2018届高考知识点透析及经典题型解析系列之计数原理与概率、随机变量及其分布.doc

第九章计数原理与概率、随机变量及其分布第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理两个计数原理完成一件事的策略完成这件事共有的方法分类加法计数原理有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法Nmn种不同的方法分步乘法计数原理需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法Nmn种不同的方法小题体验1(教材习题改编)书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有6本不同的体育书从第1,2,3层分别各取1本书，则不同的取法种数为()A3B15C21 D120解析：选D由分步乘法计数原理，从1,2,3层分别各取1本书不同的取法总数为456120(种)故选D.2(教材习题改编)从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数是_解析：从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，取出的两数都是偶数，共有3种方法；取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N336种答案：61分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的2分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步与步之间是相关联的小题纠偏1用0,1,2，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A243 B252C261 D279解析：选B0,1，2，9共能组成91010900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有998648(个)，有重复数字的三位数有900648252(个)2如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路，从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有_条不同的路线解析：不同路线共有344532(条)答案：32题组练透1某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A4种B10种C18种 D20种解析：选B分两种情况：4位朋友中有2个人得到画册，有C6(种)赠送方法；4位朋友中只有1个人得到画册，有C4(种)赠送方法，所以不同的赠送方法共有6410(种)，故选B.2椭圆1的焦点在x轴上，且m1,2,3,4,5，n1,2,3,4,5,6,7，则这样的椭圆的个数为_解析：因为焦点在x轴上，所以mn.以m的值为标准分类，由分类加法计数原理，可分为四类：第一类：m5时，使mn，n有4种选择；第二类：m4时，使mn，n有3种选择；第三类：m3时，使mn，n有2种选择；第四类：m2时，使mn，n有1种选择故符合条件的椭圆共有10个答案：103(2017临沂模拟)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为_解析：根据题意，将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8765432136(个)，故共有36个答案：36谨记通法利用分类加法计数原理解题时2个注意点(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；(2)分类时，注意完成这件事件的任何一种方法必须属于某一类，不能重复题组练透1将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是()A2 160B720C240D120解析：选B分步来完成此事第1张有10种分法；第2张有9种分法；第3张有8种分法，则共有1098720(种)分法2已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)(a，bM)表示平面上的点，则P可表示坐标平面上第二象限的点的个数为()A6 B12 C24 D36解析：选A确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a0，所以有2种方法由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是326.故选A.3从1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)ax2bxc的系数，则可组成_个不同的二次函数，其中偶函数有_个(用数字作答)解析：一个二次函数对应着a，b，c(a0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有33218(个)二次函数若二次函数为偶函数，则b0，同上可知共有326(个)偶函数答案：186谨记通法利用分步乘法计数原理解题时3个注意点(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事(3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定典例引领1如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A24B48C72D96解析：选C分两种情况：(1)A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，有43224(种)涂法(2)A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有432248(种)涂法故共有244872种涂色方法2已知集合M1,2,3,4，集合A，B为集合M的非空子集，若对xA，yB，xy恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有_个解析：当A1时，B有231种情况；当A2时，B有221种情况；当A3时，B有1种情况；当A1,2时，B有221种情况；当A1,3，2,3，1,2,3时，B均有1种情况所以满足题意的“子集对”共有7313317(个)答案：17由题悟法两个原理应用的关键(1)应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步(2)分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键(3)分步要做到“步骤完整”，步步相连才能将事件完成(4)较复杂的问题可借助图表完成即时应用1如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A48 B18 C24 D36解析：选D分类讨论：第一类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有21224(个)；第二类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个所以正方体中“正交线面对”共有241236(个)2.如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D 4块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则涂色方法共有_种(用数字作答)解析：从A开始涂色，A有6种涂色方法，B有5种涂色方法，C有4种涂色方法，D有4种涂色方法由分步乘法计数原理可知，共有6544480(种)涂色方法答案：480一抓基础，多练小题做到眼疾手快1a，b，c，d，e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同选法的种数是()A20B16C10 D6解析：选B当a当组长时，则共有144(种)选法；当a不当组长时，因为a不能当副组长，则共有4312(种)选法因此共有41216种选法2一购物中心销售某种型号的智能手机，其中国产的品牌有20种，进口的品牌有10种，小明要买一部这种型号的手机，则不同的选法有()A20种 B10种C30种 D200种解析：选C分类完成此事，一类是买国产品牌，有20种选法，另一类是买进口品牌，有10种选法由分类加法计数原理可知，共有201030(种)选法3某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从09这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1，3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有()A180种 B360种C720种 D960种解析：选D按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法因此车牌号码可选的所有可能情况有53444960(种)4从0,1,2,3,4这5个数字中任取3个组成三位数，其中奇数的个数是_解析：从1,3中取一个排个位，故排个位有2种方法；排百位不能是0，可以从另外3个数中取一个，有3种方法；排十位有3种方法故所求奇数的个数为33218.