数模论文鲑鱼数量变化问题的研究.doc

中 北 大 学数学建模论文学 生 姓 名：学 号：学 院、系：理学院数学系专 业：信息与计算科学课程名称数学建模论文题目：鲑鱼数量变化问题的研究指导教师 2010年 5月 1 日鲑鱼数量变化问题的研究摘要 对于鲑鱼数量变化问题，本文通过假设将各个时期鲑鱼的变化情况表示出来，列出了相互对应的方程。由于列出的方程有一个是微分方程，只能求出其通解，通过方程之间的相互代换将短期内连续的微分方程转化成长期离散变化的差分方程，通过假设定值及运用数值法进行定量分析，求出了在一定条件下可以得出鲑鱼数量是按照周期性变化的，其周期数是稳定值，符合迭代收敛的定义，因此得到了鲑鱼数量周期变化的规律。通过稳定性分析，给出了鲑鱼数量周期变化的条件。关键词：迭代收敛，微分方程，差分方程，周期变化1 问题的提出 海洋中鱼的数量通常是按繁殖期的长短呈周期变化的，以太平洋里的鲑鱼为例，其生长、繁殖过程大致是，成年的鱼产下大量的卵，在卵成长为幼鱼和幼鱼长大的过程中，相当大的部分被成年的鱼吃掉，剩下来的还要被恶劣的环境淘汰一些，而成年的鱼在产卵后则活不了多久就会死掉。这样，如果我们在每个产卵期到来之前观察鲑鱼的数量，可以发现按照一定规律的周期变化，用什么样的模型能在产卵期到来之前观察鲑鱼的数量，可以发现按照一定规律的周期变化，用什么样的模型既能在时间的离散点上（产卵期即将到来时）描述成年鲑鱼的数量变化，又能在每个繁殖期内描述从卵、幼鱼到成年鱼的演变过程，从而达到研究成年鲑鱼数量周期变化规律的目的。2 问题的分析和符号说明用表示第n个繁殖期（周期）开始时成年鲑鱼的数量，以条数计，很大，可达数量级。用表示用在产卵期到来之前观察鲑鱼的数量，表示在每个周期内的时刻t幼鱼的数量。为了把产卵过程和幼鱼被环境淘汰的作用分离出来，不妨设很小。在内允许数量上的突变，这种表示法的用处下面可以看出。3 模型的假设利用上面的符号将鲑鱼繁殖、成长和淘汰的假设叙述如下：（1）与成正比，比例系数相当于一条鱼的产卵量。（2）单位时间内减少的比例与成正比，比例系数反映鲑鱼吞食幼鱼的能力。（3）与成正比，比例系数表示在繁殖期末幼鱼存活长成鲑鱼的比例。4 模型的建立由上面的假设可以列出相对应如下的方程： （1） （2） （3）对方程（2）进行求解，已知初始条件当时，可得方程 （4）将方程（1）、（4）代入方程（3）可得 (5)而此时方程（5）即可以表示成年鲑鱼在时间的离散点上（产卵期即将到来时）的数量变化，而鲑鱼在产卵期到来之前的数量为 (6)的变化取决于的变化，因此只要知道的变化情况即可以确定的变化5 模型求解及结果 对于方程（5），可以记 （7）则方程（5）可以改写为 （8）由于此方程无法用显式的形式求出的表达式，故只有用递推法求其数值解，设（1表示一个数量单位，其数量级为），成年鲑鱼能吞食掉的幼鱼，即，将其代入（4）、（7）两式可得，如果取分别为， 则将代入（8）式进行递推计算，表中的值为，如下表所示成年鲑鱼数量变化表01.00001.00001.000010.50000.90001.500021.11771.90192.010830.92420.80091.184441.04361.98532.639050.97230.73100.565361.01612.20783.412770.98950.69730.210481.00582.04222.249290.99590.68610.9025101.00192.04603.1659110.99830.68320.2904121.00052.04682.7292130.99910.68260.5056140.99992.04703.3603150.99950.68240.2254160.99972.04712.3520170.99960.68240.7998180.99972.04713.3101190.99960.68240.2407 200.99972.04712.4509通过观察表可以发现，当时，出现了稳态值为，此时与初始值近似相等，说明在其成年鲑鱼数量变化是具有周期的。当时，交替出现了两个稳态值，即和，说明在时其成年鲑鱼数量不具有单周期性。当时，的变化看不出具有什么周期性，故此时在成年鲑鱼数量也不具有周期性。此结果虽然是观察出来的，具有一定的片面性，但是其从实际的角度仍然具有一定的可靠性，所以可以认为其结论成立。6 稳定性分析研究对于不同的值，成年鲑鱼数量的变化规律也是不同的，外我们运用差分方程的求解的迭代过程的收敛性（见附录），得出的解来讨论方程（8）的稳定性和平衡点。设方程（8）的平衡点为，则其满足 （9）（也是其平衡点，但是其与实际意义不符，其值必需大于零，因此将其舍去）解方程（9）可得 （10）由迭代过程的收敛性条件可得其平衡稳定的条件是，此时由于 故当时，可得时是稳定平衡点，当时，不稳定。此结果显示是否稳定只与有关，而与无关，其实是相互关联的，在此只是数值上的不相关。由上述分析可知在时，是稳定的，且时，根据方程（10）可得，与表中得出的很相近，可以认为其近似相等，而当时，则不是稳定的，与表所得的结果相一致。7 模型的评价此模型的应用很广，几乎对于所有的周期性生物繁殖问题大都可应用。此外在给定数据的情况下也可以用来研究社会的发展问题，例如我们古时候朝代的兴衰，周期性的气候变化等等。解决此模型最大的优点在于，其将连续的不可求得结果的方程模型转化成离散的可以求得结果的模型，使问题得到大大的简化。而解决此问题最大的不足在于只讨论了时稳定的条件，而在情况下则没有深入的讨论，例如在时，出现了两倍周期的收敛情况，由于所学知识的限制没有能够给出必要的解释。根据值的不同，在迭代次数超过一定的情况下，有可能会出现倍周期，倍周期甚至倍周期的收敛情