮加工、安装、运行及损伤状态等信息，所以齿轮故障诊断的关键是如何把齿轮故障的信息从原信号中分离出来。根据齿轮振动机理及相关的频谱分析方法来进行振动信号处理和特征提取，从而确定故障及其可能的原因，这是目前齿轮故障诊断中的一种比较有效的方法。2.1 齿轮的力学模型分析齿轮副在进行运动时两齿轮间需要不断地进行啮合，而在啮合的过程中，轮齿间的啮合刚度是在不断进行周期性变化的，同时轮齿在进行啮合时会产生微小的弹性形变。如图2.1所示的齿轮副的力学模型，其中齿轮具有一定的质量，轮齿可以看作是弹簧，所以如果以一对齿轮作为研究对象，则可将这对齿轮副看作一个振动系统， 图2.1 齿轮副力学模型其振动方程为式中_沿作用线上齿轮的相对位移； _齿轮啮合阻尼； _齿轮啮合刚度； _由于齿轮变形和误差及故障而造成的各齿轮在作用线方向上的相对位移； _齿轮副的弹性模量，计算公式如下 ,_主从动齿轮的质量；如果忽略齿轮面摩擦力的影响，则有 ,_作用于齿轮上的扭矩； _齿轮的节圆半径；_齿轮副的传动比； 将分解成两部分： 为齿轮受载后的平均静弹性变形；为由于齿轮故障和误差造成的两个齿轮间的相对位移，称为故障函数。则振动方程可化为由振动方程可知，齿轮的振动为自激振动。方程左侧表明齿轮副本身的振动特征，右侧是激振函数。由方程右侧可知，齿轮振动分为两种：一是，它与齿轮的故障和误差无关，所以称为常规振动；另一种为，它取决于齿轮的综合刚度和故障函数，这部分函数可以较好地解释齿轮振动信号中边频的存在以及与故障的关系。其中齿轮的啮合刚度为周期性的变量，由此可见齿轮产生振动的主要原因是的周期性变化。 的变化主要来源于两点：一是随着啮合点位置的改变，参加啮合的单一轮齿的刚度发生了改变，二是参加啮合的齿数发生了改变。一个轮齿从开始进入啮合到下一个轮齿进入啮合，齿轮的啮合刚度变化规律取决于齿轮的重合系数和齿轮的类型。直齿轮的刚度变化较为陡峭，而斜齿轮或人字齿轮刚度变化较为平缓，较为接近正弦波。 图2.2 齿面受载变化 图2.3 啮合刚度变化曲线如果齿轮副主动轮转速为、齿数为；从动轮转速为、齿数为，则齿轮啮合刚度的变化频率为无论齿轮处于正常状态还是异常状态，这一振动成分总是存在，但在这两种状态下的振动水平是有差异的。此外还有各齿轮轴的转频： N_各齿轮轴的转速； 因此，根据齿轮各振动信号分量进行故障诊断是可行的。但由于齿轮振动信号比较复杂，故障对振动信号的影响也是多方面的，必须借助有效的信号分析方法才能对齿轮故障进行诊断。2.2 齿轮振动调制信号齿轮出现故障时会产生冲击，出现不同程度的调制现象，所以研究信号调制对齿轮故障诊断是非常重要的。信号调制可分为两种：复制调制和频率调制。齿轮发生故障时，其振动信号往往表现为齿轮的转动频率对啮合频率及其倍频的调制，在谱图上形成以啮合频率为中心，两个等间隔分布的边频带。这些调制边频带的特点是包含了很多有用的齿轮故障信息。因此，对齿轮调制现象进行认真分析，如何有效地区分不同调制故障的振动特征，在很大程度上决定了齿轮箱故障诊断的成败。所以，对调制现象及边频带特点进行研究是齿轮箱故障诊断中的一个很重要的研究课题。幅值调制是由于齿面载荷波动对振动幅值的影响造成的。幅值调制从数学上看，相当于两个信号在时域上相乘；而在频域上相当于两个信号的卷积，如图2.4所示。这两个信号分别为载波和调制波，载波的频率相对来说较高，而调制波的频率相对载波来说较低。