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数学建模作业习题1.4 在1.3节“椅子能在不平地面上放稳吗”的假设条件中，将四角连线呈正方形改为呈长方形，其余不变，构造模型求解。 解：在地面建立坐标系设椅子对角线ac开始与之夹角为0度，用f（x）表示ac腿与地面的距离和，g（x）表示bd与之距离和，则可知f（x），g（x）是x的连续函数，对任意的x有f（x）g（x）=0，起始时f（x）=0，g（x）0.现将椅子旋转180度，a，c和b，d分别互掉位置，且f（x）先增加后减小为0. g（x）先减小为0后又变为g（x）0。 令h（x）= f（x）-g（x），有以上条件可知在0与180度之间必有一个位置使得h（x1）=0，而且f（x1）g（x1）=0，所以可得f（x1）=g（x1）=0，可知其为长方形是亦可以放稳。1.5 模仿1.4节商人过河问题中的状态转移模型，做下面问题：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，最多能载猫、鸡、米之一，而当人不在场时猫吃鱼、鸡吃米，试设计一个安全渡河方案，并使渡河次数尽量最少。 解：人、猫、鸡、米分别记做i=1,2,3,4，当i在此岸时记xi=1，否则记xi=0，则此岸的状态可用s=（x1，x2，x3，x4，）表示。记s的反状态为s=（1-x1，1-x2，1-x3，1-x4），允许状态集合S=（1,1,1,1），（1,1,1,0），（1，1，0,1），（1,0,1,1,），（1,0,1,0）及它们的5个反状态。 决策为乘船方案，记作d=（u1，u2，u3，u4），当i在船上时记做ui=1，否则记做ui=0，允许决策集合为D=（1,1,0,0），（1,0,1,0），（1,0,0,1），（1,0,0,0）。 记第k次渡河前此案的状态为sk，第k次渡河的决策为dk，则状态转移律为sk+1=sk+（-1）ddk，设计安全过河方案归结为求决策序列d1，d2，dnD，是状态skS按状态转移律有初始状态s1=（1,1,1,1,），经n步到达sn+1=（0,0,0,0）。一个可行的方案如下：K12345678Sk（1,1,1,1）（0,1,0,1）（1,1,0,1）（0,1,0,0）（1,1,1,0）（0,0,1,0）（1,1,0,1）（0,0,0,0）Dk（1,0,1,0）（1,0,0,0）（1,0,0,1）（1,0,1,0）（1,1,0,0）（1,0,0,0）（1,0,1,0）1.7 说明1.5节中Logistic模型（9）可以表示为x(t），其中是人口增长出现拐点的时刻，并说明与r，的关系。 解：当时，立即可得，且1.8 假定人口增长服从这样的规律：时刻t的人口为x（t），t到时间内人口的增量与成正比（其中为最大容量）。是建立模型并求解。 解：为比例系数，所以解得 。1.9 回答下列问题：（1）甲早八点从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午五点到达山顶并留宿次日早八点从同一路径下上，下午五点回到旅店，乙说，甲比在两天中午的同一时刻经过路径的同一地点，为什么。（2）37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的没两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。问共进行多少场比赛，进行多少轮，如果是n支球队呢。（3）甲乙两站之间有电车相通，每个十分钟甲乙两站互发一趟车，但发车的时刻不一定相同。甲乙之间有一中站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那辆车，如果发现100天当中约有90天到达甲站约有10天到达乙站，问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻是如何安排的。（4）某人家住在t市在他乡工作，每天下班后乘火车于六点抵达t市车站，他妻子驾车准时到车站接他回家。一日他提前下班搭早一班火车与五点半到达车站，随即步行回家，他妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇见他，即接他回家，如此发现比往常提前了十分钟，问他步行了多长时间。（5）一男孩和一女孩分别在离家两千米和一千米且方向相反的两所学校上学，每天同时放学分别以四千米每小时和两千米每小时的速度步行回家，一小狗以六千米每小时的速度由男孩处奔向女孩又从女孩处奔向南海，如此往返直到回到家中问小狗走了多少路程。解：（1）设想有两个人一人上山一人下山，同一天出发，沿同一路径，必定相遇。 （2）36场比赛，因为除冠军外每队都要负一场；六轮比赛，因为两队赛一轮，三十二队赛五轮。n队需赛n-1场，若2k-1n2k，则需要赛n轮。 （3）不妨设从甲到乙经过丙站的时刻表是：8:00，8:10,8:20，那么从乙到甲经过丙站的时刻表应该是：8:09,8:19，8:29，。 （4）步行了25分钟。设想他的妻子驾车遇到他后，先带他去车站，再回家，汽车多行驶了十分钟，于是带他去车站这段路程骑车跑了五分钟，而到车站的时间是6:00，所以妻子驾车遇到他的时刻是5:55. （5）小狗跑了3千米，因为其一共跑了半小时，所以路程为3千米。4.2 一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向7个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图上。每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书，这两个销售代理点应该建在何处，才能使所供应的大学生的数量最大？建立该问题的整数线性规划模型并求解。 解：将大学生数量为34，29，42，21，56，18，71的区分别标号为1,2,3,4,5,6,7区，划出区与区之间的如下相邻关系图：1624357 记为第i区的大学生人数，用0-1变量=1表示（i，j）区得大学生由一个销售代理点提供图书（ij且i，j相邻），否则=0.建立该问题的整数线性规划模型 即 Max 用LINDO求解得到：最优解为（其他为0），最优值为177人。4.3 某储蓄所每天的营业时间是上午9:00到下午5:00.根据经验，每天不同时间段需要的服务员数量如下：时间段9101011111212112233445服务员数量43465688储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。