能量原理与变分法(弹性力学)（精品ＰＰＴ） .ppt

第十一章能量原理与变分法 要点 1 弹性体形变势能的计算 变分法的基本思想 最小势能原理 里兹 ritz 法 伽辽金 galerkin 法 2 位移变分法 3 应力变分法 最小余能原理 卡氏 castigliano 定理 4 位移变分法 应力变分法的应用 11 1弹性体的形变势能 主要内容 11 2位移变分方程 11 3位移变分法 11 4位移变分法应用于平面问题 11 5应力变分方程 11 6应力变分法 11 7应力变分法应于平面问题 11 8应力变分法应于扭转问题 11 9解答的唯一性 11 10功的互等定理 11 0引言 1 弹性力学问题的微分提法及其解法 1 平衡微分方程 2 几何方程 3 物理方程 4 边界条件 应力边界条件 位移边界条件 定解问题 求解方法 1 按位移求解 基本方程 a 以位移为基本未知量的平衡微分方程 2 按应力求解 基本方程 a 平衡微分方程 b 边界条件 b 相容方程 c 边界条件 a 归结为求解联立的微分方程组 求解特点 b 难以求得解析解 从研究微小单元体入手 考察其平衡 变形 材料性质 建立基本方程 2 弹性力学问题的变分提法及其解法 基本思想 在所有可能的解中 求出最接近于精确解的解 将定解问题转变为求解线性方程组 弹性力学中的变分原理 能量原理 直接处理整个弹性系统 考虑系统的能量关系 建立一些泛函的变分方程 将弹性力学问题归结为在给定约束条件下求泛函极 驻 值的变分问题 变分解法也称能量法 a 以位移为基本未知量 得到最小势 位 能原理等 b 以应力为基本未知量 得到最小余能原理等 c 同时以位移 应力 应变为未知量 得到 广义 约束 变分原理 位移法 力法 混合法 有限单元法 边界元法 离散元法等数值解法的理论基础 求解方法 里兹 ritz 法 伽辽金 galerkin 法 加权残值 余量 法等 3 弹性力学问题的数值解法 a 直接求解联立的微分方程组 弹性力学的基本方程 有限差分法 基本思想 将导数运算近似地用差分运算代替 将定解问题转变为求解线性方程组 典型软件 flac 实质 将变量离散 b 对变分方程进行数值求解 有限单元法 边界元法 离散元法等 典型软件 ansys marc adina sap nastran abaqus等 基于有限元法的分析软件 udec 基于离散元法的分析软件 基本思想 将求解区域离散 离散成有限个小区域 单元 在小区域 单元 上假设可能解 最后由能量原理 变分原理 确定其最优解 将问题转变为求解大型的线性方程组 11 1弹性体的形变势能 1 形变势能的一般表达式 单向拉伸 p l 外力所做的功 由于在静载 缓慢加载 条件下 其它能量损失很小 所外力功全部转化杆件的形变势能 变形能 u 令 单位体积的变形能 称为比能 三向应力状态 一点的应力状态 由能量守恒原理 形变势能的值与弹性体受力的次序无关 只取决于最终的状态 假定所有应力分量与应变分量全部按同样的比例增加 此时 单元体的形变比能 a 整个弹性体的形变势能 b c 若用张量表示 形变比能 整体形变势能 2 形变势能的应力分量表示 在线弹性的情况下 由物理方程 8 17 代入式 a 整理得形变势能的表达式 d e 代入式 b 有 11 1 将式 e 分别对6个应力分量求导 并将其结果与物理方程比较 得 11 2 表明 弹性体的比能对于任一应力分量的改变率 就等于相应的形变分量 3 形变势能的应变分量表示 用应变表示的物理方程 8 19 f 或 代入式 a a 并整理可得 g 11 3 0 1 2 u 