在齿轮信号中，啮合频率的主要成分成分通常是载波，齿轮轴旋转频率的主要成分通常是调制波。图2.4 单一频率的幅值调制设为齿轮啮合振动信号，为齿轮轴的转频振动信号，则调幅后的振动信号为式中 _为振幅； _幅值调制指数； _调制频率，它等于齿轮的旋转频率。 上述调制信号在频域科表示为 由此可见，调制后的信号中，除原来的啮合频率分量外，又增加了一对分量和，它们是以为中心，以为间距对称分布于两侧，所以称其为边频带，如图2.5所示。图2.5 频率调制及其边带 但对于实际的齿轮振动信号来说，载波信号、调制信号都不是单一频率的，一般来说都是周期函数。由振动方程可知，一般情况下，可以反映由故障而产生的幅值调制。设时频信号为则为载波信号，它包含有齿轮啮合频率及其倍频成分，为调幅信号，反映齿轮的故障和误差情况，它包含齿轮轴旋转频率及其倍频成分。由于齿轮是在作周期运动，所以齿轮每转一圈，就变化一次。在频域中，式中，和分别是，和的频谱。因为在时域上载波信号和调制信号乘积的效果相当于它们在频域上调制的幅值频谱的卷积。就相当于一组频率间隔较大的脉冲函数和一组频率间隔较小的脉冲函数的卷积，所以在频谱上形成若干组围绕啮合频率及倍频成对称分布的边频族，如图2.6所示。图 2.6 齿轮频谱上边频带的形成因此可以比较好的表现出齿轮集中缺陷和分布缺陷的边频的区别。图2.7（a）为齿轮存在局部缺陷时的振动波形及频谱。图2.7(b)为齿轮存在分布缺陷的情形。由于分布缺陷所产生的幅值调制较为平缓，由此形成的边频带比较高而且窄。并且，齿轮上的缺陷分布越均匀，频谱上的边频带就越高、越集中。图2.7 齿轮缺陷分布对边频带的影响 齿轮载荷不均匀、齿距不均匀及故障造成的载荷波动，除了对振动幅值产生影响外，同时也必然产生扭矩波动，使齿轮转速产生波动，这种波动表现在振动上即为频率调制(也可以认为是相位调制)。对于齿轮传动，任何导致产生幅值调制的因素也同时会导致频率调制。两种调制总是同时存在的，对于质量较小的齿轮副，频率调制现象尤为突出。 频率调制即使在载波信号和调制信号均为单一频率成分的情况下，也会形成很多边频成分。若载波信号为，调制信号为，则频率调制后的信号为式中 _振幅； _载波频率； _调制频率； _调制指数，等于由调制产生的最大相位移； _初相角。 上式可以用贝赛尔函数展开，得到的调制信号特性为：调频的振动信号包含有无限多个频率分量，并以啮合频率为中心，以调制频率为间隔形成无限多对的调制边带，如图2.5所示。对于齿轮振动信号而言，频率调制的原因主要是齿轮啮合刚度、齿轮加工误差和故障的影响而产生了相位变化，这种相位变化会因为齿轮的旋转而具有周期性。因此在齿轮信号频率调制中，载波函数和调制函数均为一般周期函数，均包含基频及其各阶倍频成分。边频的间隔为齿轮轴的旋转频率，边频族的形状主要取决于调制指数。2.3 本章小结本章对齿轮箱振动机理进行了简单地介绍，并对齿轮箱出现故障时的基本形式和产生调制现象等情况进行了详细地分析，由此得到相应频域的边频带分布特点，来作为故障诊断地基本依据。 第3章 小波分析方法基本概念小波分析及其应用是一门新的学科，在短短的十多年内得到了蓬勃的发展。 随着小波理论研究的深入和日趋成熟，其应用已逐步渗透到许多领域。一般说来，传统上使用分析的地方，现在都可以用小波分析并能够取得更好的结果，小波分析能对几乎所有的常见函数空间都能给出简单的刻画，也能用小波展开系数描述函数的局部性质。