函数的单调性和奇偶性精品讲义.doc

1 第三讲 函数的单调性 奇偶性 一 知识点归纳一 知识点归纳 函数的单调性函数的单调性 1 定义 设函数y f x 的定义域为 I 如果对于定义域 I 内的某个区间D内的任意 两个自变量x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在区间 D上是增函数 减函数 区间D为函数y f x 的增区间 减区间 概括起来 即 1212 1212 1212 1212 xxxx f xf xf xf x xxxx f xf xf xf x 增函数或 同增异减 减函数或 2 函数单调性的证明的一般步骤 设 是区间D上的任意两个实数 且 1 x 2 x 12 xx 作差 并通过因式分解 配方 通分 有力化等方法使其转化为易于判断 12 f xf x 正负的式子 确定的符号 给出结论 12 f xf x 证明函数单调性时要注意三点 和的任意性 即从区间D中任取和 证明单 1 x 2 x 1 x 2 x 调性时不可随意用量额特殊值代替 有序性 即通常规定 同区间性 即和 12 xx 1 x 必须属于同一个区间 2 x 3 设复合函数是定义区间 M 上的函数 若外函数 f x 与内函数 g x 的单 xgfy 调性相反 则在区间 M 上是减函数 若外函数 f x 与内函数 g x 的单调性相 xgfy 同 则在区间 M 上是增函数 概括起来 即 同增异减 II 号 xgfy 4 简单性质 与单调性相同 与及单调性相反 f x f x f x f x 1 f x 在公共定义域内 增函数增函数是增函数 减函数减函数是减函数 xf xg xf xg 增函数减函数是增函数 减函数增函数是减函数 xf xg xf xg 5 必须掌握特殊函数单调性 一次函数 ykxb 2 二次函数 2 yaxbxc 反比例函数 k y x 双钩函数 k yx x 注 函数的多个单调区间 通常不能用并集联接 单调区间的端点只要在定义域内就要加 上 增函数在图像上反映出来就是 向上 减函数从图像上反映出来就是 向下 函数的最值函数的最值 1 定义 的最大值 最大的函数值 的最小值 最小的函数 f x f x f x f x 值 2 求最值方法与求值域方法类似 函数的奇偶性函数的奇偶性 1 定义 设 y f x 定义域为 A 且 A 关于原点对称 如果对于任意 A 都有 x fxf x 称 y f x 为偶函数 设 y f x 定义域为 A 且 A 关于原点对称 如果对于任意 A 都有 x fxf x 称 y f x 为奇函数 概括起来 即 f x f x fxf x 定义域关于原点对称 为偶函数 f x f x fxf x 定义域关于原点对称 为奇函数 2 函数奇偶性的判断 的步骤 求定义域 若定义域不关于原点对称 则函数 f x f x 既不是奇函数也不是偶函数 若定义域关于原点对称 则判断与 f x f x f x 的关系 fx 判断与的关系 若 则为偶函数 若 f x fx fxf x f x fxf x 则为奇函数 若且 则既是奇函数又是偶函数 f x fxf x fxf x f x 若且 则函数既不是奇函数也不是偶函数 fxf x fxf x f x 3 性质 1 若为奇函数 则 图像关于原点对称 f x fxf x f x 0 在定义域内时有 在关于原点对称的区间上单调性相同 f x 0 0f f x 几种特殊的奇函数 yx 3 yx 1 y x sinyx 3 2 若为偶函数 则 图像关于轴对称 在关 f x fxf x f xy f x 于原点对称的区间上单调性相反 几种特殊的偶函数 yx 2 yx cosyx 注 若二次函数为偶函数 则 在同一定义域内 2 yaxbxc 0b 奇偶奇 既是奇函数又是偶函数的函数只有一个解析式 奇奇奇 偶偶偶 0f x 二 典例例题解析 二 典例例题解析 题型一题型一 单调性的定义单调性的定义 例例 1 1 定义在R上的函数 