0即弹性体的形变势能是非负的量 将上式对6个应变分量分别求导 再与应力表示的物理方程 8 17 比较 可得 11 4 将几何方程 8 9 代入上式 得 弹性体的比能对于任一应变分量的改变率 就等于相应的应力分量 格林公式 4 形变势能的位移分量表示 表明 11 5 11 2位移变分方程 1 泛函与变分的概念 1 泛函的概念 函数 x 自变量 y 因变量 或称自变量x的函数 泛函 x 自变量 y 为一变函数 f 为函数y的函数 称为泛函 例1 弯矩方程 梁的形变势能 泛函 例2 例2 因为 所以 u被称为形变势能泛函 2 变分与变分法 设 当自变量x有一增量 函数y也有一增量 dy与dx 分别称为自变量x与函数y的微分 微分问题 设 函数y有一增量 泛函u也有一增量 函数的增量 y 泛函的增量 u等称为变分 研究自变函数的增量与泛函的增量间关系称为变分问题 例如 1 压杆稳定问题 寻求压杆形变势能u达到最大值时的压力p值 2 球下落问题 球从位置1下落至位置2 所需时间为t 当 最速下降问题 泛函的变分问题 3 变分及其性质 定义 泛函 增量 函数 连续性 称函数z在x0点连续 当 有 称泛函u在y0 x 处零阶接近 当 有 称泛函u在y0 x 处一阶接近 当 有 称泛函u在y0 x 处二阶接近 泛函 函数 微分 当 x 0时 0 则 z可用其线性主部表示其微分 即 u增量的线性主部 变分 当max y 0时 max 0 则 u可用其线性主部表示 即 极值 若 在x0处有极值 则有 若u y x 在y0 x 处有极值 条件 一阶变分为零 当 取得极值 称为强极值 当 取得极值 称为弱极值 极值 4 变分的运算 变分与微分运算 变分运算与微分运算互相交换 变分与积分运算 变分运算与积分运算互相交换 复合函数的变分 其中 一阶变分 自变量x的变分 x 0 二阶变分 二阶变分用于判别驻值点是取得极大值还是极小值 2 位移变分方程 建立 弹性体的形变势能与位移间变分关系 位移变分方程 设弹性体在外力作用下 处于平衡状态 边界 位移场 应力场 满足 平衡方程 几何方程 物理方程 边界条件 称为真实解 1 任给弹性体一微小的位移变化 满足两个条件 1 不破坏平衡状态 2 不破坏约束条件 即为约束所允许 变化后的位移状态 称为位移的变分 或虚位移 2 考察弹性体的能量变化 由能量守恒原理 弹性体变形势能的增加 等于外力势能的减少 在没有温度改变 动能改变的情况下 设 表示弹性变形势能的增量 表示外力在虚位移上所做的功 它在数值上等于外力势能的减少 则有 外力的虚功 体力 面力 外力 代入前式 11 6 表明 物体形变势能的变分 等于外力在虚位移上所做的虚功 式 11 6 称为位移变分方程 也称lagrange变分方程 3 虚功方程 由式 b 两边求变分 将u1视为应变分量的函数 由格林公式 表示 实际应力在虚应变上所做的虚功 内力的虚功 将上式代入位移变分方程 11 6 有 11 7 虚功方程 表明 如果在虚位移发生前 弹性体处于平衡状态 则在虚位移发生过程中 外力在虚位移上所做的虚功 等于应力在虚应变上所做的虚功 虚功方程 是有限单元法的理论基础 也是许多变分原理的基础 4 最小势能原理 也是位移变分方程的一个应用 由位移变分方程 由于虚位移为微小的 为约束所允许的 所以 可认为在虚位移发生过程中 外力的大小和方向都不变 只是作用点位置有微小变化 于是 有 以 为零势能状态 并用v表示任意状态的外力势能 则 外力在可能位移上所做的功w 即 代入前式 有 其中 形变势能与外力势能的总和 称为系统的总势能 表明 