4.抛物线上两点A、B满足OA⊥OB的性质.docVIP

中国高考数学母题一千题(第0001号)抛物线上两点a、b满足oaob的性质抛物线上两点a、b满足oaob的母题 抛物线c:y2=2px(p0)上两点a、b满足oaob,则直线ab恒过定点m(2p,0),由此生成一列高考试题,为此,我们构成母题如下,并着意关注由母题生成子题的方向.母题结构:直线l与抛物线c:y2=2px(p0)相交于a(x1,y1)、b(x2,y2)两点,oh直线l于点h,则oaob等价于:y1y2=-4p2x1x2=4p2;直线ab恒过定点m(2p,0);点h在圆(x-p)2+y2=p2上;母题解析:由oaob=0x1x2+y1y2=0(x1=,x2=)+y1y2=0y1y2=-4p2x1x2=4p2;由直线ab:y-y1=(x-),即(y1+y2)y-y1y2=2px,所以,直线ab恒过定点m(2p,0)-y1y2=4p2oaob;由点h在圆(x-p)2+y2=p2上|om|=2p直线ab恒过定点m(2p,0)oaob. 1.相关点的轨迹 子题类型:(2000年北京、安徽春招试题)如图,设点a和b为抛物线y2=4px(p0)上原点以外的两个动点,己知oaob,omab,求点m的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.分析:本题是母题的直接子题.解析:(法一)由oaob=0x1x2+y1y2=0(x1=,x2=)+y1y2=0y1y2=-16p2;又由直线ab:y-y1=(x-),即(y1+y2)y-y1y2=4px(y1+y2)y+16p2=4px直线ab恒过定点n(4p,0);又由omab点m的轨迹是以on为直径的圆(去掉坐标原点),其方程为(x-2p)2+y2=4p2(x2+y20).(法二)设直线oa:y=kx,代入y2=4px得:(kx)2=4pxxa=ya=a(,);由oaob,同理可得b(4pk2,-4pk)直线ab:y+4pk=(x-4pk2);设m(x,y),则-=y+4pk=-(x-4pk2)x2+y2-4pk2x+4pky=0x2+y2-4p(k+1)x+4pky=0x2+y2-4px=0(x-2p)2+y2=4p2(x2+y20),点m的轨迹是以(2p,0)为圆心,半径r=2p的圆(去掉坐标原点).点评:以功点a、b为始点,可以构成许多点的轨迹问题,如ab中点的轨迹;作aob的平分线交ab于t,点t的轨迹;aob的重心g的轨迹;满足=+的点p的轨迹;oa、ob的中垂线交点p的轨迹;以oa、ob为直径的两圆交点q的轨迹方程等. 2.构造逆向问题 子题类型:(2005年北京春招试题)如图,o为坐标原点,直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a0,b0),且交抛物线y2=2px(p0)于m(x1,y1),n(x2,y2)两点.()写出直线l的截距式方程;()证明:;()当a=2p时,求mon的大小.分析:由直线l的截距式方程可直接写出;利用韦达定理易证第()问;第()问母题的逆向问题.解析:()直线l的截距式方程:+=1;()由点m(x1,y1),n(x2,y2)在直线l:+=1上+=1,+=1+=1,+=1(y1y2)y1,y2是方程+=1的两根y1+y2=-,y1y2=-2pa=;()当a=2p时,由y1y2=-2pa=-4p2(y1y2)2=4p2x1x2=16p4x1x2=4p2koakob=-1mon=.点评:母题的逆向问题有两个方向:由直线ab恒过定点m(2p,0)oaob构造逆向问题,本题属于此类;由点h在圆(x-p)2+y2=p2上oaob构造逆向问题,此类问题尚待开发. 3.推广变式探究 子题类型:(2006年上海高考试题)在平面直角坐标系xoy中,直线l与抛物线y2=2x相交于a、b两点.()求证:“直线l过点t(3,0),那么=3”是真命题;()写出()中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.分析:由直线l过点t(3,0),为避免讨论,可设直线l:x=ty+3,然后利用韦达定理证第()问;对于第()问,可设直线l:x=ty+a,只需由=3,求a,即可.