材料力学(I)第五版孙训方版课后习题参考答案.pdf

第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 2 2 1 1 试求图示各杆试求图示各杆 1 1 1 1 和和 2 2 2 2 横截面上的轴力 并作轴力图 横截面上的轴力 并作轴力图 a 解解 b 解解 c 解解 d 解 解 习题习题 2 3 石砌桥墩的墩身高ml10 其横截面面尺寸如图所示 荷载knf1000 材料的密度 3 35 2mkg 试求墩身底部横截面上的压应力 解 墩身底面的轴力为 galfgfn 2 3 图 942 31048 935 210 114 323 1000 2 kn 墩身底面积 14 9 114 323 22 ma 因为墩为轴向压缩构件 所以其底面上的正应力均匀分布 mpakpa m kn a n 34 071 339 14 9 942 3104 2 2 2 4 4 图示一混合屋架结构的计算简图 屋架的上弦用钢筋混凝土制成 下面的拉杆和中间竖向图示一混合屋架结构的计算简图 屋架的上弦用钢筋混凝土制成 下面的拉杆和中间竖向 撑杆用角钢构成 其截面均为两个撑杆用角钢构成 其截面均为两个 75mm75mm 8mm8mm 的等边角钢 已知屋面承受集度为的等边角钢 已知屋面承受集度为 的竖的竖 直均布荷载 试求拉杆直均布荷载 试求拉杆aeae和和egeg横截面上的应力 横截面上的应力 解解 1 求内力 取 i i 分离体 得 拉 取节点e为分离体 故 拉 2 求应力 75 8 等边角钢的面积 a 11 5 cm 2 拉 拉 2 2 5 5 图示拉杆承受轴向拉力图示拉杆承受轴向拉力 杆的横截面面积 杆的横截面面积 如以 如以 表示斜截面与横表示斜截面与横 截面的夹角 试求当截面的夹角 试求当 3030 4545 6060 9090 时各斜截面上的正应力和切应力 并用图表时各斜截面上的正应力和切应力 并用图表 示其方向 示其方向 解解 2 2 6 6 一木桩柱受力如图所示 柱的横截面为边长一木桩柱受力如图所示 柱的横截面为边长 200mm200mm 的正方形 材料可认为符合胡克定律 的正方形 材料可认为符合胡克定律 其弹性模量其弹性模量e e 10 gpa 10 gpa 如不计柱的自重 试求 如不计柱的自重 试求 1 1 作轴力图 作轴力图 2 2 各段柱横截面上的应力 各段柱横截面上的应力 3 3 各段柱的纵向线应变 各段柱的纵向线应变 4 4 柱的总变形 柱的总变形 解解 压 压 习题习题 2 7 图示圆锥形杆受轴向拉力作用 试求杆的伸长 解 取长度为dx截离体 微元体 则微元体的伸长量为 xea fdx ld ll xa dx e f dx xea f l 00 l x rr rr 12 1 22 112 1 12 d x l dd rx l rr r 2 2 112 22 u d x l dd xa dx l dd du d x l dd d 2 22 12112 du dd l dx 12 2 2 2 2 21 2 12 u du dd l du u dd l xa dx 因此 2 2 0 21 00 u du dde fl xa dx e f dx xea f l lll l l d x l dd dde fl udde fl 0 112 21021 22 1 21 2 2 1 22 1 2 1112 21 dd l l dd dde fl 2 2 1010 受轴向拉力受轴向拉力f f作用的箱形薄壁杆如图所示 已知该杆材料的弹性常数为作用的箱形薄壁杆如图所示 已知该杆材料的弹性常数为e e 试求 试求c c与与 d d两点间的距离改变量两点间的距离改变量 解解 横截面上的线应变相同 因此 习题习题 2 11 图示结构中 ab 为水平放置的刚性杆 杆 1 2 3 材料相同 其弹性模量gpae210 已知ml1 2 21 100mmaa 2 3 150mma knf20 试求 c 点的水平位移和铅垂位移 2 11 图 解 1 求各杆的轴力 以 ab 杆为研究对象 其受力图如图所示 因为 ab 平衡 所以 0 x 045cos 3 o n 0 3 n 由对称性可知 0 ch 10205 05 0 21 knfnn 2 求 c 点的水平位移与铅垂位移 a 点的铅垂位移 mm mmmmn mmn ea ln l476 0 100 210000 100010000 22 1 1 1 受力图 变形协调图 b 点的铅垂位移 mm mmmmn mmn ea ln l476 0 100 210000 100010000 22 2 2 2 1 2 3 杆的变形协 谐 调的情况如图所示 由 1 2 3 杆的变形协 谐 调条件 并且考虑到 ab 为 刚性杆 可以得到 c 点的水平位移 476 045tan 1 mml o bhahch c 点的铅垂位移 476 0 1 mml c 习题习题 2 12 图示实心圆杆 ab 和 ac 在 a 点以铰相连接 在 a 点作用有铅垂向下的力knf35 已知杆 ab 和 ac 的直径分别为mmd12 1 和mmd15 2 钢的弹性模量gpae210 试求 a 点在铅垂方向的位移 解 1 求 ab ac 杆的轴力 以节点 a 为研究对象 其受力图如图所示 由平衡条件得出 0 x 045sin30sin o ab o ac nn abac nn2 a 0 y 03545cos30cos o ab o ac nn 7023 abac nn b