在给定的外力作用下 实际存在的位移应使系统的总势能的变分为零 等价于总势能u v取驻值 极值势能原理 平衡状态 1 稳定平衡状态 2 不稳定平衡状态 3 随宜平衡状态 稳定平衡 不稳定平衡 随宜平衡 势能取极小值 势能取极大值 不定 最小势能原理 在给定的外力作用下 满足位移边界条件的各组位移中 实际存在的位移 应使系统的总势能成为驻值 当系统处于稳定平衡时 总势能取极小值 通常也为最小值 实际存在的位移应满足 1 位移边界条件 2 平衡方程 位移形式 3 应力边界条件 1 位移边界条件 2 位移变分方程 因而 有 位移变分方程 1 平衡方程 2 应力边界条件 可互相导出 最小势能原理 5 伽辽金变分方程 由虚功方程建立当位移分量满足 位移边界条件 应力边界条件时 弹性体的位移变分应满足的条件 将虚应变用虚位移表示 c 将其代入虚功方程 同理 可得到其余各项的结果 将其代入虚功方程左边 有 将其代入虚功方程 并整理有 当应力边界条件满足时 上式可简化为 10 8 伽辽金 galerkin 变分方程 表明 当所取位移分量同时满足 位移边界条件 应力边界条件时 其位移变分需满足的方程 11 6 1 位移变分方程 2 虚功方程 位移变分方程小结 也称lagrange变分方程 3 最小势能原理 说明 1 只要求 可能 虚 位移满足位移边界条件 2 对虚功方程 也适用各种材料的物理方程 如 塑性材料 非线性弹性材料等 4 伽辽金 galerkin 变分方程 要求 可能 虚 位移满足 1 位移边界条件 2 应力边界条件 10 8 11 3位移变分法 1 里兹 ritz 法 基本思想 设定位移函数的表达形式 使其满足位移边界条件 其中含有若干待定常数 然后利用位移变分方程确定这些常数 即得位移解 设取位移的表达式如下 11 9 其中 为互不相关的3m个系数 为设定的函数 且在边界上有 为边界上为零的设定函数 显然 上述函数满足边界条件 此时 位移的变分 只能由系数am bm cm的变分来实现 与变分无关 a 位移的变分 形变势能的变分 由式 11 5 可知 b 将式 a b 代入位移变分方程 有 将上式整理 移项 合并 可得 完全任意 且互相独立 要使上式成立 则须有 11 10 ritz法方程 或称rayleigh ritz法方程 说明 1 由u的位移表达式 11 5 可知 u是系数 的二次函数 因而 方程 11 10 为各系数的线性方程组 互不相关 因而 总可以求出全部的系数 2 求出了系数 就可求得其它量 如位移 应力等 3 在假定位移函数时 须保证其满足全部位移边界条件 2 伽辽金 galerkin 法 设取位移的表达式如下 11 9 同时满足 1 位移边界条件 2 应力边界条件 位移的变分 将其代入伽辽金变分方程 10 8 得到 完全任意 且互相独立 要使上式成立 则须有 将物理方程和几何方程代入 有 11 11 伽辽金 galerkin 法方程 说明 1 与ritz法类似 得3m阶的线方程组 可求出3m个系数 2 伽辽金 galerkin 法与ritz法的区别 在于设位移函数时 前者要求同时满足应力 位移边界条件 而后者只要求满足位移边界条件 位移变分法的应用 1 求解弹性体的近似解 2 推导弹性体的平衡微分方程与自然 力 边界条件 11 4位移变分法应用于平面问题 1 形变势能表达式 对于平面应变问题 且 由式 11 5 11 12 对于平面应力问题 11 13 2 位移函数设定 由于 两种平面问题中 都不必考虑z方向的位移w 所以位移分量可设为 11 14 式中 各系数的含义和以前相同 3 变分法方程 