化归思想方法在高中数学教学中的渗透.pdf

硕士学位论文 m a s 1 1 e r s r l t e s i s 摘要 数学思想方法是数学教育研究的一个焦点问题 它是从具体的数学内容中提炼 出来的对数学知识的本质认识 它在数学认识活动中被普遍使用 是建立数学理论 和解决数学问题的指导思想 是在研究和解决数学问题的过程中所采用的手段 途 径和方式 化归思想方法是最基本 最常用的思想方法 我们发现许多高中学生 即使是省重点高中的高水平学生 化归思维方式仍然是一个大障碍 不容易理解和 使用 因此我们觉得展开这项研究非常有意义 本文在前人研究成果的基础上 结合高中数学研究了化归思想方法的含义 化 归原则 化归策略 其中化归原则包括 熟悉化原则 简单化原则 和谐化原则 直观化原则 标准化原则 低层次化原则 正难则反原则等 相应的化归策略包括 化陌生为熟悉 化困难为容易 化未知为已知 数与形的转化 特殊与一般的转化 高维与低维的转化 整体化方法 进与退的转化 反客为主等 重点论述了立体几 何中的化归方法 结合实例论述了如何利用数学知识之间的内在联系实现化归 在 案例分析的基础上本文提出了化归思想方法在教学中应注意的问题 克服化归的负 面影响 关键词 高中数学 数学思想方法 化归原则 硕士学位论更 m a s f l e r s i l l e s s a b s t r a c t m a t h e m a t i c st h i n k i n gm e t h o di sam a t h e m a t i c se d u c a t i o nr e s e a r c hf o c u s i ti sf r o m t h ec o n c r e t em a t h e m a t i c sc o n t e n te x t r a c t e do u tt ou n d e r s t a n dt h en a t u r eo fm a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e m a t h e m a t i c a lc o g n i t i o ni n i ta r ei nc o m m o nu s e i st oe s t a b l i s ht h e m a t h e m a t i c a lt h e o r ya n dm a t h e m a t i c a lp r o b l e ms o l v i n gg u i d e l i n e s i nr e s e a r c ha n d m a t h e m a t i c a lp r o b l e ms o l v i n gp r o c e s sm e a n s w a y sa n dm e a n s t ot h et h i n k i n gm e t h o di s t h em o s tb a s i c t h em o s tc o m m o n l yu s e dm e t h o d w ef i n dt h a tm a n yh i g hs c h o o ls t u d e n t s e v e ni fi ti sap r o v i n c i a lk e y h i g hs c h o o lh i g hl e v e ls t u d e n t s t ot h ew a y o ft h i n k i n gi ss t i l l ab i gb a r r i e r i sn o te a s yt ou n d e r s t a n da n du s e s ow et h i n ko u tt h i s s t u d yi sv e r y m e a n i n g f u l i nt h i sp a p e r o nt h eb a s i so fp r e v i o u sr e s e a r c hr e s u l t s c o m b i n e dw i t ht h eh i g h s c h o o lm a t h e m a t i c ss t u d yt h et r a n s f o r m a t i o nm e t h o d m e a n i n g t ot h ep r i n c i p l e t ot h e s t r a t e g y t h er e d u c t i o np r i n c i p l e si n c l u d e f a m i l i a rw i t ht h ep r i n c i p l e s i m p l i c i t yp r i n c i p l e h a r m o n yp r i n c i p l e v i s u a lp r i n c i p l e t h es t a n d a r d i z a t i o np r i n c i p l e l o wl e v e l so fp r i n c i p l e i sd i f f i c u l tt ot h ep r i n c i p l e c o r r e s p o n d i n gt ot h es t r a t e g