a b 联立解得 knnnab117 18 1 knnnac621 25 2 2 由变形能原理求 a 点的铅垂方向的位移 2 2 2 2 1 1 2 1 222 1 ea ln ea ln f a 1 2 2 2 2 1 1 2 1 ea ln ea ln f a 式中 141445sin 1000 1 mml o 160030sin 800 2 mml o 22 1 1131214 325 0mma 22 2 1771514 325 0mma 故 366 1 177210000 160025621 113210000 141418117 35000 1 22 mm a 习题习题 2 13 图示 a 和 b 两点之间原有水平方向的一根直径mmd1 的钢丝 在钢丝的中点 c 加一竖向荷载 f 已知钢丝产生的线应变为0035 0 其材料的弹性模量gpae210 钢丝的自重不计 试求 1 钢丝横截面上的应力 假设钢丝经过冷拉 在断裂前可认为符合胡克定律 2 钢丝在 c 点下降的距离 3 荷载 f 的值 解 1 求钢丝横截面上的应力 7350035 0210000mpae 2 求钢丝在 c 点下降的距离 7 210000 2000 735mm e l ea nl l 其中 ac 和 bc 各mm5 3 996512207 0 5 1003 1000 cos o 7867339 4 5 1003 1000 arccos 7 837867339 4tan1000mm o 3 求荷载 f 的值 以 c 结点为研究对象 由其平稀衡条件可得 0 y 0sin2 pan sin2sin2aanp 239 96787 4sin114 325 07352 02 n 习题习题 2 15 水平刚性杆 ab 由三根 bc bd 和 ed 支撑 如图 在杆的 a 端承受铅垂荷载 f 20kn 三根钢杆的横 截面积分别为 a1 12 平方毫米 a2 6 平方毫米 a 3 9 平方毫米 杆的弹性模量 e 210gpa 求 1 端点 a 的水平和铅垂位移 2 应用功能原理求端点 a 的铅垂位移 解 1 3 0 3 233 11 0 3 123 1 111 7 1 1 96 1 2 2 2 3 3 cos450 sin450 0 450 150 60 401 0 60 100 15 3 87 210 1012 10 40 1 l l n n nn n n n fdxfklf kf l fxfxl dxf xl f ffff ff fkn fkn fkn f l l ea f l l ea 1 有 3 由胡克定理 7 96 x2 y21 00 15 4 76 210 1012 10 4 76 2320 23 al all 从而得 2 y1122 y 0 20 33 vfaflfl a 习题习题 2 17 简单桁架及其受力如图所示 水平杆 bc 的长度l保持不变 斜杆 ab 的长度可随夹角 的变化而 改变 两杆由同一种材料制造 且材料的许用拉应力和许用压应力相等 要求两杆内的应力同时达到许用应力 且结构的总重量为最小时 试求 1 两杆的夹角 2 两杆横截面面积的比值 解 1 求轴力 取节点 b 为研究对象 由其平衡条件得 0y 0sin fnab sin f nab 0x 0cos bcab nn cotcos sin cosf f nn abbc 2 17 2 求工作应力 sin abab ab ab a f a n bcbc bc bc a f a n cot 3 求杆系的总重量 bcbcabab lalavw 是重力密度 简称重度 单位 3 mkn cos la l a bcab cos 1 bcab aal 4 代入题设条件求两杆的夹角 条件 sin abab ab ab a f a n sin f aab cot bcbc bc bc a f a n co t f abc 条件 w的总重量为最小 cos 1 bcab aalw cos 1 bcab aal cot cos 1 sin ff l sin cos cossin 1 fl cossin cos1 2 fl 2sin cos12 2 fl 从w的表达式可知 w是 角的一元函数 当w的一阶导数等于零时 w取得最小值 0 2sin 22cos cos1 2sinsincos22 2 2 fl d dw 022cos 2 2cos3 2sin 2 02cos2cos32sin 22 12cos3 3333 02cos o 47 109 3333 0arccos 2 445474 54 oo 5 求两杆横截面面积的比值 sin f aab cot f abc cos 1 cotsin 1 cot sin f f a a bc ab 因为 12cos3 3 1 1cos2 2 3 1 cos 2 3 1 cos 3 cos 1 所以 3 bc ab a a 习题习题 2 18 一桁架如图所示 各杆都由两个 等 边 角 钢 组 成 已 知 材 料 的 许 用 应 力 mpa170 试选择 ac 和 cd 的角钢型号 解 1 求支座反力 由对称性可知 220 knrr ba 2 求 ac 杆和 cd 杆的轴力 以 a 节点为研究对象 由其平 衡条件得 0 y 2 18 0cos aca nr 667 366 5 3 220 sin kn r n a ac 以 c 节点为研究对象 由其平衡条件得 0 x 0cos accd nn 333 2935 4 5 3 220 cosknnn