构造函数法证明不等式的八种方法.doc

导数之构造函数法证明不等式1、移项法构造函数【例1】 已知函数，求证：当时，恒有【解】 当时，即在上为增函数 当时，即在上为减函数故函数的单调递增区间为，单调递减区间于是函数在上的最大值为，因此，当时，即 （右面得证），现证左面，令， 当 ，即在上为减函数，在上为增函数，故函数在上的最小值为，当时，即，综上可知，当 2、作差法构造函数证明【例2】已知函数 求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方；【解】设，即，则=当时，=从而在上为增函数，当时 ，即，故在区间上，函数的图象在函数的图象的下方。3、换元法构造函数证明【例3】证明：对任意的正整数n，不等式 都成立.只需令【解】令，则在上恒正，所以函数在上单调递增，时，恒有 即，对任意正整数n，取4、从条件特征入手构造函数证明【例4】若函数y=在R上可导且满足不等式x恒成立，且常数a，b满足ab，求证：ab【解】由已知 x+0 构造函数 ， 则 x+0， 从而在R上为增函数。 即 ab5、构造二阶导数函数证明导数的单调性例已知函数(1)若f(x)在R上为增函数,求a的取值范围;(2)若a=1,求证:x0时,f(x)1+x解：(1)f(x) aex，（）在上为增函数，f(x)对恒成立，即-对恒成立记（）-，则()-=(1-x)e-x，当时，（），当时，（）知（）在(-,1)上为增函数,在(1,+ )上为减函数, g(x)在x=1时,取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e, a1/e,即a的取值范围是1/e, + ) (2)记F(X)=f(x) (1+x) =则F(x)=ex-1-x,令h(x)= F(x)=ex-1-x,则h(x)=ex-1当x0时, h(x)0, h(x)在(0,+ )上为增函数,又h(x)在x=0处连续, h(x)h(0)=0即F(x)0 ,F(x) 在(0,+ )上为增函数,又F(x)在x=0处连续, F(x)F(0)=0,即f(x)1+x6.对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）例：证明当7.构造形似函数例：证明当例：已知m、n都是正整数，且证明：强化训练： 1、设求证：当时，恒有2、已知定义在正实数集上的函数其中a0，且， 求证：3、已知函数，求证：对任意的正数、，恒有4、是定义在（0，+）上的非负可导函数，且满足0，对任意正数a、b，若a k(x+)对x(0,1)恒成立，求k的最大值.14.设函数f(x)=alnx+,曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处切线方程为y=e(x-1)+2.()求a,b；()证明：f(x)1.利用导数求函数单调性15.已知函数f(x)=-2x.()讨论f(x)的单调性()设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x0时，g(x)0,求b的最大值；16.函数f(x)=ln(x+1)-(a1)讨论f(x)的单调性17.已知函数f(x)=xcosx-sinx,x0,，求证：f(x)0；18、已知函数,，其中R .（1）讨论的单调性；（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（3）设函数, 当时，若存在，对于任意的，总有成立，求实数的取值范围 19、已知函数.（）求函数的单调区间；（）设，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 20、设函数表示的导函数，（其中）（1）求的单调区间（2）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围21、已知函数,，其中R（）讨论的单调性；（）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（）设函数