2014年高考数学(理科)数列试题分析及教学建议.pdf

年高考数学 理科 数列试题分析及教学建议 合肥工业大学附中 刘 敏 邮编 摘 要 高考试题集权威性 筛选性 导向性于一身 直接体现了枟教学大纲枠 枟课程标准枠对中学 教学的要求 因此 认真研读各省最新的高考试题 有助于跟踪 把握高考命题趋势 将会大大提高高三 复习的针对性与复习效果 本文整理分析了 年全国理科高考试卷 份 数学卷中的数列试题 经过详细的梳理统计 从考查的知识点 涉及的数学思想方法等方面进行分析总结 在此基础上对数列 的复习与备考提出一些个人建议 关键词 高考 数列 教学建议 1 2014 年全国高考 理科 试题数列部分的统计分析 表 1 2014 年全国高考 理科 试卷数列试题分析 省份试卷题号与题型分值考查的知识点交汇的其它知识解题方法 新课标 解答题 sn与 an的关系 等差数列的概念 由一般到特殊 新课标 解答题 等比数列的概念 通项公式 不等式放缩法 构造法 全国大纲 选择题 解答题 等比数列的性质 等差数列的通项公式 前 n项和 对数的运算裂项相消法 北京 选择题 填空题 等比数列的概念 等差数列的性质 等差数列前 n项和最大问题 充要条件分类讨论法 山东 解答题 等差数列前 n项和 等比数列的性质 通项公式 分段函数表示方法 裂项相消法 分类讨论法 江苏 填空题 解答题 等比数列的通项公式 sn与 an的关系 方程思想 浙江 解答题 等比数列的概念 等差数列的性质 通项公式 求和公式 不等式裂项相消法 福建 选择题 等差数列的基本公式 安徽 填空题 解答题 等差 等比数列的运算和性质不等式 导数构造法 数学归纳法 辽宁 填空题 等差数列的性质 递减数列 指数函数转化化归 中学数学教学 年第 期 天津 填空题 解答题 等差 等比数列的基本公式不等式转化化归 湖南 解答题 递增 递减数列 数列通项公式 等比数列求和 转化化归 分类讨论法 湖北 解答题 等比 等差数列的基本公式不等式分类讨论法 江西 解答题 通项公式 前 n项和 构造法 错位相减法 陕西 解答题 等差中项 等比中项 三角函数转化化归 重庆 选择题 解答题 等比数列的性质 等差数列的概念 数列的通项公式 不等式 构造法 归纳猜想 数学归纳法 四川 解答题 等差 等比数列的基本公式 函数 导数的 几何意义 错位相减法 广东 填空题 解答题 等比数列的性质 数列的前 n项和 归纳猜想 数学归纳法 从上表中可以看出 数列作为高中数学的主 干知识 在 年全国高考各省试题中均有 考查 从分值分布上分析 福建以 道选择题呈 现 辽宁以一道填空题呈现 分值均为 分 北京 卷同时以 道选择题 道填空题出现 分值共计 分 其他省份均在分值较高的解答题中考查数 列问题 分值在 分到 分不等 从试题出现位置上看 数列考点的解答题多 出现在解答题型的前 道 以考查基本知识 数 学运算能力为主 同时 数列试题与其他知识点 综合 出现在部分省份的高考解答题的中间偏后 甚至压轴题位置 以全面考查学生的综合思维 能力 从考查的知识点的角度 统计分析数列考点 相关高考试题 考查的知识点中 有 份试卷考 查数列的综合应用 试题形式中 出现次数最多的 解答题基本上都是设置两小问形式 求通项公式 和前 n项或者证明等差等比数列相关的不等式 从试题难度设置上 所有试题都属于常规 题 尤其是以选择题填空题形式出现的数列题 都是用解决数列问题的通性通法可以解决的问 题 除此以外 数列题还被放置到了压轴位置 对 学生能力要求较高 2 高考数列问题典型考题分析 填空选择题 今年高考理科试题中有 个省份以选择填 空题形式考查了数列问题 全部都是考查等差等 比数列的基本公式和性质等基础知识 考查考生 的运算能力 总体难度中等偏低 例 1 安徽卷 题 数列an是等差数 列 若 a a a 构成公比为 q的等比 数列 则 q 评析 本题考查等差等比数列基本运算和 性质 从基本量计算的角度看 可以列方程求解 这是通法 有一定的运算量 从性质的角度看 数 列 a a a 成等差数列 数列 也成等差数 列 故 a a a 仍然成等差数列 又 a a a 构成公比为 q的等比数列 故 q 此法无计算量 体现了 多考想的 少考算 的 的命题理念 体现了思维的灵活性 例 2 全 国大纲卷 题 等比数列 an中 a a 则数列 lgan 的前 项 和等于 a b c d 评析 本题考查等比数列性质和对数运算 年第 期中学数学教学 但不同的角度 可以展现不同的思维能力层次 解法 1 求通项 再求和 解略 解法2 利用性质求an的前 项积 再求 数列 lgan 的前 项和 a a a a a a 故 lga lga lg a lga 解法 3 an成等比数列 则数列 lgan 成等差数列 故 lg a lga lga lga lga lga 填空选择题型一般均为考查学生的基本知 识 基本方法 基本能力 针对数列问题 需要理 解等差 等比数列的定义 熟练掌握通项公式 求 和公式的灵活运用 此部分试题应属于考生的基 本拿分题 力求准确 快捷 基础解答题 今年理科试卷中有 个省份数列解答题放 置在解答题靠前位置 难度较低 有 个省份数 列试题第一问都是求数列的通项公式 其中已知 是等差等比数列用基本量法求解的占多数 其次 是用构造法求数列通项公式以及利用 an和 sn关 