小波分析在时域和频域同时具有良好的局部化特性，克服了传统分析的不足，由于小波分析对高频采取逐渐精细的时域步长，从而可以聚焦到被分析信号的任意细节。随着小波理论的不断完善，它的应用领域也越来越广泛。小波分析与分析的区别在于：分析只考虑时域和频域之间的一对一的映射，它以单个变量（时间或频率）的函数表示信号，时频分析在时频平面上表示非平稳信号；小波分析则联合时间尺度函数分析非平稳信号，小波分析描述非平稳信号虽然也在二维平面上，但不是在时频平面上，而是在时间尺度平面上，在小波分析中，人们可以在不同尺度上来观察信号，这种对信号分析的多尺度观察是小波分析的基本特征。本章对小波分析的发展史进行了简单的回顾同时给出了关于小波分析的一些基本概念、定理及算法。3.1 傅里叶变换和短时傅里叶变换自Fourier提出Fourier分析这一全新的观点后，傅里叶变换在分析领域内产生了极为重要的影响，使数学和物理等学科发生了很大的变化，引起了众多科学家的广泛关注。快速变换的提出更使方法从理论走向实践，成为人们进行分析的强有力工具。傅里叶变换定义为：给定信号，如果它满足那么可对其进行傅里叶变换其逆变换为 与是一一对应的变换对。傅里叶变换在信号分析和图像处理等领域里有着重要的应用，能将信号的时域特征和频域特征联系起来，是信号分析与信号处理的重要工具。傅里叶变换有很强的频域定位和频域局部化能力，但是没有时间定位和时间局部化能力。傅里叶变换反映不出信号频率随时间变化而变化的非平稳信号，即时变信号，它只能给出一个总的平均效果。受海森堡测不准原理的制约，时间分辨率和频率分辨率不可能同时达到最好，也无法根据信号的特点来自动调节时域及频域的分辨率。为了从模拟信号中提取频谱，就要取出无限的时间量，使用过去的和将来的信息只为计算单个频率的频谱。由定义可知属于某一给定的区间反映不出在其时间区域上的信息。因为信号的频率比其时间周期长，因此对高频谱信息而言，时间区域应相对窄，而对低频谱信息而言，时间区域应相对宽，即应给一个可调时频窗，分析不能做到这一点，从而不适于做局部分析。由于傅里叶变换不能将信号的时域特征和频域特征有机结合起来，于1946 年提出了短时傅里叶变换,也称为加窗傅里叶变换。设，且，如果，则称是一个窗函数。的中心和半径分别定义为：如果窗函数的傅里叶变换也满足窗函数的条件，的频率中心 和频窗半径分别定义为：对任意固定的和，加窗傅里叶变换给出了信号在时频平面上的一个时频窗选定窗口函数之后，这个时频窗是时频平面上的一个具有固定面积的矩形。加窗傅里叶变换发展了傅里叶变换，能够满足信号处理的某些特殊需要。但是当窗口函数选定以后，它不能随着所要分析的的信号成份在高频信息和低频信息而相应变化，对非平稳信号的分析能力是很有限的，不适合分析频带较宽的频谱。而我们希望对高频信号进行分析时窗口要窄一些，对低频信号分析时窗口要宽一些，而小波变换可以根据频率的高低自动调节窗口的宽度，具有敏感的变焦距特性，能够满足我们分析的需要。3.2 小波变换理论小波变换（Wavelet Transform，又称为小波分析），它是一种新的变换分析方法，其主要特点是通过变换能够突出问题某些方面的特征。小波变换的思想来源于伸缩与平移方法。小波即小区域的波。小波函数的确定定义为：设为一平方可积函数，也即，表示是能量有限的信号，若其傅立叶变换满足允许条件： 即有界，则称为一个基本小波或小波母函数，上式为小波函数的允许条件。并由此刻知道母小波是一个振荡且能量有限的函数，并且在时域上是快速衰减的，从允许条件容易推出： 即。