yo fs t r a n g e r s i n c l u d i n gf a m i l i a r d i f f i c u l te a s y o ft h eu n k n o w nt ot h ek n o w n t h en u m b e ra n dt h es h a p et r a n s f o r m a t i o n s p e c i a la n dg e n e r a lt r a n s f o r m a t i o n h i g hd i m e n s i o na n dl o wd i m e n s i o n a lt r a n s f o r m a t i o n i n t e g r a lm e t h o d a n db a c ki n t ot h et r a n s f o r m a t i o n t u r nf r o mag u e s ti n t oah o s t d i s c u s s e st h es o l i dg e o m e t r yt r a n s f o r m a t i o nm e t h o d d i s c u s s e sw i t he x a m p l e sh o wt ou s e m a t h e m a t i c a lk n o w l e d g et ot h ei m m a n e n tc o n n e c t i o nb e t w e e nr e a l i z er e d u c t i o n b a s e d o nc a s ea n a l y s i st h ea r t i c l ep u t sf o r w a r dt ot h et h i n k i n gm e t h o di nt h et e a c h i n gs h o u l d p a ya t t e n t i o nt ot h ep r o b l e m o v e r c o m et h en e g a t i v ei n f l u e n c e k e y w o r d s t h eh i g l ls c h o o lm a t h e m a t i c s m a t h e m a t i c a lt h o u g h ta n dm e t h o d t h e p r i n c i p l eo f b e 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 引言 本人从事高中数学教学已有十六年了 经常有学生提出这样的问题 我上 课听得懂 就是碰到难一点的数学题不会做 那是为什么呢 这个问题当然很难 回答 因为不同的学生的答案也不一定会相同 但是我想 如果能从思想方法的 角度来考虑 来转化 应该是有启发和有意义的 同时我们学习数学 除了学习 定义 定理 公式 法则之外 最大的意义是什么呢 我想 应该就是化归思想 方法 因为它使学习者更聪明 更灵活 更敏捷 在逻辑思维训练中具有其它学 科无法替代的作用 数学思想方法是数学教育研究的一个焦点问题 所谓数学思想是指从具体 的数学内容中提炼出来的对数学知识的本质认识 它在数学认识活动中被普遍使 用 是建立数学理论和解决数学问题的指导思想 比如方程思想 化归思想 极 限思想 公理化思想等 所谓数学方法是指研究数学问题过程中所采用的手段 途径 方式等 比如变量代换方法 解析法等 数学思想和数学方法是紧密联系 的 两者虽然层次不同 但它们之间并没有绝对的界限 因此常统称为数学思想 方法 一般说来 强调指导思想时称数学思想 强调操作过程时称数学方法 作为数学知识内容精髓的数学思想方法是铭记在人们头脑中的数学的精 神与态度 数学的观点与文化 日本数学教育家米山国藏认为 学生们在初中 高中接受的数学知识 因毕业进入社会后几乎没有什么机会应用 这种作为知 识的数学 通常在出校门不到一两年 很快就忘掉了 然而 不管他们从事什 么业务工作 唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神 数学的思维方式 研究 方法 推理方法和着眼点等 若培养了这方面的素质的话 却随时随地发生作 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 用 使他们受益终生 数学思想方法是以具体的数学内容为载体 又高于具体数学内容的一种指导 思想和普遍适用的方法 数学思想方法能使学生领悟到数学的真谛 懂得数学的 价值 学会数学地思考和解决问题 数学思想方法能把知识的学习与培养能力 发展智力有机地统一起来 因此现代数学教育中数学思想方法的渗透与应用具有 举足轻重的作用 中学数学教学大纲就明确规定数学基础知识是指 数学中的概 念 性质 法则 公式 公理 定理以及由其内容反映出来的数学思想方法 可 见 数学思想方法是数学知识的一部分 掌握数学思想方法和掌握具体数学知识 同样重要 化归思想方法是数学中最基本 最常用也是最重要的思想方法 其它各种 思想方法大多渗透有化归思想方法 例如 数形结合思想体现了数与形的相互转 化 分类讨论思想体现了局部与整体之间的相互转化 各种变换方法 反证法 分析法 构造法 待定系数法等都是转化的手段 化归思想方法无处不在 