系求解的 除求解通项公式外 有 个省份是求 数列前 n项和 重点考查等差等比数列求和以及 用错位相减法 裂项相消法等常用数列求和 方法 例 3 全国大纲卷第 题 等差数列an 的前 n项和为 sn 已知 a a 为整数 且 sn s i 求an的通项公式 ii 设 bn anan 求数列bn的前 n 项 和 tn 评析 本题考查了首项为正 公差为负数的 等差数列前 n 项和的最大问题 另外 本题还考 查了裂项相消法求数列前 n项和 山东卷和浙江 卷也考查了该方法 此类试题需要考生在掌握数列知识点的基 本内容基础上 熟悉各种解题思路与方法 如裂 项相消法 错位相减法等 能熟练运用各类数学 方法解决数学问题 数列综合题 高考数列试题除了以选择填空题 基本解答 题等形式出现 重点考查学生对数列问题的基本 性质 基本公式的理解和掌握外 还因数列问题 本身的灵活性 较复杂的运算要求 往往与其他 知识点交汇组合 成为高考试题的压轴综合题 例 4 天津卷 第 题 已知 q和 n 均为给 定 的 大 于 的 自 然 数 设 集 合m q 集合 a x x x x q xnq n xi mi i n 当 q n 时 用列举法表示集合 a 设 s t a s a a q anq n t b b q bnq n 其中 ai bi m i n 证明 若 an bn 则 s t 评析 本题主要考查集合的含义和表示 等 比数列的前 n项和公式 不等式的证明等基础知 识和基本方法 考查运算能力 分析问题和解决 问题的能力 例 5 重 庆 卷 设 a an a n an b n n 倡 若 b 求 a a 及数列an的通项 公式 若 b 问 是否存在实数 c 使得 a n c a n 对所有 n n倡成立 证明你的 结论 评析 解 法 1 构 造 等 差 数 列 an 解法2 归纳猜想 an n 用数学 归纳法证明上式 略 解 解 法1 设fx x 则 an fan 令 c f c 即 c c 解 得 c 下面用数学归纳法证明加强命题 a n c a n 证略 综上 符合条件的 c存在 其中一个值为 c 解法 2 设 fx x 则 an fan 先证 an n n 倡 略 中学数学教学 年第 期 再证 a n a n n n 倡 略 由 得 a k a k a k 因此 a k 又由 及 fx在 上为减函数 得 f a n fa n 即 a n a n 所以 a n a n a n 解得 a n 综上 由 知存在 c 使 a n c a n 对一切 n n 倡 成立 本题是重庆卷的压轴题 难度较大 无独有 偶 安徽卷第 题也是有关数列的压轴题 不难 发现它们的相似之处 均以数列为载体 考查了 证明不等式的两种方法 数学归纳法 利用导数 证明函数的单调性进而得到不等关系 可见数列 与不等式结合考查的题型我们需要多训练 新概念型数列问题 例 6 江苏卷 设数列an的前n 项和为 sn 若对任意的正整数 n 总存在正整数 m 使得 sn am 则称an是 h 数列 若数列an的前 n 项和 sn n n n 倡 证明 an是 h 数列 设an是等差数列 其首项 a 公 差 d 若an是 h 数列 求 d 的值 证明 对任意的等差数列an 总存在 两个 h 数列 bn和cn 使得 an bn cn n n 倡 成立 评析 本题 h 数列 属于新概念型问题 题 目新颖 要求学生具备较好的自学探究能力 主 要考查数列的概念 an与 sn的关系 等差数列等 基础知识 以及学生的推理论证能力 3 对高三数列复习的建议 由以上的分析可以看出 对数列知识的考 查 基本是 一小一大 小题注重数列的通项公 式 等差等比数列的性质与基本量的求解 大题 以等差等比数列知识的综合运用为主 或结合其 它知识 一般是函数 不等式 与数学归纳法 考 查考生综合运用知识分析问题 解决问题的能 力 推理论证能力 具体到数列知识的复习备考 需要注意以下几点 对数列通项公式的探求是高考考查数列 的一个主要命题点 可以考查考生的观察 分析 归纳 猜想 推理论证能力 因而熟练求通项公式 的常用方法 如用方程思想利用基本量解决等比 等差数列通项公式 构造等差等比数列进而求解 数列的通项公式 归纳猜想求数列通项公式 利 用前 n项和公式求通项公式 特别是由递推关系 确定通项公式 变化多 较灵活等 等差等比数列是数列中研究的重要内 容 熟练掌握等差等比数列的定义 通项公式 求 和公式和性质 是解决数列综合问题的基础 许 多数列问题 都可以转化为等差等比数列来解 决 如利用放缩法将一般数列转化为等差等比数 列问题进而证明不等式 数列求和一般与不等式证明相结合 因 而需熟练求数列前 n项和的方法 如对于等差等 比数列用公式法 错位相减法 裂项相消法 分组 求和法 倒序相加等等 从函数的角度理解数列是必要的 这样 就可以利用函数的思想与方法来处理数列问题 在数列不等关系的问题中 通过把数列问题转换 为函数问题 利用函数的工具 解决数列问题是 很常用的手段 但要注意函数的单调性与数列的 单调性还是有区别的 解题时要关注和体会它的 不同 厘清知识间的交汇点 注重多个知识点 的综合题的训练与解题方法的积累 如数列与三 角函数结合 数列与集合结合 数列与导数结合 数列与解析几何结合 数列与平面向量结合 数 列与不等式结合等问题 特别