将小波母函数进行伸缩或平移，设其伸缩因子为,平移因子为，令其平移伸缩后的函数为 ，则有 由于基本小波或小波母函数依赖于生成的连续小波，我们把称为尺度参数，称为平移参数。尺度参数改变连续小波的形状，平移参数改变连续小波的位移。连续小波在时域空间和频域空间上都具有局部性，其作用与短时傅立叶变换中的窗函数相类似，但它们的本质区别在于尺度参数。 对其进行可容许小波函数 的连续小波变换为：在上述表达式中，求得信号的固定小波函数上的分量，对参数和进行展开以后，就可以得到任意时刻，任意精度的频谱了，由CWT的定义可知，小波变换同傅立叶变换一样，都是一种积分变换。同傅立叶变换相似，我们称为小波变换系数。 由于小波基不同与傅立叶基，因此小波变换与傅立叶变换有许多不同之处，其实最重要的不同是小波基有尺度参数和平移参数两个参数，因此，将函数在小波基下展开，就意味着将一个时间函数投影到二维时间-尺度平面上。连续小波变换中的伸缩因子和平移因子都是连续变化的实数，小波基函数是由小波母函数进行伸缩和平移后得到一组函数系列，这意味着小波基是一组非正交的过度完全基，因此，任意函数的小波展开系数之间有一个相关关系，即CWT系数具有很大的冗余量，为了减少计算量和在计算机实现，连续小波必须加以离散化。 对于尺度及位移均离散变化的小波序列，可以选取，其中是整数，大于1的伸缩步长（由于可以取正取负，因此这样假设无关紧要），于是离散小波基可以定义为： 若取离散栅格,即相当于连续小波只在尺度上进行了二进制离散，而位移仍取连续变化，我们称这类小波为二进小波。 可表示为： 二进小波介于连续小波和离散小波之间，它只是对尺度参量进行了离散化，而在时间域上的平移量仍保持连续变化，因此二进小波变换仍具有连续小波变换的时移共变性，这是它较之离散小波变换所具有独特优点。3.3 小波包变换在信号消噪中的原理与算法小波的多分辨率分析可以对信号进行有效的时频分解，但由于其尺度函数是按二进制变化的，因此在高频段其频率分辨率较差，只能对信号的低频段进行指数等间隔划分。而小波包分解能够为信号提供一种更加精细的分析方法，通过把频带进行多层次划分，能够对小波分析中没有细分的高频部分进一步分解，并能够根据被分析信号的特征，自适应地选择相应频段，使之与信号频谱相匹配从而提高时频分辨率，因此具有广泛的应用价值。3.3.1 小波包算法令正交小波基的滤波器系数分别为和，并将尺度函数改记为，小波函数改记为，于是原来的关于和的二尺度方程就变为：定义：由公式 定义的函数的集合为由所确定的小波包。因此，小波包是包括尺度函数和小波函数在内的一个具有一定联系的函数的集合。小波包具有下列性质（设是由标准正交化的尺度函数生成的）：1 对于任意的，有 2 对于任意的，有 令（“”为张成的空间）定义算子，为从空间向空间的投影算子（记）可以证明它们有共轭算子和，且显然，是上的正交投影算子，为单位阵，且若定义空间 即空间是由函数在尺度下的整数平移之线形组合所生成的子空间在中的闭包，因此，在尺度下的整数平移系列为空间的一组正交基。由于，并且由正交小波基的理论可知，由及的伸缩平移生成的的空间因子为：则由空间的定义可知：又已知，具有性质因此上式可以表示为 现在把这一性质推广到小波包，（为正投影表示符）则有 小波空间的二进细致分解为：对取定的函数系是空间的标准正交基。小波包对的分解相当于的第个频带被分割为个子频带。