解析:()设a(x1,y1),b(x2,y2),直线l:x=ty+3,代入y2=2x得:y2-2ty-6=0y1y2=-6x1x2=(y1y2)2=9=x1x2+y1y2=9-6=3“直线l过点t(3,0),那么=3”是真命题;()逆命题是:“设直线l交抛物线y2=2x于a、b两点,如果=3,那么该直线过点t(3,0)”;该命题是假命题;设a(x1,y1),b(x2,y2),直线l:x=ty+a,代入y2=2x得:y2-2ty-2a=0y1y2=-2ax1x2=(y1y2)2=a2=x1x2+y1y2=a2-2a; 由=3a2-2a=3a=-1,3直线l过点(-1,0),或t(3,0).点评:对于母题:“抛物线c:y2=2px(p0)上两点a、b满足oaob的充要条件是直线ab恒过定点m(2p,0)”有广泛的推广、变式等探究空间,本题是把母题中的条件oaob,即=0,变式为=3;又如推广点o为抛物线c:y2=2px(p0)上定点m,且=0,探究直线ab是否恒过定点;探究直线ab恒过定点m(a,0)(如m(p,0)的条件和性质等. 4.子题系列:1.(2008年武汉大学保送生考试试题)已知点p(0,-),点a在x轴上,点b在y轴的正半轴上,点m在直线ab上,且满足:=0,=3.()当点a在x轴上移动时,求动点m的轨迹c的方程;()设q为()中的曲线c上一点,直线l过点q且与曲线c在点q处的切线垂直,l与曲线c相交于另一点r,当=0(o为坐标原点)时,求直线l的方程.2.(2005年广东高考试题)在平面直角坐标系xoy中,抛物线y=x2上异于原点o的两不同点a、b满足aobo(如图所示).()求aob的重心g(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;()aob的面积是否存在最小值？若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.3.(2005年全国高中数学联赛山东预赛试题)如图,过原点o作抛物线y22px(p0)的两条互相垂直的弦oa、ob,再作aob的平分线交ab于c.求点c的轨迹方程.4.(2004年重庆高考试题)设p0是一常数,过点q(2p,0)的直线与抛物线y2=2px交于相异两点a、b,以线段ab为直径作圆h(h为圆心),试证:抛物线的顶点在圆h的圆周上;并求圆h的面积最小时,直线ab的方程.5.(2009年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知a0,过m(a,0)任作一条直线交抛物线y2=2px(p0)于p,q两点,+为定值,则a= .6.(2014年全国高中数学联赛试题)在平面直角坐标系xoy中,p是不在x轴上的一个动点,满足条件:过p可作抛物线y2=4x的两条切线,两切点连线lp与po垂直,设直线lp与直线po,x轴的交点分别为q,r.()证明:r是一个定点;()求的最小值. 4.子题详解:1.解:()设a(t,0),b(0,b)(b0),m(x,y),由=0b=t2=(-t,t2);由=3x=-2t,y=2t2轨迹c的方程:x2=2y(x0);()设q(2t,2t2),则曲线c在点q处的切线:2tx=2切线斜率k=2t(t0);由=0直线l过点m(0,2)kmq=;又由kkmq=-12(t2-1)=-1t=kmq=直线l的方程:y=x+2.2.解:()设g(x,y),直线oa:y=kx,代入y=x2得:x2=kxxa=kya=k2a(k,k2),由oaob,同理可得b(-,)x=(k-),y=(k2+)9x2=k2+-2=3y-2aob的重心g的轨迹方程:9x2=3y-2;()由aob的面积s=|oa|ob|=1当k=1时,smin=1.3.解:设a(2pa2,2pa)(a0),b(2pb2,2pb)(ab0),由oaobab=-1=|a|3,由oc平分aob=|a|3=a3,设c(x,y),则x-2pa2=a3(2pb2-x),y-2pa=a3(2pb-y)x=,y=a=y1+()3=2p(1-)x3+3xy2-2p(x2-y2)=0.4.解:设a(2pa2,2pa)(a0),b(2pb2,2pb)(ab0),由(2pa2-2p):2pa=(2pb2-2p):2pbab=-1=4p2(ab)2+4p2ab=0oaob抛物线的顶点在圆h的圆周上;由|ab|2=(2pa2-2pb2)2+(2pa-2pb)2=4p2(a2-b2)2+(a-b)2=4p2(a-b)2(a-b)2-3;又(a-b)2=a2+b2+2=a2+24当a=1,b=-1时,|ab|取得最小值4p,此时,圆h的面积最小时,直线ab:x=2p.5.解:设pq:t2sin2-2ptcos-2ap=0t1+t2=,t1t2=-+=+=+=+(-)sin2a=p.6.解:()设p(a,b)(a0,b0),a(