accd 3 由强度条件确定 ac cd 杆的角钢型号 ac 杆 22 2 569 2186 2156 170 366667 cmmm mmn nn a ac ac 选用 2 780 面积 2 72 2186 102cm cd 杆 22 2 255 17488 1725 170 293333 cmmm mmn nn a cd cd 选用 2 675 面积 2 594 17797 82cm 习题习题 2 19 一结构受力如图所示 杆件 ab cd ef gh 都由两根不等边角钢组成 已知材料的许用应力 mpa170 材料的弹性模量gpae210 杆 ac 及 eg 可视为刚性的 试选择各杆的角钢型号 并分别求点d c a 处的铅垂位移 d c a 解 1 求各杆的轴力 240300 4 2 3 knnab 60300 4 8 0 knncd 0 f m 02 1605 13003 gh n 2 19 174 72450 3 1 knngh 0 y 030060174 ef n 186 knnef 2 由强度条件确定 ac cd 杆的角钢型号 ab 杆 22 2 12 14765 1411 170 240000 cmmm mmn nn a ab ab 选用 2 55690 面积 2 424 14212 72cm cd 杆 22 2 529 3941 352 170 60000 cmmm mmn nn a cd cd 选用 2 32540 面积 2 78 389 12cm ef 杆 22 2 412 10118 1094 170 186000 cmmm mmn nn a ef ef 选用 2 54570 面积 2 218 11609 52cm gh 杆 22 2 353 10529 1023 170 174000 cmmm mmn nn a gh gh 选用 2 54570 面积 2 218 11609 52cm 3 求点 d c a 处的铅垂位移 d c a 7 2694 2 4 1442210000 3400240000 mm ea ln l ab abab ab 907 0 378210000 120060000 mm ea ln l cd cdcd cd 580 1 8 1121210000 2000186000 mm ea ln l ef efef ef 477 1 8 1121210000 2000174000 mm ea ln l gh ghgh gh eg 杆的变形协调图如图所示 3 8 1 ghef ghd ll l 3 8 1 477 1580 1 477 1 d 54 1mm d 45 2907 054 1mmlcd dc 7 2mmlab a 习题习题 2 21 1 刚性梁 ab 用两根钢杆 ac bd 悬挂着 其受力如图所示 已知钢杆 ac 和 bd 的直径分别为 mmd25 1 和mmd18 2 钢的许用应力mpa170 弹性模量gpae210 试校核钢杆的强度 并计 算钢杆的变形 ac l bd l 及 a b 两点的竖向位移 a b 解 1 校核钢杆的强度 求轴力 667 66100 5 4 3 knnac 333 33100 5 4 5 1 knnbc 计算工作应力 22 2514 325 0 66667 mm n a n ac ac ac mpa882 135 22 1814 325 0 33333 mm n a n bd bd bd 2 21 mpa057 131 因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力 170mpa 即 ac bd 所以 ac 及 bd 杆的强度足够 不会发生破坏 2 计算 ac l bd l 618 1 625 490210000 250066667 mm ea ln l ac acac ac 560 1 34 254210000 250033333 mm ea ln l bd bdbd bd 3 计算 a b 两点的竖向位移 a b 第三章第三章 扭转扭转 3 3 1 1 一传动轴作匀速转动 转速一传动轴作匀速转动 转速 轴上装有五个轮子 主动轮 输入的功率为 轴上装有五个轮子 主动轮 输入的功率为 60kw60kw 从动轮 依次输出 从动轮 依次输出 18kw18kw 12kw 22kw12kw 22kw 和和 8kw8kw 试作轴的扭矩图 试作轴的扭矩图 解解 kn kn kn kn 3 3 2 2 实心圆轴的直径实心圆轴的直径 mmmm 长 长 m m 其两端所受外力偶矩 其两端所受外力偶矩 材料的切变模 材料的切变模 量量 试求 试求 1 1 最大切应力及两端截面间的相对扭转角 最大切应力及两端截面间的相对扭转角 2 2 图示截面上 图示截面上a a b b c c三点处切应力的数值及方向 三点处切应力的数值及方向 3 3 c c点处的切应变 点处的切应变 p e p w m w t m a x 式中 19634910014159 3 16 1 16 1 333 mmdwp 3 2 故 mpa mm mmn w m p e 302 71 196349 1014 3 6 max p gi lt 式中 981746910014159 3 32 1 32 1 444 mmdip 故 o p rad mmn mmn gi lt 02 1 0178254 0 109817469 1080 114000 41229 2 求图示截面上 a b c 三点处切应力的数值及方向 