2019高考数学一轮复习精编课件：立体几何中的向量方法理.ppt

一 直线的方向向量和平面的法向量1 直线的方向向量直线l上的向量e或与e的向量叫做直线l的方向向量 显然一条直线的方向向量有个 共线 无数 2 平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面 则称这个向量垂直于平面 记作n 此时向量n叫做平面 的法向量 显然一个平面的法向量也有个 且它们是向量 无数多 共线 1 求平面法向量的一般步骤是什么 二 利用空间向量求角1 求两条异面直线所成的角设a b分别是两异面直线l1 l2的方向向量 则 cos a n 2 设n1 n2分别是二面角 l 的两个面 的法向量 则向量n1与n2的夹角 或其补角 的大小就是 如图 二面角的平面角的大小 求出两平面法向量的夹角后 一定要根据图形来判断二面角的大小与两法向量夹角的关系 然后得出结论 2 点到平面的距离公式如何推导 1 若直线l1 l2的方向向量分别为a 2 4 4 b 6 9 6 则 A l1 l2B l1 l2C l1与l2相交但不垂直D 以上均不正确解析 a b 2 6 4 9 6 4 0 a b 从而l1 l2 答案 B 2 若平面 与平面 的法向量分别是a 4 0 2 b 4 0 2 则平面 与 的位置关系是 A 平行B 垂直C 相交但不垂直D 无法判断解析 由题意 有a b a与b共线 从而 与 平行 答案 A 4 已知两平面的法向量分别为m 0 1 0 n 0 1 1 则两平面所成二面角的大小为 5 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M是AB的中点 则对角线DB1与CM所成角的余弦值为 考向探寻 1 利用空间向量证明平行关系 2 利用空间向量证明垂直关系 典例剖析 1 若直线l的方向向量为a 平面 的法向量为n 能使l 的是A a 1 0 0 n 2 0 0 B a 1 3 5 n 1 0 1 C a 0 2 1 n 1 0 1 D a 1 1 3 n 0 3 1 2 如图 已知直三棱柱ABC A1B1C1中 ABC为等腰直角三角形 BAC 90 且AB AA1 D E F分别为B1A C1C BC的中点 求证 DE 平面ABC B1F 平面AEF 1 解析 若l 则需a n 0即可 经验证知D满足 答案 D 1 用向量证平行的方法 2 用向量证明垂直的方法 用向量证明平行 垂直时 要注意解题的规范性 如证明线面平行时 仍需要体现出一条直线在平面内 另一条直线在平面外的答题步骤 活学活用 1 如图所示 在四棱锥P ABCD中 PC 平面ABCD PC 2 在四边形ABCD中 B C 90 AB 4 CD 1 点M在PB上 PB 4PM PB与平面ABCD成30 的角 求证 1 CM 平面PAD 2 平面PAB 平面PAD 证明 以C为坐标原点 CB为x轴 CD为y轴 CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C xyz PC 平面ABCD PBC为PB与平面ABCD所成的角 PBC 30 考向探寻 1 利用空间向量求两异面直线所成的角 线面角 二面角的大小 2 利用空间向量求空间中的距离问题 2 在正方体ABCD A1B1C1D1中 点E为BB1的中点 则点C1到平面A1ED的距离是 1 建立坐标系 利用向量法求线面角 2 建立坐标系 利用向量法求点到面的距离 3 用几何法证明 用向量法求解 3 证明 连接BD 因为M N分别是PB PD的中点 所以MN是 PBD的中位线 所以MN BD 又因为MN 平面ABCD BD 平面ABCD 所以MN 平面ABCD 1 空间角的求法 异面直线所成的角设异面直线l1 l2的方向向量分别为n1 n2 他们所成的角为 则cos cos n1 n2 直线与平面所成的角设直线l的方向向量为m 平面 的法向量为n 直线和平面所成的角为 则sin cos m n 活学活用 2 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a 1 求点C1到平面AB1D1的距离 2 求平面CDD1C1与平面AB1D1所成的二面角的余弦值 考向探寻 利用空间向量解决探索性问题 典例剖析 2012 福建高考 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AA1 AD 1 E为CD的中点 1 求证 B1E AD1 2 在棱AA1上是否存在一点P 使得DP 平面B1AE 若存在 求AP的长 若不存在 说明理由 3 若二面角A B1E A1的大小为30 求AB的长 探索性问题的分类及解题策略探索性问题分为存在判断型和位置判断型两种 1 存在性判断问题的解题策略是 先假设存在 并在假设的前提下进行推理 若不出现矛盾则肯定存在 若出现矛盾则否定假设 活学活用 3 2012 北京高考 如图 1 在Rt ABC中 C 90 BC 3 AC 6 D E分别是AC AB上的点 且DE BC DE 2 将 ADE沿DE折起到 A1DE的位置 使A1C CD 如图 2 1 求证 A1C 平面BCDE 2 若M是A1D的中点 求CM与平面A1BE所成角的大小 3 线段BC上是否存在点P 使平面A1DP与平面A1BE垂直 说明理由 1 证明 AC BC DE BC DE AC DE A1D DE CD 又A1D CD D DE 平面A1DC DE A1C 又 A1C CD CD DE D A1C 平面BCDE 由图形知二面角P AC D为锐角 30 即求二面角P AC D的大小为30 12分 第一步 建立空间直角坐标系 第二步 确定点的