无处 不有 化归思想方法是各种思想方法的基础 是解决问题的最常用的方法 化归思想方法作为数学中最基本 最常用也是最重要的思想方法 在高中数 学教学中还没有得到应有的重视 我发现许多高中学生 即使是许多省重点高中 的高水平学生 都认为化归思维方式仍然是一个大障碍 不容易理解和使用 因 此我觉得展开这项研究非常有意义 h 米山嘲藏 数学的精神 思想和方法 m 成都 四川教育出版杜 1 9 8 6 4 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 1 文献综述 国内外关于化归的方法 原则的研究很多 例如钱佩玲在 数学思想方法与 中学数学 第二版 中论述了化归方法的基本思想 将化归方法的基本原则分为 化归目标简单化原则 具体化原则 和谐统一性原则 形式标准化原则 低层次 化原则 将化归的基本策略分为 通过语义转换实现化归 一般化与特殊化策略 分解与组合策略 归纳 类比 联想与化归 通过寻找恰当的映射实现化归 吕凤祥在 中学数学解题方法 中将化归方式分为 生疏问题转化为熟悉 问题 复杂问题转化为简单问题 抽象问题转化为具体问题 一般与特殊的相互 转化等 张志淼在 数学学习与思想方法 中将化归的一般原则分为化归方向 的熟悉化原则 化归目标的简单化原则 具体化原则 化标准化原则 低层次原 则等 任樟辉在 数学思维理论 中称化归的目的是化难为易 化繁为简 化 生为熟 化隐为显 也就是化未知为已知 李大勇在 中学数学解题导引 中 对数学解题的一般理论进行了阐述 对于转化型方法分为七节进行了论述 化归 法 等价变换 非等价变换 换元法 几何变换 r m i 原理 转化的技巧 戴 再平在 数学方法与解题研究 也讲到类似的内容 赵小云 叶立军在 数学化归思维论 中也对化归的方向 方法 原则 途径作了全面系统的研究 在化归的方向中讨论了由未知到已知 由难到易 由 繁到简 将化归的方法分为分割法 映射法 关系映射反演方法 将化归的原 钱佩玲 数学思想厅法与i l 学数学 第二版 m 北京 北京师范大学出版杜 2 0 0 8 1 7 4 3 o r 风祥 t 学数学解题方法 m 哈尔滨 哈尔滨i 业大学m 版社 2 0 0 3 1 2 4 1 2 7 张忐淼 数学学爿与数学思想办法 m 郑州 郑州大学出版社 2 0 0 6 3 1 5 3 1 7 劬任樟辉 数学思维理论 m 南宁 广两教育m 版社 2 0 0 3 1 0 4 曲李大勇 1 l j 学数学解题论导引 m 合肥 合肥i 业大学出版社 2 0 0 4 1 6 5 掣戴再平 数学办法与解题研究 m 一匕京 高等教育m 版社 1 9 9 6 1 3 6 m 赵小云 叶沈军 数学化归思维论 m 北京 科学出版社 2 0 0 5 1 8 1 5 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 则分为熟悉化和模型化 简单化和具体化 特殊化和一般化 将化归的途径分为 细分和变换 王子兴在 数学方法理论 问题解决的理论 中谈到了化归方 法在问题解决中的作用和意义 郑毓信先生在 数学方法论入门 中讲到 善 于使用化归是数学家思维方式的重要特征 化归的方向应由未知到已知 由难 到易 由繁到简 由一般到特殊 化归的方法有分割法 映射法 求变法 何小亚在 数学学与教的心理学 中将解决数学问题的化归策略分为 化 陌生为熟悉 化繁为简 特殊与一般的互化 正难则反 顺推与逆推之结合 动静之转化 各种期刊上也不时刊登有关论文 例如凌健在 化归思想在数学解题中的 应用 一文中论述了化归的八个原则 陌生问题转化为熟悉问题 主元与辅元 的转化 特殊与一般的转化 数与形的相互转化 等与不等的相互转化 整体 与局部的转化 升维 幂 与降维 幂 的转化 通过构造数学模型转化 张启凡老师在 联想类比回归基础 化归转化的优化策略 一文中 论述了化归的几种策略 1 联想基本函数 探究解题方向 将复杂函数通过联 想类比 换元转化为有限个基本函数来处理 2 联想课本习题 明确解答方 法 课本中的一些典型问题和方法是学生解答问题的范例 也是启发学生发散 思考的源头活水 3 联想公式特征 达成整体转化 4 立足定义 直面问题 5 数形结合 简约推理 6 借助 导数法 简洁明快 由上 关于化归的理论己近乎完善 近年各种杂志上都有关于化归的文章 虽然结合实例不同 但是关于化归的理论都是大同小异 著名的英国数学家纳皮尔 j n a p i e r l 5 5 0 1 6 7 3 是近代数学史中运用化归 思想方法的杰出代表 他把天文学中繁杂的乘 除 乘方 开方等运算问题 手子兴 数学方法论 问题解决的理论 m 霞庆 中南大学出版杜 2 0 0 2 5 郑毓信 数学办法论入i j m 杭州 浙江教育m 版社 2 0 0 6 1 2 7 血何小眠数学学与教的心理学 m 广州 华南理l 大学m 版社 2 0 0 3 1 6 9 1 7 5 函凌健 化归思想在数学解题 的应用 j 安j 大 安 人师范学院学报 自然科学版 2 0 0 8 1 1 5 1 1 6 西张启凡 联想类比 回归馈础 化归转化的优化策略 i l 学数学月o j j 江苏 苏州大学h 版社 2 0 0 8 4 2 卅 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 通过 对数 化归为简单的加 减 倍积运算问题 使计算方法实现了一次革 