数学物理方程第二版习题解答 第四章.pdf

59 第四章第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结二阶线性偏微分方程的分类与总结 1 二阶方程的分类二阶方程的分类 1 证明两个自变量的二阶线性方程经过可逆变换后它的类型不会改变，也就是说，经可逆变换后 2211 2 12 aaa=的符号不变。 证：因两个自变量的二阶线性方程一般形式为 fcuububuauaua yxyyxyxx =+ 21221211 2 经可逆变换 = = ),( ),( yx yx xx 0 ),( ),( yxD Dx 化为 fucubuauaua=+ xxx2221211 2 其中 += += += 2 2212 2 1122 22121112 2 2212 2 1111 2 )( 2 yyxx yyxyyxxx yyxx aaaa aaaa aaaa xxxx xxxx 所以 yxyxyxyxxyyx aaaaaaaxxxxxx 221111 2222 12 2 2211 12 2 22)(+= 2 2 2211 12 22222 2211 ),( ),( )()( =+ yxD D aaaaa xyyxyxyx x xxxx 因0 ),( ),( 2 yxD Dx ，故与同号，即类型不变。 2 判定下述方程的类型 （1）0 22 = yyxx uyux （2）0)( 2 =+ yyxx uyxu （3）0=+ yyxx xyuu （4）) 01 00 01 (sgn0sgn2sgn =+ x x x xxuuyu yyxyxx (5) 0424=+ zzyyxzxyxx uuuuu 解：(1)0 22 = yyxx uyux 因 0 22 =yx 当0, 0yx时0, 0=x或0=y时0=。 即在坐标轴上方程为抛物型， 其余处为双曲型。 （2）0)( 2 =+ yyxx uyxu 因 0)( 2 +=yx，在直线0=+ yx上，0=为抛物型，其余处0，为双曲型；在一，三象限内0=，为抛物型；在二，四 象限内0 ，为双曲型。 （5）0424=+ zzyyxzxyxx uuuuu 因对应二次型为 2 3 2 23121 2 1 424xxxxxxx+ 相应对称矩阵为 101 042 121 其特征方程为 60 0)446( 101 042 121 23 =+= 记 )446()( 23 +=f 经计算得： 28)6( 1)5(, 4)2(, 3) 1 (, 4)0( , 7 ) 1( = = f fffff 说明A的三个特征值分别在区间() () ()6 , 5,2 , 1,0 , 1中，故方程为双曲型的。 3 化下列方程为标准形式 （1）0254=+ yxyyxyxx uuuuu （2）02 22 =+ yyxyxx uyxyuux （3）0=+ yyxx yuu （4）0)sin3(cos2 2 =+ yyyxyxx yuuxxuu （5）0)1 ()1 ( 22 =+ yxyyxx yuxuuyux 解： （1）0254=+ yxyyxyxx uuuuu 因 0154=+=xx为双曲型.特征方程为 0)sin3(cos2)( 22 =+x dx dy x dx dy 解之得 2cos=x dx dy =+ =+ += += 2 1 2 1 2sin 2sin 2sin 2sin cxxy cxxy cxxy cxxy 因此引变换 = += yxx yxx sin2 sin2 x 有 )cos2()cos2(x u x u x u + = x x x x + + + += u x u x u x u x u x x u sinsin)cos2()cos4(2)cos2( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x = uu y u 2 22 2 2 2 2 2 x x + = uuu y u 2 22 2 22 )cos2()cos2()cos2( x x + += u x u x u x yx u 代入化简得 0)( 32 2 = x x x uuu (5) 0)1 ()1 ( 22 =+ yxyyxx yuxuuyux 因 0)1)(1 ( 22 +=yx为椭圆形。特征方程为 62 0 1 1 )( 2 2 2 = + + + x y dx dy 即 2 2 1 1 x y i dx dy + + = 解之得 1 22 )1ln()1ln(cxxiyy+=+ 因此引变换 += += )1ln( )1ln( 2 2 yy xx x 有 2 1 2) 1 ( + = x u x u x x x + + = u xx u xx u )1 ( 1 1 2 3 2 2 2 22 2 2 1 2) 1 ( + = y u y u + + = u yy u yy u )1 ( 1 1 2 3 2 2 2 22 2 代入化简得 0 2 2 2 2 = + x uu 4.证明两个自变量的二阶常系数双曲型方程或椭圆型方程一定可以经过自变量的变换及函数变换 veu ux+ =将它化成 fcvvv=+ xx 的形式. 证:已知可通过某个可逆变换将双曲型或椭圆型化为标准型 0 1= +fbububuauuu xxx 其中 a,b,c 当原方程为常系数时为常数. 