数列求和的基本方法和技巧.doc

2013/4/27:数列通项、求和一、求数列的通项公式方法的归纳：求数列通项公式常用观察法、公式法、等差或等比通项公式法、递增关系变形法（累加、累乘）等。1、 公式法： ，注意两种情况能合并，则合并，不能合并，则分段表示。2、 常见递推数列通项公式的求法：（1）、型（用累加法）即：，将上述个式子相加，可得：（2）、型（用累乘法）即，. 将上述个式子相乘，可得：。（3）型（方法一：待定系数法，通过待定系数法求出的值，构造成以为首项，以为公比的等比数列。方法二：迭代法= = =而是一个等比数列，求出其和，即可求出通项。（4）型方法一：待定系数法通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列。方法二：等式两边同时除以有，转化为型。（5）型两边取倒数有转化为型。一、方法：利用叠加法，例1数列满足，求数列的通项公式解：由 得=例2数列满足，且，求数列的通项公式 分析：注意到左右两边系数与下标乘积均为，将原式两边同时除以，变形为令，有，即化为类型， 以下略二、 方法：利用叠代法 ，例3数列中，且，求数列的通项 解：因为，所以 =三、，其中为常数，且当出现型时可利用叠代法求通项公式，即由得=或者利用待定系数法，构造一个公比为的等比数列，令，则即，从而是一个公比为的等比数列如下题可用待定系数法得，可将问题转化为等比数列求解待定系数法有时比叠代法来地简便例4设数列的首项，求数列通项公式解：令，又，又，是首项为，公比为的等比数列，即，即四、， 为常数 方法：可用下面的定理求解：令为相应的二次方程的两根(此方程又称为特征方程)，则当时，；当时，其中分别由初始条件所得的方程组和 唯一确定例5数列，满足：，且，求，解：由得 ， ，代入到式中，有，由特征方程可得，代入到式中，可得说明：像这样由两个数列，构成的混合数列组求通项问题，一般是先消去(或)，得到(或)，然后再由特征方程方法求解五、型，这里为常数，且例6在数列中， ，其中，求数列通项公式解：由 ，可得，所以为等差数列，其公差为，首项为故，所以数列的通项公式为 评析：对的形式，可两边同时除以，得，令有，从而可以转化为累加法求解六、一般地，若正项数列中，则有，令(为常数)，则有数列为等比数列，于是，从而可得例7已知各项都是正数的数列满足，求数列的通项公式分析：数列是一个二次递推数列，虽然不是基本冪型，但由它可以构造一个新的冪型数列，通过求的通项公式而达到求数列通项公式的目的解：由已知得令，则有又，从而取对数得，即是首项为，公比为的等比数列，二、数列求和的方法（1）公式法：等差数列：；等比数列：； （2）错位相减法:这是推导等比数列前项和公式时所使用的方法，这种方法主要用于求数列的前项和，其中分别是等差数列和等比数列。（3）倒序相加法将一个数列倒过来排序，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。（4）分组求和法数列既不是等差数列又不是等比数列时，但它可以通过适当拆分，分为几个等差、等比数列或常见的数列，即能分别求和，然后再合并。（5）裂项法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，其实质是将数列中的某些项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。常见的裂项法有：三、考题精析例1：(2010年全国高考宁夏卷17）设数列满足（1） 求数列的通项公式；（2） 令，求数列的前n项和解：（）由已知，当n1时，。而 所以数列的通项公式为。（）由知 从而 -得 。即 点评：本题主要考察由递推关系求数列通项的方法以及运用错位相减法求数列的和。熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。例2：（2010山东理数18）已知等差数列满足：，的前n项和为（）求及；（）令bn=(nN*)，求数列的前n项和【解析】（）设等差数列的公差为d，因为，所以有，解得，所以；=。（）由（）知，所以bn=，所以=，即数列的前n项和=。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。例3：（2010四川理数21）已知数列an满足a10，a22，且对任意m、nN*都有a2m1a2n12amn12(mn)2（）求a3，a5；（）设bna2n1a2n1(nN*)，证明：bn是等差数列；（）设cn(an+1an)qn1(q0，nN*)，求数列cn的前n项和Sn.解：(1)由题意，零m2,n1,可得a32a2a126 再令m3,n1，可得a52a3a18202分(2)当nN *时，由已知(以n2代替m)可得a2n3a2n12a2n18于是a2(n1)1a2(n1)1(a2n1a2n1)8即 bn1bn8所以bn是公差为8的等差数列5分(3)由(1)(2)解答可知bn是首项为b1a3a16,公差为8的等差数列则bn8n2，即a2n+=1a2n18n2另由已知(令m1)可得an-(n1)2.那么an1an2n1 2n1 2n于是cn2nqn1.当q1时，Sn2462nn(n1)当q1时，Sn2q04q16q22nqn1.两边同乘以q，可得 qSn2q14q26q32nqn.上述两式相减得 (1q)Sn2(1qq2qn1)2nqn 22nqn 2所以Sn2综上所述，Sn12分【命题意图】本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力.一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式：3、 例1 已知，求的前n项和.例2 设Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值.二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例3 求和：例4 求数列前n项的和. 三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.例5 求证：例6 求的值四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例7 求数列的前n项和：五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 用于类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：（1），特别地当