导数定义.doc

一元函数微分学及其应用导数概念定义：在点的某个邻域内有定义，如果存在，称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即导数的定义式也可取不同的形式，常见的有；注：1.函数在一点的导数的几何定义：是曲线在点的切线斜率；在抽象情况下，表示在点变化的快慢的变化率。2.可导与连续的关系：如果函数在点处可导，则函数在该点必连续；函数在点处连续却不一定在该点处可导。3.左导数与右导数，函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等。4.如果函数在开区间内可导，且及都存在，就说在闭区间上可导。利用导数定义研究可导性例1 已知，求解： 例2 已知，求解： 所以例3 在的某个邻域内有定义,则在可导的充分必要条件为:A. 存在; B.存在；C. 存在; D. 存在解：选择D. 在可导的充分必要条件为存在.在导数定义的极限式中必须保证,而不是或(这样只是单侧导数,如A);在导数定义的极限式中必须是,即必须是点的函数变化率,分子上必须是点的函数变化量.(B,C都与函数在的值无关,都不能作为导数存在的条件) ,令,则存在等价于存在,等价于存在,所以存在等价于在可导.例4.，则在点处可导的充分必要条件A. 存在; B. 存在;C. 存在; D. 存在 解:选择B, (A,C的分母都为，它们都是从大于零的方向趋于0，所以都是单侧导数)D的分母不是函数在处的变化量，是与无关的量）由于, 所以,例5 设为周期为5的连续函数,在的某个邻域内满足,且在处可导,求曲线在点处切线的斜率.解: 由于是周期为5的函数，所以处切线的斜率与处切线斜率相同。只要求出由于即可。在处可导,所以，对两边取极限,有，由,有，两边取极限既有。练习 设周期为的函数在内可导,又,求曲线在点处切线的斜率.例6设为不恒为零的奇函数,且存在,讨论在的连续性解: 为不恒为零的奇函数,所以,又存在,所以存在,故是的可去间断点。练习 , 求练习 , 求例7设对任意均满足,且,其中为非零常数,讨论在处是否可导?如可导,求导数解: 由于,所以,所以在处是可导,且(注意:在没有证明存在之前,不能记为,即没有证明存在之前不能写成.) 例8 讨论在点连续性与可导性解：，在不连续，当然在不可导。例9 讨论在点连续性与可导性解：； 在可导，当然在点连续。练习：讨论在处的连续性与可导性例10：.证明:函数在上可导,并研究其导函数在处的连续性.证明: 所以在处可导.由于初等函数在定义域内可导,所以当,且时显然可导.因此, 在上可导.时, 在处的连续.练习： 讨论在处的连续性与可导性带有参量函数的函数连续性和可导性研究例11其中在处可导,且,则在的连续性如何,如是间断点,判断其类型.解： ，而，所以是的可去间断点。断点例12 如有连续导数, ，若在处连续,求解：在处连续，所以.例13 ,有二阶连续导数,且求:1) ;2)讨论在上的连续性.解：时，所以 所以在处连续，在上的连续.练习： ,且,求例14. 有界,讨论的连续性与可导性. 解：所以，在处连续，所以在上连续.所以，在处可导，所以在上可导. 例15 讨论在处的连续性与可导性解：所以，在处连续，所以在上连续.所以，在处可导，所以在上可导.练习： 设，求的反函数及的间断点及不可导点.带有绝对值的函数的连续性和可导性研究：例16讨论的可导性当时，所以在时，不可导。当时，所以在时，不可导。当时，所以在时，不可导。 练习1： 讨论在处的连续性与可导性.2. 讨论在处的连续性与可导性例17设在内有定义,若时,恒有,则在处可导,并求该导数. 证明：由于，所以，由于，所以时，由夹逼准则时，由夹逼准则，所以，在处可导，且例18设可导,，证明:是在处可导的充分必要条件.证明：在处可导的充分必要条件为，即，所以是在处可导的充分必要条件.练习：1 设函数,其中在处连续,则是在处可导的充分必要条件.例19 设函数在处可导，则函数在处不可导的充分必要条件为A； B. ;C. ; D. .解：函数在处可导，则存在，如果则，由于在处可导，所以在处连续，所