命 伟大的法国数学家笛卡尔 r d e s c a r t e s l 5 9 6 1 6 5 0 同样将化归思想方法 运用得淋漓尽致 他通过其首创的坐标系 把几何问题化归为代数问题 从而 创立了解析几何这门新学科 开创了数学的新纪元 并在其著作 更好地指导 推理和寻求科学真理的方法论 中给出了一个解决问题的 万能方法 模式 第一步 把任何问题都化归为数学问题 第二步 把任何数学问题都化归为代 数问题 第三步 把任何代数问题都化归为方程的求解 这种解析几何的思维 模式作为 万能方法 虽然有些夸张 但是极大地推动了数学的进步是世人公 认的 鉴于目前化归思想方法在高中数学教学中存在的实际问题 本文在前人研 究的基础上 从理论和实践相结合的角度 结合心理学的有关知识 从知识 教师和学生三维立体的角度加以综合研究 从教学内容的角度对化归思想的原 则和策略作了总结 并对化归思想在高中数学各部分的具体运用做了研究 其 次对教学中影响化归思想的教师的教学策略和学生的学习策略加以探究 在调 查研究的基础上给予较合理的建议 硕士学位论炙 m a s t e r st h e s i s 2 化归思想方法 2 1 化归思想方法的涵义 化归 就是转化和归结的简称 也就是解题者用联系 动态的视角 将繁 难 生疏的问题彳 通过一定的数学过程转化为简单 熟悉的问题曰 从而使 原问题得以解决的措施 方法和手段 用框图可直观表示为 图l 例如 在线段 o 口 上随机地投3 个点 试求由点0 至三个点的线段能构成 一个三角形的概率 分析 随机事件 能构成一个三角形 需要用三个变量来描述 我们可用 这三个变量组成的有序数组来表示基本事件 转化成空间直角坐标系的点的坐 标 从而构造与体积有关的几何概型 陈传理 张同君 竞赛数学教程 第二版 m 北京 高等教育出版社 2 0 0 5 2 8 3 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s y 图2 解析 令a 三线段能构成一个三角形 设三条线段长分别为x y z 则每个试验结果可表示为 x y z 0 x y z a 所有可能的结果为q x y z 10 x y z a 因为三线段能构成一个三角形的条件是x y z x z y y z x 所以彳 x y z ix y z x z y y z x 0 x y z 口 是以d a c d b 为顶点的六面体 其体积为正方体截去三个三棱锥得到的 即 1 扎3 譬 詈 譬 从而删 黼 手 三 解析几何的创立就是化归思想方法成功应用的典范 众所周知 在1 7 世纪 以前 数与形的研究基本上是各自独立地进行的 正是由于笛卡尔借助于建立 的坐标系在点 曲线 与数对 方程 之间建立了对应关系 将几何问题就可 转化为代数问题 这样 我们就可以利用代数方法来进行几何问题的研究 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 图 3 例如 利用解析几何的方法 可以较容易地证明 三角形的三条中线相交于 同一点 证明 以a a b c 中点a 为原点 以a b 所在直线为x 轴 建立平面直角坐标 系 设a o 0 b 2 a 0 c 2 b 2 c n 高所在直线的方程分别为 a d y 二一x a d b e y f c 云 x 一2 口 c f y 击 显然 这三个方程有公共解x 2 a j 一2 b y 了2 c 所以三角形的 条中缘相夺千同一点 通过以上例题 我们了解了化归的一般模式 并且还可以将化归的模式进一 步归纳如下 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 归 原 图4 就思想方法的研究而言 一个重要的问题在于与一般的科学家如物理学家 相比 数学家在思想方式上具有其独特之处 如果把 化归 理解为 由未知到 已知 由陌生到熟悉 由复杂到简单的转化 那么 我们可以说 数学家思维 方式的重要特征之一 就是他们特别善于使用化归的方式解决问题 从方法论的 角度说 这就是所谓的 化归原则 匈牙利数学家罗莎 彼得 r o s z ap e t e r 在其著作 无穷的玩艺 中举了 一个关于化归方法的有趣的例子 有这样一个问题 假设在你面前有煤气灶 水龙头 水壶和火柴 你想烧开水 应当怎样做 于是 某人就回答 在壶上 灌上水 点燃煤气 再把壶放在煤气上 提问者肯定了这一回答正确 但是他 又随即追问道 如果其他的条件都没有变化 只是壶中已经有了足够多的水 那么你又应当怎样去做 这时被问者满怀信心地回答道 点燃煤气 再把壶放 在煤气上 但是 这一回答却没有使提问者感到满意 因为 在后者看来 只 有物理学家才会这样做 作为数学家更为恰当的回答则是 倒掉壶中的水 那 么这一问题就转化为前面已经解决的问题了 的确如上所述 作为数学家的重 要思维方式之一 就是将新问题转化为已经能够解决的旧问题 郑毓信 数学办法论入门 m 杭州 浙江教育出版社 2 0 0 6 3 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 又如这样 n 故事 大学操场上 政治学教授 哲学教授和语言学教授围 者一根旗杆叽叽哝哝 数学家走过 问 先生们忙啥 政治学教授回答道 我 们需要这根旗杆的高度 正讨论用什么手段得到它 瞧我的 数学教授说 弯下腰 抱紧使劲一拔 把旗杆拔起 放倒在地 拿卷尺量了量 