再令 x x ,( veu u+ =) 有 )(vveveveu uuu xx xxx x +=+= + )(uvveu u += + x )2( )2( 2 2 vuuvveu vvveu u u += += + + x xxx x xx 代入方程得 0)()2()2( 1 22 =+ + fvdbuauvubvavve u xxx x 因 xu e + 不等于零,且取 2 , 2 b u a =,消去 xu e + 得 0) 2244 ( )( 1 2222 =+ +x xx u efvd baba vv 记 c ba d= 44 22 ,fef u = +)( 1 x 即得所求. 2 二二 阶阶 方方 程程 的的 特特 征征 理理 论论 1、 求下列方程的特征方程和特征方向 2 4 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 ) 1 ( x u x u x u x u + = + 2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 )2( x u x u x u t u + + = 2 2 2 2 )3( y u x u t u + = 解：解： 2 4 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 ) 1 ( x u x u x u x u + = + 特征方程 2 4 2 3 2 2 2 1 +=+ 又 1 2 4 2 3 2 2 2 1 =+ 所以 2 1 2 4 2 3 2 2 2 1 =+=+ 引实参数,得特征方向为 sin 2 1 ,cos 2 1 ,sin 2 1 ,cos 2 1 2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 )2( x u x u x u t u + + = 特征方程 0)( 2 3 2 2 2 1 2 0 =+ 又 1 2 3 2 2 2 1 2 0 =+ 63 所以 2 1 2 3 2 2 2 1 2 0 =+= 2 1 2 0 = 即任一点特征方向与t轴交角为 4 。 2 2 2 2 )3( y u x u t u = 特征方程 0 2 2 2 1 = 又 1 2 2 2 1 2 0 =+ 所以 12 2 1 2 0 =+ 引实参数,得特征方向为 sin 2 1 ,sin 2 1 ,cos 2、证明经过可逆的坐标变换), 1)(,( 1 niyyfx nii =，原方程的特征曲面变为经变换后 的新方程的特征曲面，即特殊性征曲面关于可逆坐标变换具有不变性。 证：证：讨论的是二阶线性方程 FCu x u B xx u A n i i i n ji ji ij =+ + =11, 2 它的特征曲面0),( 1 = n xxG的法矢量满足 = = n ji ji ij x G x G A 1, 0 对任一可逆的坐标变换： =存在且 i j n n nii x y yyD xxD yyfx0 ),( ),( ),( 1 1 1 将求导式 t l n l li x y y u x u = =1 jt l n l lj k t l n kj lkji xx y y u x y x y yy u xx u + = = 2 11, 22 代入原方程，得u关于 n yy, 1 的方程： = + n ji jt l n l lj k t l n lk lk ij xx y y u x y x y yy u A 1, 2 11, 2 Fcu x y y u B n i t l n j l i =+ + =11 交换求和次序，简写二次求导以下的项，得 = =+ + n l l l n lk lk n ji j k i l ijij Fcu y u B yy u x y x y AA 11, 2 1, 设它的特征曲面为0),( 1 * = n yyG则其法向 n y G y G * 1 * ,满足： ) 1 (0 * 1,1, = = lk n lk n ji j k i l ij y G y G x y x y A 另一方面对原方程的特征曲面经同样变换得特征曲面为： ),(),(,),( 11111nnnn yyGyyfyyfG 从 j k n l hit l n l li x y y G x G x y y G x G = = =1 1 1 1 代入所满足的方程得 )2(0 11 1,1, 1,1,1 1 1 1 = = = = = kl n lk j k i l ij n ji n ji n ji n k j k k n l l l l ij ji ij y G y G x y x y A x y y G x y y G A x G x G A 由（1） ， （2）知 * 1 GG = 即经可逆坐标变换后特征曲面不变。 3 证二阶偏微分方程解的m阶弱间断（即直至1m阶导数为连续，m阶导数间断）也只可能 沿着特征发生。 64 证：证：二阶线性偏微分方程m阶弱间断解沿0),( 1 = m xx 发生这个问题与下面的提法相当: 如果在0),( 1 = n xx 上给定了函数u及其所有直到1m阶导数的值(应不相矛盾),能不能利用这 些值以及方程: = =+ + n i i i n ji ji ij fcu x u b xx u a 11, 2 来唯一确定u的m阶偏导数在0),( 1 = m xx 上的数值。易见,如果能够唯一地确定u的m阶导数 之值，则0),( 1 = n xx 就不能为阶弱间断面。 现用反正法。设m阶偏导数间断在0),( 1 = n xx 上发生，0),( 1 = n xx 为非特征曲面, 即 = n ji ji ij xx u a 1, 2 引入新变量 n xx, 1 代替 n xx, 1 ,即 () nii xxxx, 1 = 且使x= n ,而当0= n x时得 (), 1(, 1 nigx nii =xx 恰为曲面0=的参数表示.。 