数学归纳法教案.doc

数学归纳法教案 两课时教学目标1理解数学归纳法原理，正确运用数学归纳法解决有关问题加强归纳、猜想、论证的能力2通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力3培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式重点难点多数学生视解综合题(尤其是探索性问题)为畏途，要使学生树立“在战略上藐视敌人，在战术上重视敌人”的指导思想，有信心，有勇气解决大题和难题培养学生敏锐的观察能力和严格的逻辑推理能力根据给定的信息建构要解决的问题与数学知识间的联系，迅速而合理地寻找和选择解决问题的方向和策略“大题小做”，化整为零，各个击破，整体解决教学过程本节重点复习数学归纳法，探索性问题及数列极限的综合题只有真正理解数学归纳法原理，才能通过观察、归纳、猜想出结论，又能运用数学归纳法证明猜想的正确探索性问题是高层次上培养创造性思维能力的新形式，数学思想方法含量高，立意新颖，内在联系错综复杂，综合性强，覆盖面广，形式多样但绝不是可望而不可及的，只要加强阅读理解能力，善于分析差异，把陌生的问题化归为熟悉的问题，抓住主要矛盾，深入剖析局部与整体的关系，揭示问题的本质，问题对多数同学来讲是可以解决的一、数学归纳法例1 已知函数f(x)满足axf(x)=b+f(x)(ab0)，f(1)=2，且f(x+2)=-f(2-x)对定义域中任意x都成立(1)求函数f(x)的解析式；(2)若数列an的前n项和为Sn，an满足当n=1时，a1=f(1)=2，当归纳法证明分析 这是数列、函数、方程与归纳、猜想并用数学归纳法证明的综合题根据函数f(x)满足的条件利用待定系数法确定a，b的值；a1，a2，a3的构成，归纳猜想出an的通项公式，然后证明猜想的正确性这是解决这类问题的一般规律解 (1)由axf(x)=b+f(x)，得(ax-1)f(x)=b，当ax-1=0时，应有b=0，2a=b+2 (*)(考查各项值与项数间的关系，提出猜想)猜想 an=n+1下面用数学归纳法证明猜想的正确性当n=1时，上式成立假设当n=k(k1，kN)时，猜想成立，即ak=k+1成立(利用数学归纳法证明的关键是证明n=k+1时，要正确地应用归纳假设，注意把Sk+1=Sk+ak+1代入上式，问题迎刃而解)ak+1=k+2=(k+1)+1即当n=k+1时，猜想正确由和可知，对一切nN，an=n+1都成立故所求的数列an的通项公式为an=n+1评述 利用数学归纳法证题，目标要明确，即所证的结论如何用k+1表出；运用归纳假设要适时、灵活例2 已知无穷数列an，Sn是其前n项和对于不小于2的正整数n，满足1-Sn=an-1-an(1)求a1，a2，a3；(2)证明an是等比数列；当n=1时，上式成立则当n=k+1时，因为1-Sk+1=ak-ak+1，所以1-(Sk+ak+1)=ak-ak+1，于是1-Sk+1ak同理，得1-Sk+1=ak+1(只要把Sk+1=Sk+ak+1代入上式，由Sk=1-ak和归纳假设，命题即可得证)所以当n=k+1时，猜想也成立故数列an是等比数列证法二 当n2时，1-Sn=an-1-an，1-Sn+1=an-an+1两式相减，得Sn+1-Snan-1-2an+an+1，故数列an是等比数列(3)因为所以(两个例题解法如出一辙，你能总结出带有规律性的思路和方法吗？这是提高能力的关键)(1)求a1，a3，a4；(2)求数列an的通项公式；(2)a1=11，a2=23，a3=35，a4=47，猜想an=n(2n-1)下面用数学归纳法证明当n=1时，猜想成立假设当n=k(k1，kN)时，猜想成立，即ak=k(2k-1)成立(k-1)ak+1=(k+1)ak-(k+1)=(k+1)k(2k-1)-(k+1)=(k+1)(2k+1)(k-1)(k-10)所以ak+1=(k+1)2(k+1)-1，即当n=k+1时，猜想也正确由，可知，当nN时，an的通项公式为an=n(2n-1)把a1=1，a2=6，a3=15代入上式，由于c0，解得所以二、探索性问题探索性问题中有两类重要问题，一是没有给出明确结论，二是判断结论是否存在当题目没有给出明确的结论时，需要根据命题的条件考查结论，随着推导的深入，结论逐渐明朗，特别要注意分类讨论思想在论证中的作用存在性问题的解题思路是，假设结论存在，若推证无矛盾，则说明结论的确存在；若推导出矛盾，则结论不存在论证过程中常用到分析法和反证法例4 数列an的前n项和为Sn，已知Sn是各项为正数的等比数分析 本题主要考查等比数列的基本知识，不等式和分类讨论的思的条件，尤其是Sn=S1qn-1(S10，q0)把问题转化为通过讨论Sn与an间的关系比较两个式子的大小解 设数列Sn的首项为S1，公比为q(其中S10，q0)因为Sn是等比数列，所以Sn=S1qn-1从而有(q的取值范围将直接影响两式的大小，请学生考虑q是否可以等于1，若可以写出这个数列，若不可以说明理由认为不成立的理由是和不能成为非零常数列，究其原因是把an视为等比数列所造成的失误没有弄懂题意所致q=1时题设中给的Sn是非零常数构成的等比数列，仍有同学困惑，把问题具体化，S1=a1=1而a2=a3=an=0，此时Sn是公比为1的常数列注意运用“从特殊到一般”或“从一般到特殊”，从具体到抽象和从抽象到具体的思维转换)(2)当q0且q1时，(判别两式的大小，关键取决于(q-1)3的正负，要对q的取值范围进行分类讨论)an+1an+1an+1评述 本题证明的难点是既要对q分类讨论又要对n进行分类讨论要理清两条线，全面细致地讨论问题例5 设实数a0，数列an是首项为a，公比为-a的等比数列，且bn=anlg|an|(nN)，Sn=b1+b2+bn(nN)+na+n)an；(2)当0a1时，是否存在自然数M，使得对任意自然数n，都有bnbM？