f x对任意两个不相等的实数 a b总有 0 f af b ab 试判断 f x单调性 例例 2 2 若 f x在区间 a b上是增函数 在区间 b c上也是增函数 则函数 f x在区间 a bb c 上 A 必是增函数 B B 必是减函数 C C 是增函数或减函数 D 无法确定单调性 变式训练变式训练 下列说法中正确的有 个 若 12 x xI 当 12 xx 时 12 f xf x 则 yf x 在I上是增函数 函数 2 yx 在R上是增函数 函数 1 y x 在定义域上是增函数 1 y x 的单调区间 是 0 0 题型二题型二 单调性的证明单调性的证明 例例 1 1 证明函数 1 yx x 在区间 0 1 上为减函数 例例 2 2 证明函数 2 1f xxx 在其定义域内是减函数 例例 3 3 已知函数 yf x 在 0 上为增函数 且 0 0 f xx 试判断 1 F x f x 在 4 0 上的单调性 并给出证明过程 题型三题型三 利用单调性求函数值域和最值利用单调性求函数值域和最值 例例 1 1 求下列函数的最值 12f xxx 33f xxx 11f xxx 1 2 2 f xx x 1 1 x f xx x 变式变式 如果函数 求的单调区间和值域 2 23f xxx f x 例例 2 2 已知在 上是减函数 求的取值范围 2 2 1 2f xxa x 4 a 变式变式 1 1 已知的减区间是 求的值 2 2 1 2f xxa x 4 a 变式变式 2 函数 f x x 2 3x 2 在区间 5 5 上的最大值 最小值分别为 A 42 12 B 42 C 12 D 无最大值 最小值 1 4 1 4 1 4 变式变式 3 函数 y 2x2 a 1 x 3 在 1 内递减 在 1 内递增 则 a 的值是 A 1 B 3 C 5 D 1 5 例例 3 3 若在区间上是减函数 求的的取值范围 1 2 ax f x x 2 a 变式变式 1 函数的图象如图所示 则的单调 yf x 1 2 logg xfx 减区间是 2 1 2 1 0 12 12 2 ABCD 和和 变式变式 2 已知是 R 上的减函数 那么的取值范围是 3141 log1 a axax f x xx a 11 11 0 1 0 1 37 37 ABCD 题型四题型四 抽象函数的单调性抽象函数的单调性 例例 1 1 已知函数 yf x 是 上的增函数 且 23 56 fxfx 求x的取值范围 变式变式 已知函数 yf x 的定义域为 且在区间上是增函数且 2 2 f x 2 2 1 fmf m 求m的取值范围 例例 2 2 已知函数 yf x 在 0 上是减函数 比较 3 4 f 与 2 1 f aa 的大小 例例 3 3 已知定义在区间 0 上的函数 f x满足 x ff xf y y 且当1x 时 0f x 求 1 f的值 判定 f x的单调性 若 3 1f 求 f x在 2 9 上的最小值 X Y O 1 2 1 6 变式变式 已知定义在区间上的增函数 f x满足 解 0 x ff xf y y 2 1f 不等式 1 2 3 f xf x 例例 4 4 函数 f x 是定义在 0 上的减函数 对任意的 x y 0 都有 f x y f x f y 1 且 f 4 5 1 求 f 2 的值 2 解不等式 f m 2 3 变式变式 已知函数 f x定义域为R 且对 m nR 恒有 1f mnf mf n 且 1 0 2 f 当 1 2 x 时 0f x 求 1 2 f 证明 f x在R上为增函数 题题型型五五 函函数数的的奇奇偶偶性性 概概念念 例例 1 1 下列说法中错误的个数为 图像关于坐标原点对称的函数是奇函数 图像关于y轴对称的函数是偶函数 奇函数的图像一定过坐标原点 偶函数的图像一定与y轴相交 A 4 B 3 C 2 D 0 变式变式 下列判断正确的是 A 定义在R上的函数 f x 若 1 1 ff 且 2 2 ff 则 f x是偶函数 