小波包的分解及重构算法如下：设，则可表示为 分解为与，小波包分解算法为： 小波包分解实际上是通过一组低、高通组合的共轭正交滤波器不断将信号分割到不同的频带上，滤波器组每作用一次，信号长度减少一半。和重构的重构算法为：3.3.2 小波包消噪的原理 在小波包中，其信号消噪的思想与在小波中的基本一样，惟一不同的是小波包分析提供r一种更为复杂，同时也更为灵活的分析手段因为小波包分析对上一层的低频部分和高频部分同时进行细分，具有更为精确的局部分析能力。通常，它是按照如下几个步骤进行细分： （1）信号的小波包分解：选择一个小波并确定一个小波分解的层次，然后对信号进行层小波包分解； （2）计算最佳树：对于一个给定的熵标准计算最佳树。对于方式，有一个专门的“”按钮用于计算最佳树； （3）小波分解系数的阈值量化：选择适当的阈值对从的每一高频系数进行量化处理； (4)小波包重构：根据小波分解的第层的低频系数和经过量化处理后的从层的高频系数进行重构。 在这4个步骤之中，最关键的就是如何选取阈值和如何进行阈值的量化。从某种程度上说他直接关系到信号消噪的质量。 从小波包消噪处理的方法上来说，一般有以下3种处理方法： 强制消噪处理 该方法把小波分解结构中的高频系数全部变为0，然后再对信号进行重构处理。该办法比较简单，且重构后的信号也比较平滑，但容易丢失信号的有用成分。 默认阈值消噪处理 该方法利用函数产生信号的默认阈值，然后利用函数进行消噪处理。 给定软(或硬)阈值进行消噪处理 该方法利用实际消噪处理过程中的经验公式给出阈值，往往比默认阈值更具有可信度。 3.4 如何选取最优小波包基 从滤波器的角度，小波包变换的实现和离散小波变换没有本质区别，只是在原有的基础上按同样的方法对细节系数进行分解，所以两者的实现方法相同。但是由于小波包分解是对近似系数和细节系数同时进行分解，使第层的分解系数为最多的一组，这种单纯的把所有的系数都进行分解对解决问题是没有帮助的，只会增加计算量，而小波包变换的基本思想是为了让信息能量集中，也就是在细节系数中寻找有序性，把其中的规律进一步的挑出来，所以必须对重构信号的分解系数进行优化选择。小波包基库是由许多小波包基组成的，不同的小波包基具有不同的性质，能够反映信号的不同特征，所以我们希望根据不同分析信号的特征来选择一个最好的小波包基，用来表达信号特点。选用最优基的目的是用尽量少的系数，反映尽量多的信息。对一信号进行一次小波包分解，可采用多种小波包基。小波包分析在确定最佳小波包基时所用的标准时，没有严格的理论作为保证，不同的问题所用标准不一致，我们需要跟据具体分析的要求，选择一个最佳的小波包基，即最佳基( 也叫最优树) 。选择最佳基的标准是熵标准。在小波包函数库建立好之后，对于一个给定的正交小波基分解，一个长度为N的信号最多有种不同的分解方法，我们基于最小熵标准来找到一种最优的信号分解方法。 要刻画系数的性质，首先要定义一个序列的代价函数，然后在小波包基库的所有小波包基中寻找使代价函数最小的基。对一个给定向量来说，代价最小就是最有效的表示，此基便称为最优基。代价函数可以定义为任何关于序列的实函数M，最多使用的是那些能测得集中度的可加性代价函数M。在上述意义下可以定义很多代价函数，对一个信号进行小波包分解，可以采用多种小波包基，这就要根据所分析的信号和噪声的要求，从中选择最好的一种小波包基，即对于一个给定的熵标准，计算最优小波包基，得到最优小波包树。