mpa ba 302 71 max 由横截面上切应力分布规律可知 mpa bc 66 35302 715 0 2 1 a b c 三点的切应力方向如图所示 3 计算 c 点处的切应变 34 3 10446 0104575 4 1080 66 35 mpa mpa g c c 习题习题 3 3 空心钢轴的外径mmd100 内径mmd50 已知间距为ml7 2 的两横截面的相对扭转角 o 8 1 材料的切变模量gpag80 试求 1 轴内的最大切应力 2 当轴以min 80rn 的速度旋转时 轴所传递的功率 解 1 计算轴内的最大切应力 9203877 5 01 10014159 3 32 1 1 32 1 44444 mmdip 184078 5 01 10014159 3 16 1 1 16 1 34343 mmdwp 式中 dd p gi lt mm mmmmn l gi t p 2700 9203877 80000180 14159 38 1 42 mmn 45 8563014 563 8mkn mpa mm mmn w t p 518 46 184078 45 8563014 3 max 2 当轴以min 80rn 的速度旋转时 轴所传递的功率 563 8 80 549 9549 9mkn n n n mt kk e 74 71549 9 80563 8kwnk 习题习题 3 5 图示绞车由两人同时操作 若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力 f 均为 0 2kn 已知轴材料的许用 切应力mpa40 试求 1 ab 轴的直径 2 绞车所能吊起的最大重量 解 1 计算 ab 轴的直径 ab 轴上带一个主动轮 两个手柄所施加的外力偶 矩相等 08 04 02 0mknmm ee 右左 16 02mknmm ee 右主动轮 扭矩图如图所示 3 5 由 ab 轴的强度条件得 16 3 max d m w m e p e右右 mm mmn mmnm d e 7 21 4014159 3 8000016 16 3 2 3 右 2 计算绞车所能吊起的最大重量 主动轮与从动轮之间的啮合力相等 35 02 0 从动轮主动轮ee mm 28 016 0 20 0 35 0 mknme 从动轮 由卷扬机转筒的平衡条件得 从动轮e mp 25 0 28 025 0 p 12 125 0 28 0knp 习题习题 3 6 已知钻探机钻杆 参看题 3 2 图 的外径mmd60 内径mmd50 功率kwp355 7 转速 min 180rn 钻杆入土深度ml40 钻杆材料的gmpag80 许用切应力mpa40 假设土壤对 钻杆的阻力是沿长度均匀分布的 试求 1 单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m 2 作钻杆的扭矩图 并进行强度校核 3 两端截面的相对扭转角 解 1 求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m 390 0 180 355 7 549 9549 9mkn n n m k e 设钻杆轴为x轴 则 0 x m e mml 00975 0 40 390 0 mkn l m m e 2 作钻杆的扭矩图 并进行强度校核 作钻杆扭矩图 xxmxxt00975 0 40 39 0 40 0 x 0 0 t 390 0 40 mknmt e 扭矩图如图所示 强度校核 p e w m max 式中 21958 60 50 1 6014159 3 16 1 1 16 1 34343 mmdwp mpa mm mmn w m p e 761 17 21958 390000 3 max 因为mpa761 17 max mpa40 即 max 所以轴的强度足够 不会发生破坏 3 计算两端截面的相对扭转角 40 0 p gi dxxt 式中 658752 60 50 1 6014159 3 32 1 1 32 1 44444 mmdip 3 3 7 7 图示一等直圆杆 已知图示一等直圆杆 已知 试求 试求 1 1 最大切应力 最大切应力 2 2 截面 截面a a相对于截面相对于截面c c的扭转角 的扭转角 解解 1 由已知得扭矩图 a 2 3 3 1010 长度相等的两根受扭圆轴 一为空心圆轴 一为实心圆轴 两者材料相同 受力情况也一长度相等的两根受扭圆轴 一为空心圆轴 一为实心圆轴 两者材料相同 受力情况也一 样 实心轴直径为样 实心轴直径为d d 空心轴外径为 空心轴外径为d d 内径为 内径为 且 且 试求当空心轴与实心轴的最大 试求当空心轴与实心轴的最大 切应力均达到材料的许用切应力切应力均达到材料的许用切应力 扭矩 扭矩t t相等时的重量比和刚度比 相等时的重量比和刚度比 第一种 第一种 解解 重量比 因为 即 故 故 刚度比 第二种 第二种 解 1 求空心圆轴的最大切应力 并求 d p w t max 式中 1 16 1 43 dwp 故 1 27 8 01 16 343 max d t d t 空 1 27 3 t d 3 10 1 求实心圆轴的最大切应力 p w t max 式中 3 16 1 dwp 故 1616 33 max d t d t 实 16 3 t d 69375 1 16 1 27 3 t t d d 192 1 d d 3 求空心圆轴与实心圆轴的重量比 512 0192 136 0 