正好五米五 说完 把旗杆插回原地 走了 数学教授 语言学教授望着他的背影轻蔑地说 我们要高度 他却给我们长度 这则故事中相比语言学教授的咬文嚼字 赞扬 了数学家的灵活转化 化归思想一般有三要素 1 化归对象 即所需转化的对象 2 化归目 标 即所要转化的形式 3 化归途径 即所需转化的策略 在整个化归思想中 转化 是问题的关键 即什么样的问题应该向什么方向转化是我们最关心的 一 般说来 可以按下面几个原则实施问题的转化 熟悉化原则 简单化原则 和谐 化原则 直观化原则 标准化原则 低层次化原则 正难则反原则等 化归策略与化归原则的区别在于 化归策略是按照化归原则 在具体化归 时努力的方向和方法 化归策略比化归原则的层次低 化归原则是用化归方法解 决问题的一般性的指导 而在面对待解决的问题时 常常还需要知道如何选择恰 当的化归手段和途径进行有效的化归 这就需要了解常用的化归策略 化归策略 一般是向已知的 容易的 简单的 低层次的方向转化等 为什么数学问题可以转化呢 这是因为数学具有统一性 阿蒂亚 m i c h a e la t i y a h1 9 2 9 一 是2 0 世纪下半叶影响最大的数学家之一 1 9 9 0 年 他以数学家的身份当选英国皇家学会会长 剑桥三一学院院长 以及牛顿数 学研究所所长 这种集三职于一身的情况 是牛顿以来的数学家所未曾有过的殊 荣 1 9 7 4 1 9 7 6 年 阿蒂亚担任伦敦数学会主席时的就职演说的题目是 数学的 统一性 他在演说中举了三个例子 代数方面的高斯整数环z 卜5 几何方面的 麦比乌斯 m o b i u s 带 分析方面的由核函数确定的线性微分一积分方程 这 赵小平 现代数学大观 m 1 海 华东师范大学出版社 2 0 0 2 9 1 0 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s l s 三个视乎彼此毫无关系的内容却具有深刻的内在联系 麦比乌斯带的存在和多项 式环r x l x 的因子分解不唯一性相联系 如果核函数满足a x j a y x 则上述的微分一积分方程相当于斜伴随算子彳 然后可以看到彳的奇偶性恰好和 麦比乌斯带的拓扑性质一致 这种相互联系不是偶然的巧合 实际上反映了数学 的统一性本质 一般来说 化归之所以有意义 正是因为数学具有统一性 两个问题彳与曰 之间存在着某种关系 一种是等价关系 另一种是半等价关系 同时数学的这种 统一性也为我们创立新学科和解决新问题指明了方向 笛卡儿曾在 指导思维的法则 一书中提出这样的 万能方法 第一 将 任何种类的问题化归为数学问题 第二 将任何种类的数学问题化归为代数的问 题 第三 将任何种类的代数问题化归为方程式的求解 正是这一思想使笛卡尔 创立了解析几何 当然 任何方法都必然具有一定的局限性 因此所谓的 万能 之法 是根本不存在的 但他的这一 万能方法 的思维模式 也充分说明了化 归思想方法的重要性 问题是数学的心脏 数学问题的解决是数学教学中的重要组成部分 而几 乎所有问题的解决都离不开化归 只是所体现的形式有所不同而已 计算题是利 用规定的运算法则进行化归 证明题是利用公理 定理或已经证明了的命题进行 化归 应用题是利用数学模型化归 因此 离开了化归 数学问题将无法解 决 由此可见 化归思想方法在数学研究和数学教学中都有着十分重要的意义和 作用 化归思想方法的教学在数学教育改革中无疑占有重要的地位 它可以促进 数学教学内容和教学方法改革的不断深入 有利于改变数学教育落后的局面 加 强学生思维能力的培养 从而全面提高数学教育质量 化归思想方法在数学研究中得到了广泛的应用 同样在数学教学中取得了 巨大的成功 然而这种成功掩盖不了其消极作用 用局部代替整体 用旧方法来 处理新事物的化归思想在方法上具有局限性 在观念上具有保守性 这种保守性 l l 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 在数学的历史上曾阻碍了负数 无理数 虚数的引入及罗氏非欧几何的诞生 在数学上 我们也常常遇到 化不归 的情况 如曼德布罗特面对英国海 岸线问题 发现无论如何也化不成一个传统的几何问题 从而导致了 分形几何 的诞生 在我们的日常数学解题中 这种 化不归 的问题也常常不期而遇 此 时 我们要重新审查题意 或挖掘隐含条件 另辟蹊径 才能找到正确的解题方 向 2 2 化归思想方法的原则 化归与转化的思想方法融汇和贯穿于整个数学学科 也贯穿于解题的始终 而解题的过程实质就是不断转化的过程 虽然化归和转化的思想和方法是发散 的 但是我们在解决问题的过程中还是要遵循一些基本的原则 从而充分调动和 运用我们已经掌握的知识 方法和经验 把要解决的问题通过不断的转化 归结 到已经掌握的认知范畴内去解决 2 2 1 熟悉化原则 熟悉化原则就是将陌生的问题转化为熟悉的问题 以利于我们运用熟知的知 识 经验来解决 例2 1 解方程工3 1 2 h 2 2 0 解析 这是一个以x 为未知数的一元三次方程 显然我们对三次的解法是比 较陌生的 而对一次或二次方程的解法比较熟悉 因此 我们自然希望能把它化 归为若干个一次或二次方程来处理 注意到原方程的特点 可以看出 若把x 看 成 已知数 而把 2 看成 未知数 则原方程便可看作关于 2 的 二次方程 我 们就 2 解出方程 也许能得到关于x 的一元或二元方程 从而可将问题化归为 1 