湘教版高中数学选修2-2《6.2.1 直接证明：分析法与综合法》ppt课件.ppt

1 了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法 了解分析法和综合法的思考过程与特点 2 结合已学过的数学实例 体会综合法的两种形象化说法 顺推证法 或 由因导果法 分析法又叫 逆推证法 或 执果索因法 了解综合法与分析法的流程框图 思考过程及特点 6 2直接证明与间接证明 6 2 1直接证明 分析法与综合法 课标要求 1 综合法是从数学题的出发 经过逐步的最后达到待证结论或需求的问题 它是由 即 由因导果 2 分析法是从数学题的出发 一步一步地探索下去 最后达到 它是由 即 执果索因 自学导引 已知条件 逻辑推理 已知走向求证 待证结论或需求问题 题设的已知条件 求证走向已知 综合法与分析法的优点是什么 提示综合法的优点 叙述简洁 直观 条理清楚 而且可使我们从已知的知识中进一步获得新的知识 分析法的优点 更符合人们的思维规律 利于思考 思路自然 在探求问题的证明时 它可帮助我们构思 应该指出的是不能把分析法和综合法绝对分开 正如恩格斯所说 没有分析就没有综合 一样 分析与综合是相比较而存在的 它们既是对立的 又是统一的 严格地讲 分析是为了综合 综合又需根据分析 因而有时在一个命题的论证中 往往同时应用两种方法 有时甚至交错使用 自主探究 综合法是从已知条件 定义 定理 公理出发 寻求命题成立的 A 充分条件B 必要条件C 充要条件D 充分不必要条件 预习测评 1 答案B 分析法是 A 执果索因的逆推法B 执因导果的顺推法C 因果分别互推的两头凑法D 寻找结论成立的充要条件的证明办法答案A 2 答案p q 若抛物线y 4x2上的点P到直线y 4x 5的距离最短 则点P的坐标为 4 1 综合法是中学数学证明中常用的一种方法 它是一种从已知到未知 从题设到结论 的逻辑推理方法 即从题设中的已知条件或已证的真实判断 命题 出发 经过一系列的中间推理 最后导出所要求证结论的真实性 简言之 综合法是一种由因导果的证明方法 其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法 要点阐释 应用综合法时 应从命题的前提出发 在选定了真实性是无可争辩的出发点以后 它基于题设或已知的真命题 再依次由它得出一系列的命题 或判断 其中每一个都是真实的 但它们并不一定都是所需求的 且最后一个必须包含我们要证明的命题的结论时 命题得证 并非一上来就能找到通达命题结论的思路 只是在证明的过程中对每步结论进行分析 推敲 比较 选择后才能得到 当然 在较多地积累一些经验 掌握一些证法之后 可较为顺利地得到证明的思路 而在证明的叙述时 直接叙述这条思路就够了 2 分析法是数学中常用到的一种直接证明方法 就证明程序来讲 它是一种从未知到已知 从结论到题设 的逻辑推理方法 具体说 即先假设所要证明命题的结论是正确的 由此逐步推出保证此结论成立的必要的判断 而当这些判断恰恰都是已证的命题 定义 公理 定理 法则 公式等 或要证命题的已知条件时 命题得证 应该强调的一点 它不是由命题的结论去证明前提 因此 分析法是一种执果索因的证明方法 这种证明方法的逻辑依据是三段论式的演绎推理方法 一般来讲 分析法有两种证明途径 1 由命题结论出发 找结论成立的充分条件 逐步推演下去 2 由命题结论出发 找结论成立的必要条件 逐步推演下去 应该指出 应用分析法时 并非一开始就确信由结论出发所产生的那些推断 或命题 都正确 各个推理步骤及依次考虑的概念 定理 法则等都合适 这种推理方法仅仅是建立与需要证明的命题的等效关系 因而需要从这些关系中逐个考查 逐个思索 逐个分析 逐个判断 在得到了所需的确定结论时 它们是已证的命题或已知的条件 才知道前面各步推理的适当与否 从而找出证明的路子 当证题不知从何入手时 有时可以运用分析法而获得解决 特别是对于条件简单而结论复杂的题目 往往有效 另外对于恒等式的证明 也同样可以运用 用分析法证 若P则Q 这个命题的模式是 为了证明命题Q为真 这只需证明命题P1为真 从而有 这只需证明命题P2为真 从而有 这只需证明命题P为真 而已知P为真 故Q必真 设数列 an 的前n项和为Sn 且 3 m Sn 2man m 3 n N 其中m为常数 且m 3 典例剖析 题型一综合法的应用 例1 点评本题要证明数列为等差 等比数列 通过定义可寻求解题思路 在证明过程中 恰当处理递推关系是本题证明的关键 用综合法证明时 证明思路的着眼点较难把握 一般地 靠综合分析或积累的经验 或分析法分析获得 因此用综合法证题时 要注意分析条件与结论的区别与联系 试证 以抛物线过焦点的弦为直径的圆与抛物线的准线相切 题型二分析法的应用 例2 点评分析法的思路与综合法正好相反 它是从要求证的结论出发 倒着分析 由未知想需知 由需知逐渐地靠近已知 即 已知条件 已经学过的定义 定理 公理 公式 法则等等 若a b c是三角形的三边长 试证方程b2x2 b2 c2 a2 x c2 0没有实根 证明要证方程无实根 只需证其判别式 b2 c2 a2 2 4b2c2 0即可 考虑到 b2 c2 a2 2bc b2 c2 a2 2bc b c 2 a2 b c 2 a2 b c a b c a b c a b c a 三角形任意二边之和大于第三边 故a b c b c a c a b 从而b c a 0 b c a 0 b c a 0 又a b c 0 故 0 从而原命题成立 题型三分析法与综合法的综合应用 例3 点评本题在证明过程中 前面两步应用了分析法 后面两步用了综合法 在实际证题时 常把分析法与综合法结合起来运用 有时先用分析法探求证题思路 再用综合法书写证明 另外 本题还可由 b2 c2 a2 2 4b2c2 2bccosA 2 4b2c2 4b2c2 cos2A 1 4b2c2sin2A 0直接证得 这里运用了余