1999-2000学年第二学期高等数学重修课考试试卷（B）答案.doc

北方交通大学1999-2000学年第二学期高等数学重修课考试试卷（b）答案及评分标准一填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中 1 _ 2曲线 在点处的法线方程为 _ 3设函数在区间上连续，且，且设，则 _ 4已知，则 _ 5抛物线与直线所围图形的面积为 _ 答案： ； ； ； ； 二选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效 1指出下列函数中，当时，_为无穷大量 （a）； （b）； （c）； （d） 2设 ，则在点处的_ （a）左右导数都存在； （b）左导数存在，但右导数不存在； （c）左导数不存在，但右导数存在； （d）左、右导数都不存在 3已知函数，则方程有_ （a）分别位于区间，内的三个根 ； （b）分别位于区间，内的三个根； （c）四个实根，分别位于区间，内 ； （d）四个实根，它们分别为， 4设函数有原函数，则 _ （a）； （b）； （c）； （d） 5设区间连续函数满足关系式：，则_ （a）在区间的某个小区间上有 ； （b）对区间上的所有点，有 ； （c）在区间内至少有一点，使得 ； （d）在区间内不一定有 答案： （d） ； （a） ； （b） ； （b） ； （c） 三（本题满分6分） 讨论函数的连续性，若有间断点，判断其类型 解： 3由于 因此是的第一类跳跃型间断点 4由于 因此是的第一类跳跃型间断点 5 除外处处连续 6四（本题满分6分） 设 （其中，为常数），试求 解： 4所以， 6五（本题满分6分） 设，试求 解： 2 4所以， 6六（本题满分7分） 计算定积分 解： 令，则，当时，；当时，并且由于在区间上取负值，因此 3 7七（本题满分7分） 设函数由方程所确定，其中函数具有二阶导数，且，试求 解： 两端取对数，得上式两端对求导，得 所以， 3因此， 7八（本题满分7分） 研究函数的极值 解： ， 在上处处连续所以，在点及处，不可导再令，得的驻点 4不存在不存在极大值极小值极大值 6因此，有极大值，；极小值 7九（本题满分7分） 求由圆绕轴旋转一周所成旋转体的体积 解： 因为， ， 而所求环体的体积是由半圆与半圆绕轴旋转生成的旋转体的体积之差，即 4 7十（本题满分8分） 证明：当时， 解： 令，则， 2 令，得，即是函数在区间上的唯一驻点 4 ，所以，故是函数的极小值点，由于它是唯一的极值点，从而也是函数的最小值点 6即当时，因此，当时， 8十一（本题满分8分） 设 ，其中为连续函数，试讨论在点处的连续性与可导性 解： ， 因此函数在点处连续 4 所以，函数在在点处可导，且 8十二（本题满分8分） 已知平面曲线的方程为 ，考虑把曲线围在内部且各边平行于坐标轴的矩形，试求这些矩形中的最小值 解： 由，知，所以，因此，由此得 故定义域为 又曲线关于轴对称，令，得，；令，得因此曲线与轴的交点为与；与轴的交点只有 对曲线方程的两端求导，得即 得驻