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第二章 解析函数第一节 解析函数的概念及哥西-黎曼条件重点：复变函数可微的充要条件，C-R条件，可微和解析的区别一 导数的定义定义2.1. 设函数在区域上有定义，且及均属于，如果 2.1存在，则称此极限为函数在点的导数，记为或. 这时称函数在点可微.例1. 在复平面上每点均可微，且.事实上，对固定的点，有 .例2. 在复平面上均不可微.事实上，.当时，上式的极限不存在. 因为当取实数而趋于0时，它趋于1，当取纯虚数而趋于0时，它趋于.函数在一点可微，则它在该点必连续，反之不一定正确. 例如函数，由，知它在复平面上处处连续，但由例2知它处处不可微.若函数在区域上点可微，则其和，差，积，商（要求分母不为0）在区域上点可微，且有如下的求导法则：，.二 哥西-黎曼条件 现在，我们来研究复变函数在点可微的必要条件和充分条件.函数在一点可微，也就是说，. 2.2令，其中，则前式变为.因为无论按什么方式趋于0，(2.2)式总是成立的.可先让即变点沿平行于实轴的方向趋于点，此时(2.2)成为.于是知道必存在，且 2.3同样，让即变点沿平行于虚轴的方向趋于点，此时(2.2)成为.于是知道必存在，且 2.4比较(2.3)和(2.4)得到 2.5这是关于及的一组偏微分方程，称为哥西-黎曼条件（Cauchy-Riemann），记为C-R条件. 公式（2.5）也称为DAlembert-Euler公式，是复变函数中的最重要的公式之一. 总结上述讨论，得到下述定理：定理2.1 函数在区域上点可微的必要条件是: 的偏导数在点存在，且满足C-R条件（2.5）.注：定理2.1给出的是函数在一点可微的必要条件，所以凡是在一点不满足上述条件的函数在该点不可微. 例如，这里. 由于偏导数虽然存在，但是处处不满足C-R条件，所以函数处处不可微，这同例2一致.但是，定理2.1给出的条件并不是充分的. 例3. 函数在点满足定理2.1的所有条件，但在点不可微 事实上. 于是所以函数在点满足定理2.1的所有条件. 但是当沿射线趋于0时，上述比值为与有关的值，从而函数在点不可微 现在，我们把定理2.1的条件适当加强，就得到函数可微的充要条件.定理2.2 函数在区域上定义，则在可微的充要条件是在点处可微且满足C-R条件. 同时. 2.7证明 必要性：设则在可微，则其中是随而趋于零的复数. 若令，则上式变为，其中，它们是对的高阶无穷小. 比较后得到，.由二元实函数的微分定义，知道函数在点处可微且满足（C-R条件）.充分性：当定理的条件满足时，在点处有全微分，所以，,式中及是比高阶的无穷小. 再由C-R条件，可令 2.6于是就有即.令，并注意到，所以 也就是.结合（2.6）式也就得到（2.7）式. 注意：复变函数导数的定义，虽然形式上与实变函数导数的定义一样，但实质上有很大的不同.实变函数可微这一条件比较容易满足，其变量只沿实轴趋于零.而复变函数可微的条件要苛刻得多，它要求当以任意的方式趋于零时，都趋于同一个极限，即不但要求复变函数的实部及虚部可微，而且要求它们用C-R条件联系起来. 三 解析函数的定义定义2.2 如果函数在区域上处处可微，则称是区域上的解析函数，或称在上解析; 函数函数在闭区域上解析是指它在包含的某个区域上解析；函数函数在某点解析是指它在该点的某一个邻域内处处可微.如果在点不解析，则称为的奇点.注意：解析的概念是“片”的概念，可微是“点”的概念，只有当可导的点连成片时，我们才称函数是解析的.由定理2.2不难得到函数解析的充要条件定理2.3 函数在区域上定义，则在区域上解析的充要条件是在区域上可微且处处满足C-R条件.例4 设，试说明是处处解析的函数，且.解：在这里，当然它们处处可微.简单