熵标准主要有熵、范数熵、对数能量熵、阈值熵等，而且这些熵也可以组合成新的熵标准。在小波包分解时，需要从四种熵标准中选定一种，由上至下分别计算下一层的熵值，然后与上一层进行比较，由最小熵标准，依次判断小波包最优分解的方向，最后确定基于此熵标准的最优小波包分解基。3.5 实例分析及其比较小波变换属于一种时频分析方法，而在它出现之前已经有了多种时频分析方法，通过将小波分析和几种常用的分析方法比较，得出结论：和傅里叶变换相比，它可进行时频分析；和短时傅里叶变换相比，它的分析窗口是可变的。（1）同傅里叶变换比较在传统的傅里叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何的时域信息，对于小波变换来说，它有很多的优点：第一，它具有傅里叶变换不具备的时频分析能力，可以展现非平稳信号中的瞬时特征；第二，它具有多分辨率分析的特点，能适应于不同频率范围的非平稳成分；第三，它相当于一组具有不同带宽和不同中心频率位置的带通滤波器对信号进行滤波，可以得到信号的分频带信号。（2）同短时傅里叶变换比较在实际的工程应用中，所分析的信号可能包含很多尖峰或突变部分，而且噪声也不是平稳的白噪声，对这种信号进行分析，首先需要做信号的预处理，将信号的噪声部分去除，提取有用的信号。对于这种信号的消噪，传统的傅立叶变换分析显得无能为力，因为傅立叶分析是将信号完全在频率域中进行分析的，它不能给出信号在某个时间点的信号变化情况，使得信号在时间轴上的任何一个突变，都会影响信号的整个谱图。这里我们将对一个含噪声的矩形波信号，分别用小波阈值分析和傅立叶变换进行信号噪声处理，可以看出小波分析比传统的傅立叶分析的优越性。图3.1阈值消噪和傅立叶消噪的比较从图3.1的比较中可以看出，用小波阈值进行信号的消噪可以很好的保存有用信号中的尖峰和突变部分 。而用傅立叶分析进行滤波时，由于信号集中在低频部分，噪声分布在高频部分内，所以，可用低通滤波器进行滤波，但是它不能将有用信号的高频部分和噪声引起的高频干扰加以有效的区分。若低通滤波器太窄，则在滤波后，信号中仍存在大量的噪声，若低通滤波器太宽，则将一部分有用信号当作噪声而滤掉了。因此，小波阈值去噪分析对非平稳信号消噪有着傅立叶分析不可比拟的优点。3.6 本章小结小波变换是在傅里叶变换基础上发展起来的，作为时频分析方法的小波分析方法有很多本质性进步。小波分析提供了一种自适应的时频域同时局部化的方法，可以实现某些实际分析的需要。小波变换通过对信号进行空间分解来提取不同的频率成分的特征信息是其他方法无法取代的优点，而建立在小波变换基础上的小波包分析方法则对信号作了进一步的划分，即对小波变换中没有分解的高频信息继续细化，从而实现了高频段细微特征信号的提取，突出了采用小波包变换对振动信号进行去噪分析的优越性。通过对仿真信号进行小波包去噪分析，得出其在实际信号分析中的特点如下:(1)信号的分频带特征随小波包空间的变化而变化。若对信号进行层小波包空间完全分解，则信号频率将被等分成段，有利于特征频率的提取;(2)各小波包空间在继续分解时，其算法和小波分解算法一样，信号经小波包分解后，可得到在各频带上的时域信号，但其长度减半。所以，当信号长度太短时，不宜进行多级小波包分解。若对信号进行多层小波包分解则采样点数应尽量取大，在信号重建时才能保证信息的完整性; (3)采用不同小波函数对信号分析的结果相差不大，但各有相对的优势。