B B 定义在R上的函数 f x满足 2 1 ff 则 f x在R上是增函数 C C 定义在R上的奇函数 f x在区间 0 上是减函数 则在区间 0 上也是减函 数 D D 既是奇函数又是偶函数的函数只有一个 题型六题型六 函数函数奇 偶性的判断奇 偶性的判断 7 例例 1 1 判断下列函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性 定义法定义法 3 1 f xx x 1 1 1 x f xx x 2 1 22 x f x x 2 21f xxx 22f xxx 22 11f xxx 12 12 x x xf 1lg 1lg xxxf 例例 2 2 判断下列函数奇偶性 判断下列函数奇偶性 定义法或图像法定义法或图像法 1 0 1 0 x xx f x x xx 2 2 230 00 230 xxx f xx xxx 2 2 1 0 1 2f xx 例例 3 3 判断下列函数奇偶性 判断下列函数奇偶性 抽象函数抽象函数 F xf xfx F xf xfx 其中为奇函数 函数定义域为 并且对任意 F xf xfx f x f xR 均满足 判断判断奇偶性 并证明 xyR f xyf xf y f x 设函数并且对任意非零实数均满足 0 yf x x xy f xyf xf y 求证求证 为偶函数 f x 函数不恒为 0 对任意均满足 f x xR xyR 求证求证 为偶函数 2 f xyf xyf x f y f x 题型七题型七 奇偶性的应用奇偶性的应用 1 1 求函数值求函数值 例例 1 1 已知 53 8f xaxbxcx 且 3 10f 求 3 f 变式变式 1 1 已知f x x5 ax3 bx 6 且 f 3 10 则f 3 的值为 变式变式 2 2 已知定义在 R R 上的奇函数f x 和偶函数g x 满足f x g x ax a x 2 a 0 且a 1 若g 2 a 则f 2 A 2 B C D a2 15 4 17 4 8 变式变式 3 3 已知 g x 为奇函数 且 f 3 求 f 3 x xgxxxf2 1 log 2 2 8 41 变式变式 4 4 设f x 是定义在 R R 上的奇函数 当x 0 时 f x 2x2 x 则f 1 A 3 B 1 C 1 D 3 变式变式 5 5 已知 f x是定义在 R R 上的奇函数 若 2 f xf x 则 6 f的值为 2 2 求解析式求解析式 例例 1 1 已知 f x是奇函数 当0 x 时 2f xx x 求0 x 时 f x解析式 变式变式 1 1 奇函数f x 在 0 上的解析式是f x x 1 x 则在 0 上f x 的函 数解析式是 A f x x 1 x B f x x 1 x C f x x 1 x D f x x x 1 变式变式 2 2 设 f x 为偶函数 g x 为奇函数 又 f x g x 1 1 x 求 f x 和 g x 例例 2 2 函数 2 1 axb f x x 是定义在 1 1 上的奇函数 且 12 25 f 求 f x解析式 变式变式 1 1 若函数 2 3f xaxxb 是R上的奇函数 则 xf的解析式为 变式变式 2 2 若函数 1 yxxa 为偶函数 求a 3 3 解不等式解不等式 例例 1 1 设 f x为定义在R上的偶函数 在 0 上递增 且 1 21 f afa 求 a的取值范围 变式变式 1 1 已知偶函数f x 在区间 0 上单调递增 则满足f 2x 1 f的x取值范 1 3 围是 A B C D 1 3 2 3 1 3 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 变式变式 2 2 f x为偶函数 在 0 上单调递减 且 21 3 fxf x 求x的取值范 围 4 4 奇偶性与单调性的综合应用奇偶性与单调性的综合应用 例 1 设 f x是上的偶函数 f x在上单调递增 试比较