ritz法方程 在z方向取单位长度 11 15 galerkin法方程 galerkin法方程 11 16 适用于平面应变问题 式中 对于平面应力问题 11 17 例 图示薄板 宽为a 高度为b 左边和下边受连杆支承 右边和上边分别受有均布压力q1和q2作用 不计体力 试求薄板的位移 解 1 假设位移函数 a 满足边界条件 试在式 a 中只取两个系数 a1 b1 即 b 2 计算形变势能u 将式 b 代入 11 13 有 平面应力情形下形变势能公式 积分得 c c 3 代入ritz法方程求解 体力 有 在右边界 在上边界 于是有 将式 c 代入 得 联立求解 得 f 代入位移表达式 b 得 g 讨论 1 如果在位移式 a 中再多取一此系数如 a2 b2等 但是经计算 这些系数全为零 2 位移解 g 满足几何方程 平衡方程和边界条件 表明 位移解 g 为问题的精确解 例 图示矩形薄板 宽为2a 高度为2b 左右两边和下边均被固定 而上边的给定位移为 h 不计体力 试求薄板的位移和应力 解 1 假设位移函数 取m 1 将位移分量设为 i 显然 可满足位移边界条件 2 代入galerkin法方程求解 该问题中 无应力边界条件 式 i 满足全部条件 可用伽辽金 galerkin 法求解 x y 0 m 1 伽辽金法方程变为 j 将其代入伽辽金方程 j 可求得 代回位移式 h 有 代回位移表达式 h 得位移解答 当b a 取 0 2时 上述解答成为 3 求应力分量 应用几何方程及物理方程 可求得应力为 例 如图所示简支梁 中点处承受有集中p 试求的梁的挠曲线方程 解 1 假设位移试探函数 必须满足位移边界条件 设位移试探函数为 取一项 式中 a为待定常数 2 计算 a b 显然 式 a 满足端点的位移边界条件 3 代入ritz法方程 求解 c d 讨论 1 中点的挠度 e 而材料力学的结果 两者比较 式 a 的结果偏小2 如果取如下位移函数 式中项数m取得越多 则求得精度就越高 2 所取的位移函数必须满足位移边界条件 3 位移函数选取不是唯一的 如 1 假设位移试探函数 式中 a1 a2为待定常数 显然 式 a 满足端点的位移边界条件 2 计算 梁的形变势能 3 代入ritz法方程 3 代入ritz法方程 所求挠曲线方程 所求挠曲线方程 中点挠度 而材料力学的结果 说明 1 设定的待定系数个数与所得的线性方程数相同 2 亦可用最小势能原理求解上述问题 例 如图所示简支梁 中点处承受有集中p 试求的梁的挠曲线方程 解 1 假设位移试探函数 必须满足位移边界条件 设位移试探函数为 式中 a为待定常数 2 求系统的总势能 a b c 将式 a 代入 计算得 显然 式 a 满足端点的位移边界条件 3 由最小势能原理确定常数 d 说明 1 e 与ritz法结果相同 2 所取的位移函数必须满足位移边界条件 3 位移函数选取不是唯一的 如 例 如图所示 一端固定 另一端有弹性支承的梁 跨度为l 抗弯刚度为ei 弹簧的刚度为k 梁上作用有分布载荷q x 试用最小势能原理导出梁的弯曲微分方程和边界条件 解 1 求系统的总势能 系统的总势能 梁的弯曲变形能 弹簧的变形能 外力势能 a 式中 w为梁的挠度 由最小势能原理 b 分部积分 2 对总势能求变分 将其代入式 b 有 梁的左端固定 有 代入上式 有 的任意性与相互独立性 有 3 利用位移边界条件和变分的任意性确定所需的结果 弯曲微分方程 力的边界条件 表明 最小势能原理等价于平衡微分方程和力的边界条件 ritz法解题步骤 1 假设位移函数 使其满足边界条件 2 计算形变势能u 