36 0 8 01 25 0 25 0 2222 2 2 0 2 d d d d ld ldd w w 实 空 4 求空心圆轴与实心圆轴的刚度比 444 01845 0 8 01 32 1 ddi p 空 44 03125 0 32 1 ddi p 实 192 1192 15904 0 5904 0 03125 0 01845 0 44 4 4 d d d d gi gi p p 实 空 习题习题 3 11 全长为l 两端面直径分别为 21 d d的圆台形杆 在两端各承受一外力偶矩 e m 如图所示 试求杆两端面间的相对扭转角 解 如图所示 取微元体dx 则其两端面之间的扭转角为 p e gi dxm d 式中 4 32 1 dip l x rr rr 12 1 22 112 1 12 d x l dd rx l rr r 1 12 2dx l dd rd 44 1 124 udx l dd d dx l dd du 12 du dd l dx 12 故 l e l e l e l p e l p e u du ddg lm du dd l ug m d dx g m i dx g m gi dxm 0 4 1212 0 4 0 4 00 3213232 l ele l e dx l dd ddg lm uddg lm u du ddg lm 0 3 1 12 12 0 3 12 0 4 12 1 3 32 3 1 32 32 3 2 3 1 2 221 2 1 3 2 3 1 3 2 3 1 21 3 1 3 212 3 32 3 3211 3 32 dd dddd g lm dd dd ddg lm ddddg lm eee 习题习题 3 12 已知实心圆轴的转速min 300rn 传递的功率kwp330 轴材料的许用切应力mpa60 切变模量gpag80 若要求在 2m 长度的相对扭转角不超过 o 1 试求该轴的直径 解 180 1 p e p gi lm gi lt 式中 504 10 300 330 549 9549 9mkn n n m k e 4 32 1 dip 故 g lm i e p 180 g lm d e 180 32 1 4 mm mmn mmmmn g lm d e 292 111 8000014 3 200010504 101803218032 4 22 6 4 2 取mmd3 111 3 3 1313 习题习题 3 3 1 1 中所示的轴中所示的轴 材料为钢 其许用切应力 材料为钢 其许用切应力 切变模量 切变模量 许可 许可 单位长度扭转角单位长度扭转角 试按强度及刚度条件选择圆轴的直径 试按强度及刚度条件选择圆轴的直径 解解 由 3 1 题得 故选用 3 3 1414 阶梯形圆杆 阶梯形圆杆 aeae段为空心 外径段为空心 外径d d 140mm 140mm 内径 内径d d 100mm 100mm bcbc段为实心 直径段为实心 直径d d 100mm 100mm 外力偶矩外力偶矩 已知 已知 试校核该轴的强度和刚度 试校核该轴的强度和刚度 解解 扭矩图如图 a 1 强度 bc段强度基本满足 故强度满足 2 刚度 bc段 bc段刚度基本满足 ae段 ae段刚度满足 显然eb段刚度也满足 3 3 1 15 5 有一壁厚为有一壁厚为 25mm25mm 内径为 内径为 250mm250mm 的空心薄壁圆管 其长度为的空心薄壁圆管 其长度为 1m1m 作用在轴两端面内的外力偶 作用在轴两端面内的外力偶 矩为矩为 180180 试确定管中的最大切应力 并求管内的应变能 已知材料的切变模量 试确定管中的最大切应力 并求管内的应变能 已知材料的切变模量 试确定管中的最大切应力 并求管内的应变能 试确定管中的最大切应力 并求管内的应变能 解解 习题习题 3 3 1616 一端固定的圆截面杆 ab 承受集度为m的均布外力偶作用 如图所示 试求杆内积蓄的应变能 已矩材料的切变模量为 g 解 gd dxxm dg dxxm gi dxxt dv p 4 22 4 222 16 32 1 2 2 p l gi lm gd lm gd lm dxx gd m v 6 32 1 6 3 1616 32 4 32 4 32 0 2 4 2 3 16 3 3 1 17 7 簧杆直径簧杆直径 mmmm 的圆柱形密圈螺旋弹簧 受拉力的圆柱形密圈螺旋弹簧 受拉力 作用 弹簧的平均直径为作用 弹簧的平均直径为 mmmm 材料的切变模量 材料的切变模量 试求 试求 1 1 簧杆内的最大切应力 簧杆内的最大切应力 2 2 为使其伸长量等于 为使其伸长量等于 6mm6mm 所需的弹簧有效圈数 所需的弹簧有效圈数 解解 故 因为 故 圈 习题习题 3 3 1818 一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力 f 如图 簧丝直径mmd10 材料的许用切应力 mpa500 切变模量为 g 弹簧的有效圈数为n 试求 1 弹簧的许可切应力 2 证明弹簧的伸长 16 2 2 2 121 4 rrrr gd fn 解 1 求弹簧的许可应力 用截面法 以以簧杆的任意截面取出上面部分为截离体 由平衡条件可 知 在簧杆横截面上 剪力fq 扭矩frt 最大扭矩 2max frt 4 1 16164 2 3 2 3 2 2 max max r d d fr d fr d f w t a q p n mm mm mm mmnmm r d r d f3 957 