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 熟悉的问题而得到解决 简解 令y 2 则原方程为x 3 1 j h 2 一y 2 0 可变换为 y 2 x 2 y 一 x 3 石2 0 解得y x 或y x 2 x 从而 2 一x 或 2 x 2 x 所以x 一压或x i 1 一1 1 4 压 z 例2 2 两条异面直线称为 一对 则在正方体八个顶点间的所有连线中 成异面直线的共有多少个 解析 如果以其中一条棱进行分类的话 很难搞清 重 和 漏 然而我 们对以下两题很熟悉 l 以正方形的八个顶点为顶点的三棱有多少个 2 如果 两条异面直线称为 一对 的话 任一三棱锥中有多少个对异面直线 故可把本 题分解成以上两个熟悉的问题 即考虑一种对应 由于问题1 的答案是个 q 一1 2 5 8 问题2 的答案是3 对 故本题答案为5 8 3 1 7 4 对 例2 3 设x y r 且x 2 y 2 x 2 求m y 2 7 x 一6 x 的最值 解析 这是一个含有两个变量的最值问题 我们不太熟悉 但可转化为一元 二次函数的最值问题 由x 2 y 2 x 2 得y 2 一x 2 一x 2 一 z 1 x 2 0 故一2 x s l 于是m 一x 2 一x 2 7 x 一6 x 5 一 x 一3 2 故当x 1 时m 有最大值1 当x 2 时m 有最小值 2 0 2 2 2 简单化原则 简单化原则是将复杂的问题转化为简单的问题 通过对简单问题的解决 达 到解决复杂问题的目的 或获得某种解题的启示和依据 1 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 例2 4 已知 设x y z 为三个互不相等的非零实数 且x 三 y z y zx 求i i e x 2 y 2 2 2 1 解析 这道题所给的条件看上去不少 有的人也知道将此看作方程组去解 答 但解来解去 却越解越复杂 其实 只要注意到题中关于具有轮换性的特点 不妨先退一步 考虑较简单的二元问题 设x y 为互不相等的非零实数 且 x 一1 y 求证x z j 2 1 由于简化后的命题与原命题结构一致 因此可类似 的去证明原命题 这样就确定了问题r 解 由x 一1 y 得弦 x y y z 1 y z 由x 一1 z 一i 得矽 x z y x 2 y 工 由y 一1 z 三得汜 y z z x 3 z x 再由 1 2 3 得x 2 y 2 2 2 1 例2 5 实数x y 满足x l y l 且 1 0 9 x 2 1 0 9 口j 2 l o g a x 2 l o g a y 2 当a 1 时 求1 0 9 砂 的取值范围 解析 题中所涉及的l o g x l o g y 都可以看成复杂的变量 所以设 l o g x y l o g y 其中u o v 0 则原题转化为 已知u o v 0 且 一2 2 一2 2 2 2 求u y 的取值范围 此时 中仍然含有两个变量 所以再设 l 2 c s p l 2 s i n 口 其中一詈s p s 等 因此 1 2 2 压s i n 秒 庀7 又要s 秒 三 坐 故l 万 u v 2 2 压 所以 41 241 2 1 4 l o g 叫 的取值范围是 1 2 2 4 2 2 2 3 和谐化原则 和谐化原则是转化问题的条件或结论 使其表现形式更符合数与形内部所表 示的和谐统一的形式 或者转化命题 使其推演有利于某种数学方法或符合人们 的思维规律 例2 6 设 口 是首项为1 的正项数列 且 n 1 口n 1 2 一n a 2 口州q 2o 玎 n 求数列 a 的通项公式 解析 已知数列前后两项的递推关系 求数列的通项公式 若直接求解有一 定的难度 这时可以运用化归方法 将条件变形 使前后两项的关系明显化 找 到问题r 解 由 以 1 口n 1 2 一 l a 2 口 1 a o 得 以 1 以肿 一 l a 口 l 口 0 故吒 熹或 一q 舍去 所以 i11刀 在很多情况下 数学解题就是让规律越来越明显 这就体现了和谐化原则 2 2 4 直观化原则 直观化原则是将抽象的问题转化为具体的问题 或将数的问题转化为形的 问题来解决 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s da bebc 图5 例2 7 已知口 b c d 都是正整数 求证 口2 d 2 6 2 c 2 口一6 2 c d 2 中任何两个数之和都大于第三个数 解析 此题初看 似乎无从下手 但若仔细分析三个根式可发现 它们分别 表示三个直角三角形的斜边 又由任意两数之和大于第三数想到三角形中两边之 和大于第三边 于是可构造三角形使其三边为这三个直角三角形的斜边 即可把 代数问题转化为图形问题解决 这样 我们就找到了问题r 作下图所表示矩形 a b c d 使彳b a e c b b f d c f c 则a f a 2 6 2 e f 6 2 c 2 a e 口一6 2 c d 2 由鲋盱中任何两边之和都大于第三边知结论成立 2 2 5 标准化原则 标准化原则是指将问题转化为标准化问题 达到解决问题的目的 例2 7 解不等式lx i1 l2 x 3l lz 4l 解析 显然本题可以分4 段去掉绝对值符号 化归为不含绝对值的4 个不等 式组 然后写出这4 组的解再取并集即为所求 本例还可作如下解答 由于 x 1 2 x 3 x 4 