就故障诊断中的信号特点而言，经过综合比较，本文中采用的小波函数形式为系。主要是因为其时域分辨率和频域相对都很好，有很好的时频局部化特性;小波函数具有双正交性，消失矩为，支撑宽度为,滤波器长度，支持压缩，可进行离散和连续小波变换。虽然越大时，性能越好，但实际比较了的取值后，发现当时，性能较好，当再增大时，性能提高不明显； (4)对信号进行阈值去噪分析时，小波包变换比小波变换更有效。当信号特征频率不在低频段时，使用默认阈值去噪，无论小波变换还是小波包变换都无法发挥其频率局部化的优势。但根据信号频率信息的经验知识，采用小波包的节点阈值去噪时，由于小波包变换能够对小波空间进一步分解，随着小波包分解层数的增加，可以对信号不同频段的频率信息进行提取，因此将不再受频率分布特点的约束，去噪灵活性较好。但是小波不能代替傅里叶分析，二者的互补优势和相辅相成的良好效果已经被科研实践所证明，对于长时间内比较稳定的信号，还是使用傅里叶分析比较合适。 第4章 实验数据采集及使用进行去噪分析在科学研究及实际应用中，对信号进行分析处理时，首先要对分析的信号进行预处理，其中最重要的就是要消除信号的噪声。传统的方法是利用傅里叶变换，将含噪信号变换到频域，然后进行滤波去噪。这种方法对于信号和噪声的频带相互分离时比较有效，但当信号和噪声的频带相互重叠时(比如当信号中混有白噪声时)，效果则较差。小波变换是近十年来迅速发展起来的一种新的信号处理工具。作为一种信号的时间一尺度(时间一频域)分析方法。他具有多分辨分析的特点，而且在时频两域都有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但形状可以改变的时频局部分析方法。但在小波分析中每次只对上次分解的低频部分进行再分解，而对高频部分不再分解，所以在高频段分辨率较差。而小波包分析是从小波分析延伸出来的一种对信号进行更加细致的分析和重构的方法，它不但对低频部分进行分解，而且对高频部分也做了二次分解，使它在信号去噪方面表现出明显的优势，对信号的分析能力更强。4.1 常用的去噪方法对分析信号进行预处理是提高数据的可靠性和数据分析精度的关键，而预处理的核心就在于如何提高信号的信噪比，精确地去除信号中的干扰信号。由于实验中取得的信号往往存在着各种干扰信号，白噪声就是这样一种比较常见的噪声形式。因为白噪声是宽带随机信号，其频带必然与有用信号的频带相重合，故若采用普通的滤波方法（如低通滤波、高通滤波、带通滤波等）难以有效的将其分离出来。在实际工作中，常用的去除白噪声的方法主要由以下几种：1 窄带滤波若预知有用信号的频率集中在，则可以通中心频率为，带宽为的窄带滤波器对原始信号进行滤波。对有用信号，它的谱峰值在滤波后不随带宽的减少而变换，但是白噪声的能量大致均匀地分布在整个频带范围内，滤波后它的输出会随着带宽的减小而减小，从而达到抑制白噪声的效果。但这种方法要求有用信号是窄带信号，并且还要预先知道有用信号的频带范围。2 相关滤波 如果有用信号是周期性信号，那么它的自相关函数也是周期函数，而白噪声的自相关函数在时延足够大时将衰减掉。利用这种性质可以优先求原始信号的自相关函数，如在时延足够大时它不衰减，则可以认为存在周期分量，将周期分量提取出来就可以得到所需的有用信号了。但这种方法要求有用信号是周期信号，对于周期性不强的有用信号，这种方法就行不通了。3 相干滤波此方法是从叠加有白噪声的原始信号中提取有用信号的一种有效方法。