1004 10 1 10016 5001014 3 4 1 16 233 2 2 3 因为102010 200 dd 所以上式中小括号里的第二项 即由 q 所产生的剪应力 可以忽略不计 此时n mm mmnmm r d r d f25 981 10016 5001014 3 4 1 16 233 2 2 3 2 证明弹簧的伸长 16 2 2 2 121 4 rrrr gd fn 外力功 fw 2 1 p gi drt du 2 2 d n rr r gi f dr gi f gi drfr u n p n p n p 3 2 0 12 1 2 2 0 3 2 2 0 2 2 222 12 4 1 4 2 2 4rr rr gi nf p uw 12 4 1 4 2 2 42 1 rr rr gi nf f p 16 2 21 2 2 2 1 4 12 4 1 4 2 rrrr dg nf rr rr gi nf p 3 3 1 19 9 图示矩形截面钢杆承受一对外力偶矩图示矩形截面钢杆承受一对外力偶矩 已知材料的切变模量 已知材料的切变模量 试 试 求 求 1 1 杆内最大切应力的大小 位置和方向 杆内最大切应力的大小 位置和方向 2 2 横截面矩边中点处的切应力 横截面矩边中点处的切应力 3 3 杆的单位长度扭转角 杆的单位长度扭转角 解解 1 求杆内最大切应力的大小 位置和方向 由表得 长边中点处的切应力 在上面 由外指向里 2 计算横截面短边中点处的切应力 mpa 短边中点处的切应力 在前面由上往上 3 求单位长度的转角 单位长度的转角 单位长度的转角 习题习题 3 3 2 23 3 图示为薄壁杆的的两种不同形状的横截面 其壁厚及管壁中线的周长均相同 两杆的长度和材料也 相同 当在两端承受相同的一对扭转外力偶矩时 试求 1 最大切应力之比 2 相对扭转角之比 解 1 求最大切应力之比 开口 t e i m 开口max 3 0 3 0 3 2 2 3 1 rrit 依题意 ar42 0 故 33 0 3 0 3 4 3 2 2 3 1 a rrit 23 max 4 3 4 3 a m a m i m e e t e 开口 闭口 2 0 max 22a m a m ee 闭口 2 32 4 3 2 2 max max a m a a m e e 闭口 开口 3 求相对扭转角之比 开口 33 0 3 0 3 4 3 2 2 3 1 a rrit 3 4 3 ga m gi m gi t e t e t 开口 闭口 342 0 2 0 4 4 44ga m ga am ga sm ga ts eee 闭口 2 23 3 4 3 4 3 a m ga ga m e e 闭口 开口 第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 4 4 1 41 4 1 1 试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩 试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩 a 5 h 4 0 0 0 1 100 1 1000 2 2 22 2000 2 2 13 224 1111 22312 114 0 222 233 rarb s s q ffaq a q fq aaq a a mq aqaq a fmq aaqaaq a b 5 f 4 4 4 2 42 4 2 2 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程 并作剪力图和弯矩图 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程 并作剪力图和弯矩图 解解 a a b b 时时 时 c 时 时 d d e e 时 时 时 f f abab段段 bc段 g g abab段内段内 bc段内 h h abab段内段内 bc段内 cd段内 4 4 3 43 4 3 3 试利用荷载集度 剪力和弯矩间的微分关系作下列各梁的剪力图试利用荷载集度 剪力和弯矩间的微分关系作下列各梁的剪力图和弯矩图 和弯矩图 4 4 4 44 4 4 4 试作下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图 试作下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图 4 4 6 6 已知简支梁的剪力图如图所示 试作梁的弯矩图和荷载图 已知梁上没有集中力偶作用 已知简支梁的剪力图如图所示 试作梁的弯矩图和荷载图 已知梁上没有集中力偶作用 4 8 用叠加法做梁的弯矩图 4 8 b 4 8 c 4 9 选择合适的方法 做弯矩图和剪力图 4 9 b 4 9 c 4 4 8 48 4 18 18 圆弧形曲杆受力如图所示 已知曲杆轴线圆弧形曲杆受力如图所示 已知曲杆轴线的半径为的半径为r r 试写出任意横截面 试写出任意横截面c c上剪力 上剪力 弯矩和轴力的表达式 表示成弯矩和轴力的表达式 表示成 角的函数 并作曲杆的剪力图 弯矩图和轴力图 角的函数 并作曲杆的剪力图 弯矩图和轴力图 解解 a b 4 4 1 16 6 长度为长度为 250mm250mm 截面尺寸为 截面尺寸为 的薄钢尺 由于两端外力偶的作用而弯成的薄钢尺 由于两端外力偶的作用而弯成 中心角为中心角为 的圆弧 