利用ia 6l iai lbi 当且仅当a b 0 时取等号 有 防 4 i i x l l 1 2 x 3 i i l x l 1 2 x 3 i i x 4i 故原不等式只能取等号 当且仅当 1 一x 2 x 3 0 时取等号 即原不等式可化归为 1 一x 2 x 3 0 解得 1 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 一 3 x 1 为所求 2 一 2 2 6 低层次化原则 相对而言 数学问题可分为低层次问题和高层次问题 例如 一次方程和 二次方程是低层次问题 高次方程是高层次问题 无理方程和超越方程则是更高 层次问题 平面问题是低层次问题 立体问题是高层次问题 实数问题是低层次 问题 复数问题是高层次问题 因为低层次问题相对来说比较简单 因此 求解 问题时 通常是将高层次问题化归为低层次问题 例如 解方程的化归路线可归结为如下的形式 l 超越方程 瑁裂盯戮任质 秧兀 鹕边乘万 j 哭7 1 3 代数方程有理方程 化归化归 乘以一 i 整瓦洲瓦分j 详 秧兀 有理方程 i 有理方程 化归化归 图6 对于解不等式也可作类似的分析 立体几何是平面几何的推广何发展 因此解决立体几何问题的思维方法是 寻找正确的手段和方法 将它化归为平面几何去解决 如 展平 是空间图形平面化常用方法之一 如经常把圆柱 圆锥和圆台的 侧面展开而得到矩形 扇形和扇环得图形等 一解决有关的问题 有时多面体的 问题也通过 展平 的方法求解 例2 8 已知四面体a b c d 中 曰 c d 三点处的三个面的角之和均为 1 7 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s i s 1 8 0 0 求证 a b c d a c b d a d b c b a t 图7 解析 本题在已知的四面体中应用三角运算来证 无疑是较繁复的 现在用 展开法 将四面体各面沿彳曰 a c a d 剪开后摊平 使顶点彳分别落在4 4 4 处 则原问题就转化为一个很简单的平几问题 即在图所表示的平面图形中 已 知4 召 4 曰 4 c a c 且分别以曰 c d 为顶点的三个角之和都等于1 8 0 求 证 4 曰 4 口 4 c 4 c 4 d a 3 d 显然是很容易证明的 从而原问题也随之 解决 本例是利用低层次化原则 在把空间问题转化为平面问题的同时 也使复杂 问题转化为简单问题 2 2 7 正难则反原则 正难则反原则是当问题正面讨论遇到困难时要考虑从问题的反面解决 直 接解决困难时要考虑间接解决 顺推困难时要考虑逆推 进 不行时则考虑 退 探讨可能性发生困难时要考虑探讨不可能性 例2 9 若三条抛物线y x 2 4 甜一4 口 3 y x 2 a 1 x a 2 y x 2 2 甜一2 口中至少有一条与x 轴有公共点 试求a 的取值范围 解析 三条抛物线至少有一条与x 轴有公共点 意味着三个方程的判别式至 少有一个不小于0 如果我们直接考虑 有7 种情况 不仅计算量大 而且容易 出错 因此 我们可从结论的反面考虑 问题就简单得多 若三条抛物线都与x 轴没有公共点 则a l 4 口 2 4 4 a 3 0 a 2 a 1 2 4 a 2 0 a 3 2 口 2 4 一2 口 2 o a p 3 n 一1 于是当且仅当一吾 口 2 x p 恒成立 的x 的取值范围 解析 如果把不等式看作关于x 的不等式 则求解过程比较烦琐 如果把p 看作变量 问题可转化为关于p 的一次不等式 则可简化求解过程 将原不等式化为 x 1 p o 1 2 0 令f p x 1 p o 1 2 则它是关 于p 的一次函数 定义域为 一2 2 由一次函数的图像得f 2 0 且厂 2 o 求 得x 3 2 3 3 数与形的转化策略 数与形的转化策略利用函数与其图像 方程与其曲线的对应关系 主要将代 数问题转化几何问题 由几何的直观性得到代数问题的解的方法 例2 1 4 求函数f x x 4 3 x 2 6 x 1 3 4 x 4 一x 2 l 的最大值 解析 可将式子变形为厂o x x 3 2 0 2 2 2 4 x 2 x 2 一1 2 并研究其几 何意义 转化为几何问题 它表示抛物线y x 2 上的动点m x x 2 到点p 3 2 和 到点q 0 1 距离之差 由平面几何知识知i 脚i im q 闰尸ql 所以当点m 位于 直线尸q 与抛物线的交点r 时 f x 的最大值为i 尸qi 4 i 6 侈0 2 1 5 解不等式 2 工2 2 x 4 一 x 2 一l o x 2 8 2 分析 对于含有根号的代数式 可构造平面内两点间的距离 数形结合 达到简 洁的求解效果 解析 原不等式可化为i x 2 2 x 4 一 x 2 1 0 x 2 8l 2 它可由不等式l o 1 2 j 2 4 x 一5 2 j 2i 2令y 2 3 而得到 令a 1 0 b 5 0 p x y 则不等式即为i i 朋l i 胎i i 2 而不等式表示以a b 为焦点 2 a 2 2 c ia b 4 的双曲线两支之间的区域 2 l 硕士学位论文 m a s t e r st i e s i s 内的点 因此原不等式与不等式组 一3 2 一了y 2 l y 2 3 同解 故原不等式的解 集为3 一 互 x 3 乏 2 3 4 由特殊到一般 相对于一般而言 特殊问题是比较容易和简单的 特殊化就是把数学问题中 