这时有 t k n k ki x u x u = = x x 1 + = = = j l t kl n lk lki kl n k kjji xx u x u xxx uxx xx x x 1, 2 1 2 )( 代入原方程得u关于 n xx, 1 的方程 = =+ + + n i i k k n k i n ji j l t kl n lk lk ij fcu x u b xx u a 111,1, 2 x x xx xx 或 f u xx a n n ji j n i n ji =+ = 2 2 1, , x xx = = f u xx a n n ji j n i n ji 2 2 1, , x xx 其中省略的项仅含有uu,的一阶偏导数,二阶内导数以及u的只含有一次外导数的项。 在0),( 1 = n xx 上,因0=xn,由假定 = n ji j n i n ji xx a 1, , 0 xx 由此得 = = n ji j n i n ji n xx af u 1, , 2 2 )( xx x 在此式两边对 n x求2m阶导数得 = m n mu x 其中右边省略号仅含有uu,的直到1m阶的偏导数,以及u的直到m阶但上导数最多到1m阶的 偏导数.因此右边的项在0),( 1 = n xx 上为已知,从而由此等式知u的m阶偏导数也唯一确定,与 假定矛盾,即得所证。 4、 试定义n阶线性偏微分方程的特征方程、特征方向和特征曲面。 解：解：k个自变量的n阶线性偏微分方程一般形式为 ) 1 (0 1 1 1 1 =+ =+ nll l k l ll k k n xx u A 以上仅写出最高阶偏导数的项。设有空间曲面0),( 1 = n xxG成为（1）的某个弱间断解的某个间 断面，我们就定义此曲面为（1）的特征曲面，其法线方向为特征方向，该曲面所满足的方程（条件） 为特征方程。 下面来推导特征曲面0),( 1 = n xxG满足的条件。与二阶类似，弱间断解与以下问题 65 相当：在0),( 1 = n xxG上给定u及其1n阶偏导数的值。能不能利用这些值以及方程（1）来唯 一决定u的n阶偏导数的值。 为此引入新变量使 n xx, 1 ，使),( 1nk xxG=x，而当0= k x时 (), 1(, 1 kigx nii =xx 为曲面0=G的参数式。设此变换为 (), 1(, 1 kixx nii =xx 则有 i m k m m i x u x u = = x x 1 一般地 + = k k l k klk n k n l k l x n xx u xx u )()( 1 1 1 1 xx x 其中省略号中仅含有低于对 k x的 n 阶偏导数的项。代入（1）式得 u 关于 k xx,的方程 0)()( 1 1 1 1 =+ =+ n n nll l k klk ll u xx A k k k x xx 由此知当在 G0),( 1 = k xx 上 =+nll k 1 k k l k klk ll xx A)()( 1 1 1 xx = =+ nll l k l ll k k k x G x G A 1 1 1 0)()( 1 时，u 对x的 n 阶外导数唯一确定，因此不可能产生间断。因此弱间断面必须满足 0)()( 1 1 1 1 = =+ k k k l nll k l ll x G x G A 此既 G 应满足的条件。满足此条件的曲面 G0)( 1 = k xx 叫做特征曲面，其法线方向叫做 特征方向，记 ), 1(ki x G i i = = 代入上式，得特征应满足的条件： =+nll k 1 0 1 1 1 = k k l k l ll A 叫做特征方程。 3 三类方程的比较三类方程的比较 1 试回顾以前学过的求解偏微分方程定解问题的诸方法，并指出迭加原理在哪里被用到。 解： 1. 将非齐次方程定解问题化为一个齐次方程定解问题和一个非齐次方程但有零初始条件的 问题。它利用了线性方程可迭加原理 2齐次化原理。它实质上也利用了线性方程可迭加的原理 3分离变量法。它很大一部分利用迭加的原理 4行波法解一维波动方程 5平均值法三维波动方程柯西问题 6降维法解二维波动方程柯西问题 7富里埃变换法 8格林函数法解拉普拉斯方程的边值问题。 2 证明热传导方程 2 2 2 x u a t u = 混合问题 = = )() 0 , ( 0),(), 0( xxu tlutu 的解关于自变量 x（0x0） 可进行任意次微分。 证：由分离变量法知，这个混合问题的解 为 = = = xdx l n x l c x l n ectxu l n n t l an n 0 1 )( sin)( 2 sin),( 2 当)(x有界可积时， n c有界，此时级数在 0 tt，级数以 = 1 )( 2 0 2 )()( n t l an e l n l an M 为优级数。用比值法，易 证此优级数收敛。因此原级数绝对收敛且一致收敛。得证。 3 举例说明弦振动方程不成立极值原理。 解： 函数sinatsinxt)u(x,=满足 = = = = = xauu uu x u a t u t t t nxx sin, 0 0 00 0 2 2 2 2 2 它在边界 t=0,x=0,x=上为零，内部不为零。因此与热传导混合问题类似的极值原理不存在。 对柯西问题： = = = = x tt e t u u x u a t u 00 2 2 2 2 2 |0| 解为 2 2 1 2 1 ,( atat atx atx x atxatx ee a e ee a de a txu + + = x x ） 0=shat a ex 但在边界 t=0，u 为零。因而不成立极值原理。 4. 若曲线 s 将区域分成 1 与 2 两部分，函数 u(x,y)在 21, 内分别二次连续可微，且满 足拉普拉斯方程u=0，又 u 在 s 上一阶导数连续，试证明函数 u(x