已知弹性模量的圆弧 已知弹性模量 试求钢尺横截面上的最大正应力 试求钢尺横截面上的最大正应力 解解 由中性层的曲率公式 及横截面上最大弯曲正应力公式 得 由几何关系得 于是钢尺横截面上的最大正应力为 第第 1818 题题 第第 21 题题 习题习题 4 23 由两根 36a 号槽钢组成的梁如图所示 已知 f 44kn q 1kn m 钢的许用弯曲正应力 170mpa 试校 核梁的正应力强度 习题习题 4 25 习题习题 4 28 习题习题 2 29 习题习题 4 33 习题习题 4 36 习题习题 4 35 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 习题习题 5 5 3 3 习题习题 5 5 7 7 5 5 12 12 试按叠试按叠加原理并利用附录加原理并利用附录 iviv 求解习题求解习题 5 5 4 4 解解 向下 向上 逆 逆 5 5 1 12 2 试按叠试按叠加原理并利用附录加原理并利用附录 iviv 求解习题求解习题 5 5 5 5 解解 分析梁的结构形式 而引起bd段变形的外力则如图 a 所示 即弯矩 与弯矩 由附录 知 跨长l的简支梁的梁一端受一集中力偶m 作用时 跨中点挠度为 用到此处再利用迭加原理得截面c 的挠度 向上 5 5 1212 试按叠试按叠加加原理并利用附录原理并利用附录 iviv 求解习题求解习题 5 5 1010 解解 5 5 1313 试按迭加原理并利用附录试按迭加原理并利用附录 iviv 求解习题求解习题 5 5 7 7 中的中的 解解 原梁可分解成图 5 16a 和图 5 16d 迭加 而图 5 16a 又可分解成图 5 16b 和 5 16c 由附录 得 5 5 5 5 5 5 18 18 试按迭加原理求图示梁中间铰试按迭加原理求图示梁中间铰c c处的挠度处的挠度 并描出梁挠曲线的大致形状 已知 并描出梁挠曲线的大致形状 已知 eiei为常量 为常量 解解 a 由图 5 18a 1 b 由图 5 18b 1 5 5 7 7 5 5 25 25 松木桁条的横截面为圆形 跨长为松木桁条的横截面为圆形 跨长为 4m4m 两端可视为简支 全跨上作用有集度为 两端可视为简支 全跨上作用有集度为 的均布荷载 已知松的均布荷载 已知松 木的许用应力 弹性模量 桁条的许可相对挠度为 试求桁条 横截面所需的直径 桁条可视为等直圆木梁计算 直径以跨中为准 解解 均布荷载简支梁 其危险截面位于跨中点 最大弯矩为 根据强度条件有 从满足强度条件 得梁的直径为 对圆木直径的均布荷载 简支梁的最大挠度 为 而相对挠度为 由梁的刚度条件有 为满足梁的刚度条件 梁的直径有 由上可见 为保证满足梁的强度条件和刚度条件 圆木直径需大于 5 5 2424 图示木梁的右端由钢拉杆支承 已知梁的横截面为边长等于图示木梁的右端由钢拉杆支承 已知梁的横截面为边长等于 0 200 20 m m 的正方形 的正方形 钢拉杆的横截面面积 钢拉杆的横截面面积 试求拉杆的伸长 试求拉杆的伸长 及梁中点沿及梁中点沿 铅垂方向的位移铅垂方向的位移 解解 从木梁的静力平衡 易知钢拉杆受轴向拉力 40 于是拉杆的伸长 为 木梁由于均布荷载产生的跨中挠度 为 梁中点的铅垂位移 等于因拉杆伸长引起梁中点的刚性位移 与中点挠度 的和 即 第六章第六章 简单超静定问题简单超静定问题 6 6 1 1 试作图示等直杆的轴力图 试作图示等直杆的轴力图 解解 取消a端的多余约束 以 代之 则 伸长 在外力作用下杆产生缩短变 形 因为固定端不能移动 故变形协调条件为 故 故 6 6 2 2 图示支架承受荷载图示支架承受荷载 各杆由同一材料制成 其横截面面积分别为各杆由同一材料制成 其横截面面积分别为 和和 试求各杆的轴力 试求各杆的轴力 解 设想在荷载f作用下由于各杆的变形 节点a移至 此时各杆的变形 及 如图所 示 现求它们之间的几何关系表达式以便建立求内力的补充方程 即 亦即 将 代入 得 即 亦即 1 此即补充方程 与上述变形对应的内力 如图所示 根据节点a的平衡条件有 亦即 2 亦 即 3 联解 1 2 3 三式得 拉 拉 压 6 6 3 3 一刚性板由四根支柱支撑 四根支柱的长度和截面都相同 如图所示 如果荷载一刚性板由四根支柱支撑 四根支柱的长度和截面都相同 如图所示 如果荷载f f作用在作用在a a 点 试求这四根支柱各受力多少 点 试求这四根支柱各受力多少 解解 因为 2 4 两根支柱对称 所以 在f力作用下 变形协调条件 补充方程 求解上述三个方程得 6 6 4 4 刚性杆刚性杆abab的左端铰支 两根长度相等 横截面面积相同的钢杆的左端铰支 两根长度相等 横截面面积相同的钢杆cdcd和和efef使该刚性杆处于水使该刚性杆处于水 平位置 如图所示 如已知平位置 如图所示 如已知 两根钢杆的横截面面积 两根钢杆的横截面面积 试求两杆的轴力 试求两杆的轴力 和应力 和应力 解解 1 又由变形几何关系得知 2 联解式 1 2 得 故 6 6 7 7 横截面为横截面为 250mm250mm 250mm250mm 的短木柱 用四根的短木柱 用四根 40mm40mm 40mm40mm 5mm5mm 的等边角钢加固 并承受压力的等边角钢加固 并承受压力 f f 如图所示 已知角钢的许用应力 如图所示 已知角钢的许用应力 弹性模量 弹性模量 木材的许用应力 木材的许用应力 弹性模量 弹性模量 试求短木柱的许可荷载 试求短木柱的许可荷载 解解 1 