万有引力与向心力公式中r的不同含义.pdf

2 0 1 0年第 1 2期 物理通报 物理问题研究 万有引力与 向心力公 式 中 r 的不 同含义 吴来初 娄底 市立珊 中学 湖南 娄底4 1 7 1 2 4 万有引力定律是牛顿在 1 6 8 7年于 自然哲学的 数学原理 上发表的 牛顿的普适万有引力定律表 示如下 任意两个质点通过连心线方 向上的力相互 吸引 该引力的大小与它们的质量乘积成正 比 与它 们距离的平方成反比 与两物体 的化学本质或物理 状态以及 中介物质无关 在普通高中课程标准实验教科书 物理 必修 2 高一 第 3 7页 对万有引力叙述如下 自然界 中 任何两个物体都相互吸引 引力的大小与两物体的 质量m 和m 的乘积成正比 与它们之间距离 r 的平 方成反 比 即 f g ml m 2 1 r 适用范围 两个可以视为质点的任何两物体之 间 或者是两个均匀球之间 如果是两质点 r 为两质 点间的距离 如果是两质量均匀的球体 r 为两球心 间的距离 向心加速度与 向心力是描述 曲线运动的物理 量 质点做曲线运动时 指向瞬时曲率中心的加速度 叫向心加速度 其计算式为 或 2 口 n r 式中 为质点运动的切向速度 为瞬时角速度 r 为 运动路径的曲率半径 如果物体做圆周运动 r 就是 圆的半径 在普通高中课程标准实验教科书 物理 必修 2 高一 第 2 o页 对 向心力做了如下说明 做匀速 圆周运动的物体具有 向心加速度 根据牛顿第二定 律 产生向心加速度的原因一定是物体受到了指 向 圆心的合力 这个合力叫做 向心力 把向心加速度的表达式代人牛顿第二定律 可 一 7 6 一 得 向心力的表达式 或 上 述 f m r f m 和 f m 2 中 两个 r 的含义是不同的 万有引力定律 1 中的r 指的是两个质点间的距离 向心力公式 2 中的r 是 物体做圆周运动的半径或者是做一般曲线运动的曲 率半径 在一般的情况下 计算两质点间的万有引力 或计算圆周运动的向心力 式中的 r 是不会出什么 问题的 但是若计算的是两个不均匀的球体问的万 有引力 或者计算天体运动中的有关椭圆轨道问题 双星问题时 r 的计算则容易出问题 例 1 如图1 所示 在半径为r 质量为m的均 匀球体中 挖 出一球形空腔 空腔的半径为 并且 跟球体相切 在球体外有一质量 m 体积可忽略不计 的小球 这个小球位 于连接球体球心跟空腔中心的 直线上 并且在空腔一边 两球心相距 3 试求它们 之间的相互吸引力 图 1 误解 挖出的球体半径为原大球体的一半 则体 积 为 原 大 球 体 的 质 量 为 扣 余 下 部 分 的 质 量 为 3 2 0 1 0年第 1 2期 物理通报 物理 问题研究 m 1 设球体挖出空腔后 的质心为 0 0与原大球体 的球心距离为 d 则 d 寺 孚 d 向 7 m m g 一343m m 3r 3 6 9 8 误解原因 没有理解万有引力定律公式 中 r 指 的是两质点间的距离 或者是两个均匀 的球体球心 间的距离 本题 中原大球体挖去一个小球体后 就不 是一个均匀球体 了 显然 两物体就不能 当做质点处 理 把两物体质心的距离 当做万有引力定律公式 中 正解 挖 出的球体半径 为原大球体 的一半 则 体 积 为 原 大 球 体 的寺 质 量 为 1 1 设完整的球体跟小球 m之间的万有引力为 f 总 被挖后 的剩余部分与 的万有 引力为 挖 出的小 球体与 m间的万有引力为 f 则有 f f 七 f 解得 f g 45 0 r 例2 两个星球组成双星 它们在相互之间的 