3 代入ritz法方程求解待定系数 4 回代求解位移 应力等 用最小势能原理解题步骤 1 假设位移函数 使其满足边界条件 2 计算系统的总势能 3 由最小势能原理 0 确定待定系数 4 回代求解位移 应力等 图示简支梁 两端受轴向压力p作用 在距左端距离c处受集中力偶m作用 梁的跨度为l 试用最小势能原理求的梁的挠曲线方程 例 设梁的挠曲线方程可设为 解 设定梁的挠曲线函数求系统的总势 代入总势能计算公式 由最小势能原理求出待定系数 由于 am不能等于零 可求得 梁的挠曲线方程为 梁的最小失稳载荷为 11 5应力变分方程 1 形变余能 1 单向应力状态 设 一般的应力应变关系 形变势能 比能 0 0 单位体积的形变势能 比能 形变余能 比能 单位体积的形变余能 比余能 对线弹性体 显然有 形变势能 比能 等于形变余能 比余能 表明 形变比余能在数值上等于图中矩形面积减去u1后余下的面积 2 三向应力状态 对线弹性体 有 物体形变余能 对线弹性体 物体形变余能常用应力表示 3 形变余能的变分 对照形变余比能的表达式 有 由应力表示的卡氏 castigliano 定理 代入形变余比能的变分表达式 有 若将上式中应变分量利用几何方程表示成位移形式 有 代入形变余比能的变分表达式 有 2 应力变分方程 设有任一弹性体 在外力的作用下处于平衡状态 其应力和位移分别为 实际的应力和位移 建立 物体形变余能的变化与应力变分之间的关系 1 应力的变分 假设 作用于物体的体力不变 而应力分量发生如下变分 常称为虚应力 满足 1 平衡微分方程 2 应力边界条件 即 在应力边界上变分应为零 变化后应力状态 2 应力变分方程 都满足平衡方程 并作用于同样的体力 将其分别代入平衡微分方程 并进行比较 应有 a 张量表示 在位移给定的边界上 由于应力的变分必然引起该边界上面力的变分 由边界上应力与边界面间关系 在位移给定边界上 应有 b 张量表示 由形变余能的变分 利用奥 高公式 将上式每一项作变换 如 将其代入应变余能的变分 并整理有 得到 11 18 上式表明 由于应力的变分 形变余能的变分等于面力的变分在实际位移上所做的功 虚功 应力变分方程 也称castigliano变分方程 说明 1 要求应力的变分满足 平衡微分方程 应力边界条件 2 由位移变分方程 可得 右边的积分仅当在给定非零位移的边界上才不为零 而在应力边界和固定位移边界均为零 3 实际存在的应力应满足 1 平衡方程 2 相容方程 3 应力边界条件 4 位移边界条件 1 平衡方程 2 应力边界条件 3 应力变分方程 可见 应力变分方程 1 相容方程 2 位移边界条件 特别当位移边界为固定边界时 应力变分方程等价于相容方程 且有 3 最小余能原理 将应力变分方程 改写为 c 在要积分的边界上 位移是给定的 其变分恒为零 上式可写为 d 式中 u 为形变余能 外力余能 总余能 于是式 d 可写成 d 上式表明 在满足平衡微分方程和应力边界条件的各组应力中 实际存在的应力应使弹性体的总余能成为极值 如果考虑二阶变分 可以证明该极值为极小值 最小余能原理 最小余能原理 是应力变分方程的一个应用 等价于弹性体的相容方程与位移边界条件 说明 应力变分方程或最小余能原理 仅限于单连体问题 对于多连体问题 还需考虑位移单值条件 而在应力变分方程中考虑位移单值是非常复杂的问题 11 6应力变分法 1 应力分量的设定 以应力为未知量的近似解法 满足平衡微分方程 应力分量设定的要求 满足应力边界条件 帕普考维奇应力分量设定 11 19 其中 1 am为互不相关的m个系数 