答案：185在2016年里约奥运会百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有_种解析：分两步安排这8名运动员第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排安排方式有43224(种)第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有54321120(种)安排这8人的方式有241202 880(种)答案：2 880二保高考，全练题型做到高考达标1设集合A1,0,1，集合B0,1,2,3，定义A*B(x，y)|xAB，yAB，则A*B中元素的个数是()A7 B10C25 D52解析：选B因为集合A1,0,1，集合B0,1,2,3，所以AB0,1，AB1,0,1,2,3，所以x有2种取法，y有5种取法，所以根据分步乘法计数原理得有2510(个)2从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为()A56 B54C53 D52解析：选D在8个数中任取2个不同的数共有8756(个)对数值，但在这56个对数值中，log24log39，log42log93，log23log49，log32log94，即满足条件的对数值共有56452(个)3从集合1,2,3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()中华.资*源%库 A3 B4C6 D8解析：选D当公比为2时，等比数列可为1,2,4或2,4,8；当公比为3时，等比数列可为1,3,9；当公比为时，等比数列可为4,6,9.同理，公比为，时，也有4个故共有8个等比数列4(2015四川高考)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A144个 B120个C96个 D72个中/华-资*源%库解析：选B当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2A个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有CA个偶数故符合条件的偶数共有2ACA120(个)5.如图是一个由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方法有()A24种 B72种C84种 D120种解析：选C如图，设四个直角三角形顺次为A，B，C，D，按AB CD顺序涂色，下面分两种情况：(1)A，C不同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色)：有432248(种)不同的涂法(2)A，C同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的3种颜色中任意取一色)：有431336(种)不同的涂法故共有483684(种)不同的涂色方法故选C.6集合Na，b，c5，4，2,1,4，若关于x的不等式ax2bxc0恒有实数解，则满足条件的集合N的个数是_解析：依题意知，集合N最多有C10(个)，其中对于不等式ax2bxc0，且b24ac0，因此只有当a，c同号时才有可能，共有2种情况，因此满足条件的集合N的个数是1028.答案：87在一个三位数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”，比如“102”，“546”为“驼峰数”由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有_个解析：十位上的数为1时，有213,214,312,314,412,413，共6个，十位上的数为2时，有324,423，共2个，所以共有628(个)答案：88.如图所示，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有_种解析：按区域分四步：第一步，A区域有5种颜色可选；第二步，B区域有4种颜色可选；第三步，C区域有3种颜色可选；第四步，D区域也有3种颜色可选由分步乘法计数原理，共有5433180(种)不同的涂色方法答案：1809已知ABC三边a，b，c的长都是整数，且abc，如果b25，则符合条件的三角形共有_个解析：根据三边构成三角形的条件可知，c3C，求m.解：(1)由CA1得(n1)(n2)1.即n27n60.解得n1，或n6.由A知，n3，故n6.(2)原不等式可化为，解得m.0m18，且0m8，1m8.又m是整数，m7或m8.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2016福州八中3月模拟)甲、乙等5人在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有()A12种 B24种C48种 D120种解析：选B甲、乙相邻，将甲、乙捆绑在一起看作一个元素，共有AA种排法，甲、乙相邻且在两端有CAA种排法，故甲、乙相邻且都不站在两端的排法有AACAA24(种)2四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有_种解析：如图，从10个点中任取4个点的组合数为C210，其中四点共面的可分为三类：(1)4点在同一个侧面或底面的共4组，即4C60(种)；(2)每条棱的中点与它对棱的三点共面的有6种；(3)在6个中点中，四点共面的有3种则4点不共面的取法共有210(6063)141(种)答案：1413从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？解：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有C种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有A种情况所以符合题意的七位数有CCA100 800(个)(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有CCAA14 400(个)(3)在(1)中的七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有CCAAA5 760(个)第三节二项式定理1二项式定理(1)二项式定理：(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN*)；(2)通项公式：Tk1Cankbk，它表示第k1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，C.2二项式系数的性质小题体验1(教材习题改编)已知a0，6展开式的常数项为15，则a_.解析：由6的常数项Ca415，且a0，可得a1.答案：12(12x)7展开式中x3的系数为_解析：Tr1C17r(2x)rC(2)rxr，令r3.则x3的系数为C(2)335(8)280.答案：2803(教材习题改编)8的展开式中的有理项共有_项解析：Tr1C()8rrrCx，r为4的倍数，故r0,4,8，共3项答案：31二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k1项2(ab)n与(ba)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒3易混淆二项式中的“项”，“项的系数”、“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C(k0,1，n)小题纠偏1(2016湖南长沙一模)二项式(x2)5展开式中x的系数为()A5B16C80 D80解析：选C由二项式定理知，其展开式中含x的项为T5Cx(2)4，故其系数为C(2)480.选C.2若(13x)n(其中nN且n6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n_.解析：(13x)n的展开式中含x5的项为C(3x)5C35x5，展开式中含x6的项为C36x6.由两项的系数相等得C35C36，解得n7.答案：7锁定考向二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题常见的命题角度有：(1)求展开式中的某一项；(2)求展开式中的项的系数或二项式系数；(3)由已知条件求n的值或参数的值 题点全练角度一：求展开式中的某一项1(2017济南模拟)设a(3x22x)dx，则二项式6展开式中的第4项为()A1 280x3B1 280C240 D240解析：选A由微积分基本定理知a4，6展开式中的第4项为T31C(4x2)331 280x3，选A.2(2016广州模拟)在15的展开式中，x的非负整数次幂的项的个数为_解析：展开式的通项为Tr1(1)rC()15rr(1)r2rCx，由题意知5r为非负整数，得r0或6，符合要求的项的个数为2.答案：2角度二：求展开式中的项的系数或二项式系数3(2015全国卷)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A10 B20C30 D60解析：选C(x2xy)5(x2x)y5，含y2的项为T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的项为Cx4xCx5.所以x5y2的系数为CC30，故选C.4(2015重庆高考)5的展开式中x8的系数是_(用数字作答)解析：Tr1C(x3)5rrCx153rrxrCx (r0,1,2,3,4,5)，由8，得r2，展开式中x8的系数是2C.答案：角度三：由已知条件求n的值或参数的值5(2016山东高考)若5的展开式中x5的系数是80，则实数a_.解析：Tr1C(ax2)5rrCa5rx.令10r5，解得r2.又展开式中x5的系数为80，则有Ca380，解得a2.答案：2通法在握求二项展开式中的特定项的方法求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk1Cankbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k0,1,2，n)(1)第m项：此时k1m，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数