包含的数量 形状 位置等关系加以简单化 具体化 单一化 边缘化 也就是 说 当数学问题的一般性不十分明显时 我们从特殊的数或形的数量关系和位置 关系入手 由特殊性质推出一般性质 从中找到解题方法或解题起点 在解题过程中 对于一时难以入手的一般问题 一个使用最普遍而又较为简 单易行的化归途径 就是把它向特殊的形式转化 这就是特殊化法 由于特殊的 事物与简单的事物有着自然的联系 所以这种方法有两种类型 一是从简单情形 入手 作为解决一般问题的突破口 二是从特殊对象考察 包括着眼与极端情形 为求解一般问题奠定基础 例2 1 6 比较2 0 0 8 2 啷与2 0 0 9 2 咖的大小 解析 显然 直接计算2 0 0 8 2 咖与2 0 0 9 2 咖的值是十分困难的 因此 我们可 以把问题一般化 先讨论与的大小关系 先从特殊的较小的数开始探讨 当刀 1 时 1 2 2 1 当刀 2 时 2 3 4 3 当甩 4 时 4 5 5 4 当r 5 时 5 6 6 5 可以看出 当n 3 时刀肿1 刀 1 如能证得上述一般化的猜想 则取特殊 2 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 值 l 2 0 0 8 就可确定2 0 0 8 2 0 0 9 2 0 0 9 2 0 0 8 下面用数学归纳法证明 1 当刀 3 时 3 4 4 3 显然成立 2 假设当以 七 七 3 时猜想命题成立 即七川 七 1 亦即 乏旦 k 则当以 七 1 时 由于堡垒 坐 k 1k 所以 等广1 t k l 广1 t k l t k 1 k 2 所以刀 k l 时命题也成立 由 1 2 可知 命题对于行 3 都成立 所以2 0 0 8 2 咖 2 0 0 9 2 咖 2 3 5 由高维到低维策略 在直接解答高维空间的有关问题时 往往比较复杂 这时我们常将其转化为 低维的问题加以解决 例2 1 7 在正三棱锥v a b c 中 侧棱长为2 且z av b z b v c z c v a 4 0 0 从点彳作一截面 使截面与v b v c 相交于e 两点 求截面a a e f 周 长的最小值 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a v a 图9 解析 截面a a e f 周长的最小值 即为从点a 出发绕侧面一周回到点a 的最短 距离 若将正三棱锥的侧面沿侧棱v a 剪开后展平 则所求的最短距离就是该平 面图形中点a 与a 的连线长 在r t a v a a 中 朋 3 黝 2 3 即截面鲋肚周 长的最小值为2 j 3 例2 1 8 已知三棱锥s a b c 中 点p 是平面a b c 内一动点 已知点p 到顶点 s 和平面a b c 的距离相等 则点尸的轨迹为 彳 圆或抛物线 口 椭圆或抛物线 c 椭圆或双曲线 d 双曲线或抛物线 2 4 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s i s a s b 图l o 解析 设二面角的平面角为p 点尸到b c 的距离为d 点p n 平面a b c 的 距离为h 则h d s i n0 在平面s b c 内以b c 所在直线为x 轴 过点p 垂直于b c 的直线为y 轴建立平面直角坐标系 设尸 x y s o 口 由i 网 d s i n0 得 x 2 y 一口 2 y s i np 2 当p 9 0 时点p 的轨迹为抛物线 当0 9 0 时点p 的 轨迹为椭圆 故应选 b 2 3 6 整体化策略 有时研究问题需要有意识地放大考察问题的 视角 将需要解决的问题看 作一个整体 通过研究问题的整体形式 整体结构 并注意已知条件及待求结论 在这个 整体 中的地位和作用 然后通过对整体结构的调节和转化使问题获解 这种从整体观点出发研究问题的心里活动过程叫做整体思维 例2 1 9i x l o g lx i 0 原不等式是ia bi 0 故x l o g l 石 0 即0 x 当0 x 0 1 判断f x 的奇偶性 2 判断f x 是否是周期函数 若是周期函数 求出周期 解析 由条件容易联想到两角差的余切公式c o t 口一 c o ta c o tf l 一 l c o ti s c o t 口 由c o t 等 1 猜想口 等 不难发现题设条件类似余切函数的运算法则和性质 故 44 可将题中的函数从抽象退到具体 退 为函数 x c o t x 由此猜想题中的结 论 1 f x 为奇函数 2 f x c o t x 的周期为万 猜想f x 为周期函数 其周期为4 口 证明 1 令x x 1 一而 因为厂 x 的定义域关于原点对称 所以一x 屯一j c l 也 在定义域内 且厂 一x 厂 屯一而 弓渊 一 一而 一 x 故厂 x 为奇函数 2 f x a 页f x 石 f 7 a 两 1 j f 丽 x f 二7 a 万 l 丽l f x 冗f x 而 i f x 2 a 抓x 口 口 而f x a i 厂 x 一1 f x 1 x 一1 x 1 f x 4 a 厂 x 2 口 2 口 一 f x l 2 a x 故f x 为周期函数 其周期为4 a 2 7 l 1 一一 厂 x 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2 3 8 反客为主策略 在有些数学问题中 有明显的主变量 但是直接解