平衡方程与应力边界条件的设定函数 为满足 2 3 为满足 没有面力与体力作用时的平衡方程与应力边界条件 的设定函数 此时应力的变分仅由系数am的变分实现 2 应力变分法方程 1 弹性体的位移边界为固定边界 此时 应力变分方程为 将设定应力分量代入形变余能表达式 将其代入应力变分方程 有 由于 am为互相独立 且任意 有 11 20 由此得到m个线性方程 可确定m个系数am 2 弹性体具有给定的非零位移边界条件 2 弹性体具有给定的非零位移边界条件 此时 应力变分方程为 a 式中 u v w为已知函数 而非零位移边界条件上的面力变分 可由边界上应力应满足的条件确定 b 将设定的应力分量式 11 19 代入上式 并积分式 a 的右边 得 c 式中 bm为积分所得的常数 而式 a 左边为 d 由式 c d a 可得 由于 am为互相独立 且任意 所以有 e 式 c 仍为一m阶的线性方程组 可求解出m个系数am 将系数am代回应力分量设定式 11 19 即得所求的应力 说明 1 如果无位移被给定 且不等于零的边界 则所有的bm都为零 此时式 e 简化为 2 要求设定的应力分量既满足平衡微分方程 又满足应力边界条件 往往比较困难 但若某些问题存在应力函数 由于应力函数表示的应力分量已满足平衡微分方程 所以 假设的应力分量只需满足应力边界条件即可 11 7应力变分法应于平面问题 1 应力函数的设定 对于平面问题 如果体力为常量 则存在应力函数 使得应力表示为 a 根据问题的应力边界条件 及应力分量与应力函数 的关系 可将应力函数 设为 11 21 其中 am为互不相关的m个系数 0给出应力分量实际满足的应力边界条件 m给出应力分量满足的无面力的应力边界条件 2 形变余能的计算 1 平面应力问题 对于平面应力问题 有 且不随坐标z变化 限于考虑线弹性问题 在z方向取单位厚度 则有 11 22 2 平面应变问题 11 23 3 平面单连体问题 无论是平面应力问题还是平面应变问题 两者的应力分量 x y xy均与材料常数无关 不妨取 0 此时平面问题的形变余能可用统一的形式 将上式中的应力分量用应力函数 表示 有 11 24 3 应力变分方程 对于应力边界条件问题 面力的变分恒为零 所以有 将式 11 24 代入 得 11 25 单连体 应力边界条件问题应力变分方程 由上述方程可决定全部的待定系数am 例 图示矩形板或长柱 体力不计 在两对边上受有按抛物线分布的拉应力 其最大集度为q 其边界条件为 求弹性体中的应力 解 设定应力函数 先设 则 显然 0可以满足全部的应力边界条件 为使 m满足无面力的应力边界条件 可取 m具有因子 或 显然有 由此可知 应力函数 可取 若在式只取一个系数 则 为 b c c 由应力变分方程或最小余能原理 确定待定常数 将式 c 代入 积分得 对正方形的薄板或长柱 取b a 1 可求得 将其代入式 c 并取b a 1 可求得应力分量 薄板或长柱中心 x y 0 处的应力 较精确的解约为 若要求得较精确的解 需在式 b 中取较多系数项 解题步骤小结 1 确定应力函数 的形式 由应力边界条件 应力函数与应力分量间的关系来设定 2 确定应力函数 中的待定系数 由应力变分方程或最小势能原理确定 3 计算应力分量 例 设平面应力问题 全部边界上为给定应力边界条件 不计体力 试用最小余能原理证明airy应力函数 x y 满足双调和方程 证 计算系统的总余能 因为 全部边界为应力边界条件 不计体力 所以其外力余能为零 系统的总余能就等于物体的形变余能 a a 计算总余能变分 并使其等于零 在应力边界上 