全时服务员每天报酬100元，从上午9:00到下午5:00工作，但中午12:00到下午2:00之间必须安排一个小时的午餐时间。储蓄所每天雇佣不超过三名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作四小时，报酬为40元。问该储蓄所应如何雇佣全时和半时服务员？如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用？如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用？ 解：设储蓄所每天雇佣的全时服务员中以12:00到1:00为午餐时间的有名，以1:00到2:00为午餐时间的有名；半时服务员中从9:00,10:00,11:00,12;00,1:00开始工作的分别为名，列出模型且为整数，求到最优解最小费用为820元。 如果不能雇佣半时服务员，则最优解为，最小费用为1100元，每天至少增加280元。 如果雇佣的半时服务员的数量没有限制，则最优解为最小费用为560元，每天减少260元。4.4 一家保姆服务公司专门向雇主提供保姆服务，根据估计，下一年的需求是：春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。公司新招聘的保姆必须经过5天培训才能上岗，每个保姆每季度工作（包括培训）65天，保姆从公司得到报酬而不是从雇主那里得到报酬，每人每月800元，春季开始时公司有120名保姆，每个季度结束后将有15%的保姆自动辞职。 （1）如果如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划，哪些季度的需求增加不影响招聘计划？可以增加多少？ （2）如果公司允许在每个季度结束后解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划。 解：（1）设4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为人，4个季度开始时保姆总数量分别为人，以本年度付出的总报酬最少为目标，则模型为用LINDO求解得到： 4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为0,15,0,59人。 春季和秋季需求的增加不影响招聘计划，可分别增加1800和936人日。 （2）设4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为人，4个季度结束时解雇保姆的数量分别是，4个季度开始时保姆总数量分别为人，以本年度付出的总报酬最少为目标，则模型为用LINDO求解可得到，第二个季度开始招聘15人，结束时解雇15人，第四季度开始时招聘72人。4.6 某公司将四种不同的含硫液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品（分别记为A、B）。按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体在分别与原料丙混合生产A、B，已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别是3,1,2,1（%），进货价格分别为6,16,10,15（千元吨）；产品A、B的含硫量分别不能超过2.5,1.5（%），售价分别为9,15（千元吨），根据市场信息，原料甲乙的供应没有限制，原料丁的供应最多为50吨；产品A、B的市场需求量分别为100,200吨，问应如何安排生产? 解：设分别是产品A中来自混合池和原料丙的吨数，分别是产品B中来自混合池和原料丙的吨数；混合池中原料甲、乙、丁所占比例分别为，优化目标是总利润最大，即约束条件为：（1） 原料最大供应量限制：（2） 产品最大需求量限制：（3） 产品最大含硫量限制： 对产品A，对产品B，类似可得。（4） 其他限制：。用LINDO求解得到结果为：其余为0，目标函数值为450.4.7 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照客户的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是1850mm。现有一客户需要15根290mm，28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管。为了简化生产过程，规定所使用的切割模式不超过四种，使用频率最高的一种切割模式按一根原料钢管价格的1/10增加费用，是用次之的切割模式按一根原料钢管价格的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品）。此外为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm。为了使总费用最少，应该如何下料？ 解： 由于所有可能的切割模式很多，故不再用枚举切割模式的方法建模，而是建立整数非线性规划模型。 记b=（290,315,350,455）为四种产品的长度，n=（15,28,21,30）为四种产品的需求量。设第i种切割模式下没根原料钢管生产四种产品的数量分别为该模式使用次，即使用该模式切割根原料钢管（i=1,2,3,4）。且切割模式次序是按照使用频率从高到低排列的。 约束条件为（1） 产品数量： （2） 切割模式：引入0-1变量表示使用第i种模式，表示不使用（i=1,2,3,4）， （i=1,2,3,4） （i=1,2,3,4） （i=1,2,3,4） （i=1,2,3） （i=1,2,3）（3） 为了减少搜索空间引入的约束：使用原料钢管不可能少于【】；一根原料钢管最多生产5根产品，使用的原料钢管不可能少于【】。所以 优化目标为 用LINDO求解得到：只使用三种切割模式，分别使用9,7,3（次）；每根原料钢管用第一种模式生产四种产品各1,2,0,2（根），用第二种模式生产四种产品各0,1,3,1（根），第三种模式生产四种产品各2,1,0,2（根）；目标函数值为19.6.7.1 对于7.1节蛛网模型讨论下列问题: (1)因为一个时间段上市的商品不能立即售完，其数量就会将影响到下一阶段的价格，所以第k+1时段的价格由第k+1和第k时段的数量和决定。如果仍设只取决于，给出稳定平衡的条件，并与7.1节进行比较。 （2）若除了由和决定之外，也由前两个时段的价格和确定。是分析稳定平衡的条件是否还会放宽。 解：简单地假设由和的平均值决定，模型为 得，与7.