这种方法就是对原始信号进行多段同步平均。经过多段同步平均后，白噪声的期望值趋于零，而有用信号的期望值保持不变，因此多段同步平均之后得到的信号就是有用信号的理想估计值。但是对于回转机械，如传动齿轮，要进行同时平均，需求足够的段数才能保证去噪效果，这必然要求更多的采样点数，给采样工作带来了麻烦，同时也影响了信号的分析速度。所以，实际工作中所用到的去除白噪声的方法要么对有用信号有特殊的要求，要么就必须有预先的了解，再不就是对采样有较高的要求，这就限制了这些方法的应用范围和效果。4.2 小波阈值的去噪原理 信号降噪是信号处理的一个基本问题，去噪的目的在于与去除信号中的噪声或干扰成分。随着小波理论的不断成熟，其在信号去噪中的应用也越来越广泛和深入了，现在在信号处理中所应用的小波方法大致可以分为三类：（1） 基于模极大值去噪法，1992 年，提出用奇异点模极大值法检测信号的奇异点，根据有用信号与噪声在奇异性上存在差异，采用多分辨率理论，由粗及精地跟踪各尺度下的小波变换极大值来消除噪声。去噪原理为：信号的指数是大于的，噪声的指数，其中，因此噪声的指数小于，随着尺度的增大，信号和噪声所对应的小波变换系数分别是增大和减小。根据不同尺度间小波变换模极大值变化的规律，去除幅度随尺度的增加而减小的点，保留幅度随尺度增加而增加的点，然后再由保留的模极大值点用交替投影法进行重建，从而达到去噪的目的。（2） 对含噪信号做小波变换之后，计算相邻尺度间各点小波系数的相关性的大小区别小波系数的类型，进而进行取舍，然后重构信号。（3）提出的小波阈值去噪方法是工程中应用最广泛的方法，其基本思想是：一个含噪声的一维信号模型可以表示为,其中为原始信号，为方差为的高斯白噪声，服从。由于小波变换是线性变换，对作离散小波变换后得到的小波系数仍由两部分组成，一部分是信号对应的小波系数，另一部分是噪声对应的小波系数。基于有用信号和噪声在经小波变换后具有不同的统计特性：有用信号的能量对应着幅值较大的小波系数，噪声信号的能量则对应着幅值较小的小波系数，并分散在小波变换后的所有系数中。一般来讲，经过小波分解后，信号的系数要大于噪声的系数，于是可以找到一个合适的数作为阈值，当分解系数小于这个临界阈值时，认为这时的分解系数主要是由噪声引起的，予以舍弃；当分解系数大于这个临界阈值时，认为这时的分解系数主要是由信号引起的，就把这一部分的直接保留下来（硬阈值方法）或者按照某一固定量向零收缩（软阈值方法），然后用得到的小波系数进行小波重构，即为去噪后的信号。 提出的硬阈值函数为 软阈值函数为其中和分别为进去噪处理前后的小波变换系数，为符号函数，阈值取为，是对信号水平的估计值，是信号的长度。4.1 小波变换阈值去噪流程4.3 阈值的选取小波方法去噪分为小波分解、对分解后的高频系数进行阈值量化处理、信号的重构三个步骤，去噪效果的好坏取决于以下几个环节：小波基的选择、小波分解层数的确定、阈值函数及阈值估计方法的选取。其中最重要的环节是如何选取阈值函数和如何对阈值进行量化，由于噪声是一种随机的信号，其方差是未知的，实际去噪过程中必须首先对阈值进行估计，基于样本估计的阈值的选取，其原理为对信号做估计，确定一个统一的阈值，然后保留超出这个阈值的系数而截掉小于阈值的系数。通常有四种可供选择的阈值估计方法： （1）固定阈值：阈值，为信号的长度。（2）基于斯坦的无偏似然估计原理的自适应阈值选择：对一个给定的阈值，得到它的似然估计，再将