有 即 利用奥 高公式 有 对上式中每一项进行分部积分 有 因为在边界上 有 在域内 所以 有 11 8应力变分法应于扭转问题 1 扭转应力变分方程 等截面直杆的扭转问题中 存在应力函数 横截面剪应力可表示为 形变余能及其变分 式中 函数 为prandtl应力函数 将其代入形变余能计算式 应力函数 仅为x y的函数 可将上述积分变为 其中 l为杆的长度 g为剪切弹性模量 a 外力的功及其变分 扭转杆件侧面上无外力 因而不存在面力的功 在两端作用有方向相反的两扭矩m 两端的相对转角为 kl 则面力在位移上的功为 w mkl 由上一章的结果 得外力的功为 外力的功的变分为 b 扭转变分方程 将式 a b 代入变分方程 有 扭转变分方程 将式 a b 代入变分方程 有 或 c 以上两式即为扭转问题的变分方程或最小余能原理 1 式 c 中 扭转问题的总余能 说明 2 式 c 中的应力函数 已满足了两端的边界条件 2 扭转问题的变分方法 由于扭转应力函数 要求在边界上的值等于零 其形式可设为 其中 am为互不相关的m个系数 为使应力函数 在边界上的值等于零 必须要求函数 m都在横截面的边界上的值为零 将 代入扭转变分方程 注意到其变分是由系数am的 变分来实现的 所以有 11 26 得到一m阶的线性方程组 恰好可用来m个系数am 例 图示矩形扭转杆 材料的剪切弹模为g 试求其单位长度扭转角 剪应力等 解 设定扭转应力函数 矩形四根边界线的方程 为满足 在边界上的值为零 可取 d 由截面的对称性 或薄膜比拟 应力函数 应为x y的偶数 所以 式中m n都只需取为偶数 对正方形截面杆 b a 若在 d 中只取一项 m n 0 则有 对正方形截面杆 b a 若在 d 中只取一项 m n 0 则有 代入式 11 26 有 11 26 代入扭转变分方程确定待定系数 经积分运算 得 从而 有 e 由公式 10 5 有 由此求得 对照式 10 21 有 的精确值 0 141 相差 0 14 两者仅 将求得的k代入式 e 有 对照式 10 22 由公式 10 2 可求得应力分量 精确值为 0 208 相差 6 8 两者 如果要得更精确的解 需在式 d 中较多的系数项 如 进行与上相同的运算 得到 由此算出的单位扭转角k比精确值只小0 14 最大剪应力 max比精确值只大出4 11 9解答的唯一性 1 问题的提出 弹性力学问题的求解方法与途径 1 解析解 就所取未知量 有 按应力求解 按位移求解 就所用坐标系 有 直角坐标求解 极坐标求解 就解的函数形式 有 多项解 级数解 其它函数解 复变函数解 2 数值解 有限差分解 fdm 有限单元法 fem 边界单元法 bem 离散单元法 udec 不同方法 不同途径得到的不同形式的解 其数值是否唯一 2 解答的唯一性及其证明 相应于一定的体力和边界条件 某一弹性力学问题的解是唯一的 也称解的唯一性定理 解的唯一性定理证明 反证法 假设 在一定的体力 面力 边界条件下 某个弹性力学问题存在两组解 1 2 考察这两组解是否相同 它们都为同一问题的解 应满足相的平衡方程和边界条件 对于第一组解 有 对于第一组解 类似有 将上述两组不同的解方程两边分相减 有 可见 两组不同的解的差 对应的状态为 这就证明了弹性力学解的唯一性 等价于 该弹性体无外力作功 总形变势能为零 即 因为 物体的形变势能恒为非负 所以 两组解的差对应的是零解 表明 上述两组解答必须相同 该弹性体不受体力 面力 边界位移均为零的状态 11 10功的互等定理 1 功的互等定理 设某一弹性体 位移边界条件相同 具有两种受力状