木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件 1 由木柱与角钢间的变形相容条件 有 2 由物理关系 3 式 3 代入式 2 得 4 解得 代入式 1 得 2 许可载荷 由角钢强度条件 由木柱强度条件 故许可载荷为 6 6 9 9 图示阶梯状杆 其上端固定 下端与支座距离图示阶梯状杆 其上端固定 下端与支座距离 已知上 下两段杆的横截面面积 已知上 下两段杆的横截面面积 分别为分别为 和和 材料的弹性模量 材料的弹性模量 试作图示荷载作用下杆的轴力图 试作图示荷载作用下杆的轴力图 解解 变形协调条件 故 故 6 6 1010 两端固定的阶梯状杆如图所示 已知两端固定的阶梯状杆如图所示 已知acac段和段和bdbd段的横截面面积为段的横截面面积为a a cdcd段的横截面面积段的横截面面积 为为 2 2a a 杆材料的弹性模量为 杆材料的弹性模量为 线膨胀系数 线膨胀系数 1 1 试求当温度升高 试求当温度升高 后 该杆各部分产生的应力 后 该杆各部分产生的应力 解解 设轴力为 总伸长为零 故 6 6 1111 图示为一两端固定的阶梯状圆轴 在截面突变处承受外力偶矩图示为一两端固定的阶梯状圆轴 在截面突变处承受外力偶矩 若 若 试求固 试求固 定端的支反力偶矩定端的支反力偶矩 并作扭矩图 并作扭矩图 解解 解除b端多余约束 则变形协调条件为 即 故 即 解得 由于 故 6 6 1212 一空心圆管一空心圆管a a套在实心圆杆套在实心圆杆b b的一端 如图所示 两杆在同一横截面处各有一直径相同的贯的一端 如图所示 两杆在同一横截面处各有一直径相同的贯 穿孔 但两孔的中心线构成一个穿孔 但两孔的中心线构成一个 角 现在杆角 现在杆b b上施加外力偶使杆上施加外力偶使杆b b扭转 以使两孔对准 并穿扭转 以使两孔对准 并穿 过孔装过孔装上销钉 在装上销钉后卸除施加在杆上销钉 在装上销钉后卸除施加在杆b b上的外力偶 试问管上的外力偶 试问管a a和杆和杆b b横截面上的扭矩为多横截面上的扭矩为多 大 已知管大 已知管a a和杆和杆b b的极惯性矩分别为的极惯性矩分别为 两杆的材料相同 其切变模量为 两杆的材料相同 其切变模量为g g 解解 解除 端约束 则 端相对于截面c转了 角 因为事先将杆b的c端扭了一个 角 故变形协调条件为 0 故 故 故连接处截面c 相对于固定端 的扭转角 为 而连接处截面c 相对于固定端i的扭转角 为 应变能 6 6 1515 试求图示各超静定梁的支反力 试求图示各超静定梁的支反力 b 解解 由相当系统 图 ii 中的位移条件 得补充方程式 因此得支反力 根据静力平衡 求得支反力 剪力图 弯矩图 挠曲线图分别如图 iii iv v 所示 c 解解 由于结构 荷载对称 因此得支反力 应用相当系统的位移条件 得补充方程式 注意到 于是得 剪力图 弯矩图 挠曲线分别如图 iii iv v 所示 其中 若 截面的弯矩为零 则有 整理 解得 或 6 6 2121 梁梁abab的两端均为固定端 当其左端转动了一个微小角度的两端均为固定端 当其左端转动了一个微小角度 时 试确定梁的约束反力时 试确定梁的约束反力 解解 当去掉梁的a端约束时 得一悬臂梁的基本系统 图 a 对去掉的约束代之以反力 和 并限定a截面的位移 这样得到原结构的相当系统 图 b 利用位移条件 与附录 得补充式方程如下 1 2 由式 1 2 联解 得 从静力平衡 进而求得反力 是 第第七章七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 7 7 4 4 一拉杆由两段杆沿一拉杆由两段杆沿m m n n面胶合而成 由于实用的原因 图中的面胶合而成 由于实用的原因 图中的 角限于角限于 范围内 作范围内 作 为 假定计算 为 假定计算 对胶合缝作强度计算时可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比对胶合缝作强度计算时可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比 较 现设胶合缝的许用切应力较 现设胶合缝的许用切应力 为许用拉应力为许用拉应力 的的 3 43 4 且这一拉 且这一拉杆的强度由胶合缝的强度控杆的强度由胶合缝的强度控 制 为了使杆能承受最大的荷载制 为了使杆能承受最大的荷载f f 试问 试问 角的值应取多大 角的值应取多大 解解 按正应力强度条件求得的荷载以 表示 按切应力强度条件求得的荷载以 表示 则 即 当 时 时 时 时 由 随 而变化的曲线图中得出 当 时 杆件承受的荷载最大 若按胶合缝的 达到 的同时 亦达到 的条件计算 则 即 则 故此时杆件承受的荷载 并不是杆能承受的最大荷载 最大荷载随角度变化曲线 0 000 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 0102030405060 斜面倾角 度 fmax n fmax t fmax nfmax t 7 7 6 6 试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为 0 72m0 72m 的截面上 在顶面以下的截面上 在顶面以下 40mm40mm 的一点的一点 处的最大及最小主应力 并求最大主应力处的最大及最小主应力 并求最大主应力与与x x轴之间的夹角 轴之间的夹角 解解 由应力圆得 7 7 7 7