第八章 多元函数微分法及其应用.doc

第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念1、 平面点集、n维空间、多元函数的概念，这些你如果不知道就看看。我下面的资料是从P7开始的。2、 在数轴上（一维空间），当时，只有两种趋近方式：一是从左边趋近于，即；二是从右边趋近于，即。在平面直角坐标系中（二维空间），点趋近于点时，即的方式有无穷多种，例如，当时，点既可以沿正半轴趋于点这时便可写成，也可以沿负半轴趋于点这时便可写成；点既可以沿正半轴趋于点这时便可写成，也可以沿负半轴趋于点这时便可写成；同时点也可以沿直线趋于点这时便可以写成；也可以沿正弦函数图象趋于点这时便可以写成。我们应该意识到，点还可以沿着一些不规则的路径趋于点。这里说了这么多，就是要让你明白P7第二段中的“这里表示点以任何方式趋于点”这句话的涵义。3、 对于多元函数的极限，特别是二元函数的极限，只需要了解它的定义，并且会求简单的二元函数的极限，如本节例5、7、8这些题型。考研中，二元函数的极限的计算应该不会考到，重点是一元函数的极限的计算题。但是要会判断这类题型，就是通过找一条特殊路径求出它的极限不等于。如P8页给出的那个例题：4、 了解多元函数（二元函数）连续性的定义，后面的间断点、最大值最小值定理、介值定理看看就行了。5、 习题81第6、7题，结合答案看看就行了。第二节 偏导数1、 本节都是重点。2、 由偏导数的定义，我们在求二元函数在某一点处对的偏导数时，可以先令二元函数中的，则二元函数则变为一元函数，再求该一元函数在点处的导数值，那么就有。当然也可以先求出偏导（函）数，再把带到该偏导函数中去，这种方法相对于上面那种来说，有点复杂。3、 教科书上把偏导数写为，复习全书上是写为，这两种写法都可以，你不要纠结于这种无关紧要的细节问题。4、 偏导数的几何意义：对于二元函数，偏导数就是一元函数，在点处的导数，也就是该点处的斜率。（该一元函数中为自变量，为因变量，这里强调这一点是因为教科书上P15倒数第二段中的“切线对轴的斜率”就是表达这个意思）。同理也有相同的性质，我在这里不说了。5、 强调偏导数的几何意义，主要是为了让你明确：对于二元函数来说，该函数在点处的连续性，与该点处偏导数、的存在与否，没有联系。回顾一下一元函数，函数在点的导数如果存在，那么函数在点处必然连续；反之，如果函数在点处连续，那么不一定存在。即。对于二元函数的这种特殊性质的原因，书上解释的有，它是从几何角度解释的，我在这里严格清晰地解释一遍，下面只是对为例解释偏导存在性与函数连续性的关系，对来说是一样的，我不再赘述。因为，所以当偏导数存在时，极限必然存在，又由于当时，该极限的分子趋于0，而该极限存在，那么当时，该极限的分母也必然趋于0，即，注意：就表示点沿直线趋于点时函数的极限，即当点沿直线趋于点时。故有当存在时，点沿直线趋于点时，。二元函数的连续性要求，这里的趋近方式是任意的，存在时，只能保证点沿直线趋于点时，所以，由存在不能得出函数在点处连续。6、 本节所有例题、习题（除第5题）都要看，为了提高效率，加快进度，你结合答案看懂就行了，没必要自己一个一个做完，再对答案。第三节 全微分1、 牢记全微分的定义，表示当时的高阶无穷小，即。注意：对如下式子进行变形可得等价于等价于等价于等价于 ，注意到是一个定值，用表示，那么式又可以等价于以上的，某年的一道考研真题是这样出的：已知函数在点处可微分，且，那么，明显，根据第个等式我们可得，故2、 偏导的连续性、函数的可微性、可偏导性与函数的连续性之间的关系： 、在点处连续在点处可微，且在点处连续、存在左右两者之间没有关系3、全微分在近似中的应用不用看，习题83第1、2题。第四节 多元复合函数的求导法则1、 先给出一个原则单程全导，岔路偏导，该原则的运用我给你手写算了，因为word不好录入。2、 P30页有一个非常重要的性质全微分形式不变性，该性质的具体内容我在这里不多说了，我这里重点强调该性质的运用。设，在运用中，首先直接写出，然后再计算出和的表达式，注意：、分别表示函数、的全微分，把和的表达式带入，经过整理，在所得式中的系数就是，的系数就是。例如：若，求及。首先写出，而，把、带入，并整理得：所以，3、 本节例题例5不用看，例6重点掌握，上面给出的例题是我自己想的，可能有点复杂，书上的例6题很好，要掌握利用全微分形式不变性解题的方法。习题84你自己都看看嘛，没必要每道题都认认真真的做完，结合答案看完就行了。第五节 隐函数的求导公式1、 本节只需掌握“一个方程的情形”，习题自己看着做，总之懂了就行了，没必要花太多时间在上面。2、 第六节、第七节、第九节、第十节均不考，不用看。第八节 多元函数的极值及其求法1、 本节很重要，特别是用拉格朗日乘数法求条件极值，条件极值部分只需掌握二元函数在一个条件下的极值问题的求法就行了，三元