万有引力作用下 绕连线上的某 点做周期相同 的匀 速圆周运动 两星球的质量分别为 m 和 m 求两星 球做圆周运动的半径之 比 线速度大小之比 误解 由万有引力定律和牛顿第二定律有 g m 2 r r g m 2 r 2 i 2 两 式相 比得 3 3 m 1 i m 2 2 所 以 3 r一 一 r 2一 m t 因两星球角速度相 同 线速度大小之 比等于运 行半径之比 3 1 l m2 一 1 2 误解原 因 没有理解万有引力定律和向心力公 式 中的 r 的含义 认为万有引力定律公式 中的r 也就 是圆周运动的半径 乱套公式 造成混乱 正解 设双星间的距离为 双星间的万有引力 提供其做 圆周运动的向心力 有 g 丁m l m2 m l 2 l g ni i t 2 m 2 2 2 两式相 比得 m1 j m2 r 2 即 f 1 m 2 r 2 mi 因两星球角速度相同 线速度大小之比等于运 行半径之比 即 2 r 2 m1 例 3 如图2 一卫星绕地球做椭圆形运动 近 地点时到地心距离为 r 远地点时到地心距离为 r 2 求近地点和远地点 的速度大小之 比 图 2 下转第 8 1页 一 7 7 一 南 g f 噼 g 2 0 1 0年第 l 2期 物理通报 物理 问题讨论 空气的沿轴向的挤压而只能向上升 从而出现 了如 图 2所示 的实验现象 有 了上面的理论推导与实验支撑 我们再来欣 赏一字形 的雁阵 大雁在亿万年的进化中为 了减少 飞行阻力 已经进化成流线 型的外形 在长途迁徙 中 在领头雁 的带动下 雁阵中流动着沿前进方向的 气流 由伯努利方程可知在高空 中p h均一定 越 大则 p 即流动的空气柱内压强 越小 这样在侧翼 较大气压的挤压下 空气柱向内压缩 而且不受前面 空气的阻碍 这样后面的大雁为了省力 自然就排成 了一字形雁阵 这一点在长途迁徙中显得尤为重要 但是领头雁 由于受到前进方向的阻力 需要 比其他 同类消耗更多的体力 所以领头雁都是体格健壮 的 而且领头雁也要经常替换 以保存体力 保证雁 阵没 有掉队 人字形雁阵 的形成与一字形雁阵的原 理相 似 了解了上述道理之后我们就很容易理解 为什 么在火车站站台边都 画了一条 白色的安全线 火车 高速驶来时 靠近火车的一侧空气的流速大 背对一 侧则压强大 旅客有 可能被强大 的大气 压 压 进 上接 第7 7页 误解 在近地点时 r1 mm u 1 b 扎 r1 r1 在远地点时 两式 相 比得 即 去 造成恶性伤害事故 还有在海上航行时同向航行 的船只之间都要保持一定 的距离 否则船只往往会 被周围强大的水压 压 进去造成船 只相撞的危险 神奇的大 自然带给我们无穷的知识宝库与遐想 的空间 我们在感受大 自然的鬼斧神工与匠心独运 的同时 也在极力模仿与超越 中长跑王国肯尼亚国 内高手云集 在国际赛场上他们往往也能集体作战 交替领跑 互相保存体力 改变节奏 拖垮对手 最终 的冠军往往在队友之间产生 速度滑冰的中韩对抗 已经成为速滑史上的一道亮丽风景线 中韩之 间的 战略战术已把速度对抗演绎到了极致 从而成为各 国竞相研究 的对象 个 中意境 已远非简单 的大雁南 飞可 以 比拟 了 从和谐 的大雁南 飞到优雅的速度滑冰 大 自然 向我们诠释了什么叫博大精深 而物理知识 中运用 水银泻地般的逻辑对于大 自然的精妙解读 让我们 在感叹大 自然的博大之余 更钟情 于物理的内涵与 审慎 在感受和谐 自然意象之美 中去体味物理与 自 然的唯美关系是 自然物理 的一个至高境界 的曲率半径 并且 g m 2