证明你的结论解 (1)依题意，得an=(-1)n-1anbn=(-1)n-1nanlg|a|则Sn=b1+b2+bn=a lg|a|1-2a+3a2-+(-1)n-1 nan-1设S=1-2a+3a2-+(-1)n-1nan-1(分析S中各项的特征将上式的两边都乘以题中所给等比数列的公比，然后根据各项系数的特点，错项相加即可求出S)aSa-2a2+3a3-+(-1)n-1nan两式相加，得(1+a)S=1-a+a2-+(-1)n-1an-1+(-1)n-1nann+na)an(2)当0a1时，存在自然数M，使得对任意的自然数n，都有bnbM(由于bn中的因式(-1)n-1影响着bn的正负，即bn是摆动数列，因此确定bn的符号必须对n进行分类讨论，缩小讨论问题的范围)因为0a1，所以lg|a|=lg a0当n=2k-1(kN)时，bn=(-1)2k-2(2k-1)a2k-1lg a0；当n=2k(kN)时，bn=(-1)2k-1(2k)a2klg a=-(2k)a2klg a0显然，要使bnbM，M只能从偶数中寻找(讨论bMbn，根据函数的观点就是比较函数值的大小，这里自变量是n所做的工作是作差 变形 判定符号，变形要有利于判定符号)设kN，因为1-a20，所以b2k+2-b2k=-(2k+2)a2k+2lg a+2ka2klg a=2a2klg a-(k+1)a2+k因为0a1，所以01-a21时为零个自然数k-K的讨论，注意变通形式，简化论述过程)(容易忽视b2k+2b2k这种情况，即bM以后的各项都小于它，从函数的单调性加以理解，问题就清晰了)即b2b4b2kb2k+2，b2k+2b2k+4b2k+6因为b2k-10b2k+2所以取M=2K+2，则对任何自然数n，都有bnbM评述 探索性问题从高层次上培养了学生创造性思维的能力，需要独立思考，善于捕捉信息，见微知著，由此及彼，将陌生的问题化归为熟悉的问题和灵活应变的能力，本题(2)中利用函数的观点把问题转化为比较大小(或讨论函数的单调性)根据分类讨论的思想，把问题的各种情况逐一论证，推导出满足题意的结论a2+an-1=g(n)(an-1)，对n2的一切自然数都成立，并证明你的结论猜想当g(n)=n(n2)时，可使a1+a2+an-1=g(n)(an-1)成立下面利用数学归纳法加以证明(1)当n=2时，已经验证命题成立(2)假设当n=k(k2，kN)时，存在g(k)=k使得a1+a2+ak-1=g(k)(ak-1)成立则当n=k+1时，(上式两边同时加上ak)a1+a2+ak-1+akg(k)(ak-1)+ak=k(ak-1-1)+ak(k+1)ak-k(由上式再向下证明有部分同学受阻引导学生明确结论的结构(k+1)(ak+1-1)与上式的差异，运用分析法沟通两者间的联系事实上，=(k+1)ak+1-(k+1)=(k+1)ak-k至此问题获得解决证明恒等式时必须目标明确才能变形得当，要灵活运用分析法执果索因，建构结论和题设的联系)=(k+1)(ak+1-1)所以当n=k+1时，命题成立由(1)，(2)可知，对一切n2(nN)，有g(n)=n，使得a1+a2+an-1=g(n)(an-1)成立三、数列、极限、数学归纳法的综合题(1)试求函数f(x)的反函数f-1(x)，并指出其定义域；(2)若数列an(an0)的前n项和Sn对所有大于1的自然数n，都有Sn=f-1(Sn-1)，且a1=2，求an的通项公式；分析 首先要正确求出f-1(x)，然后根据Sn=f-1(Sn-1)求出Sn的表达式，由Sn-Sn-1(n2)讨论an的通项公式，这样就为(3)的解决铺平了道路(如何确定Sn的解析式是解决本题的关键环节，可以采用两边开(每得到一个解析式都要认真考虑这种形式所蕴含的数学内容每推导一步都要分析是否与结论更贴近了)等差数列当n2时，an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2，当n=1时，a1=2亦适合此式所以数列an的通项公式为an=4n-2(nN)(3)因为所以解法，下面是其中的两种所以数列an是首项a1=2，公差d=4的等差数列，其通项公式an=4n-2例8 已知函数f(x)=(x-1)2，数列an是公差为d的等差数列，bn是公比为q(qR且q1)的等比数列，若a1=f(d-1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q-1)(1)求数列an和bn的通项公式；解 (1)因为f(x)=(x-1)2，a1=f(d-1)=(d-2)2，a3=f(d+1)=(d+1)-12=d2an是等差数列，a3-a1=2d，即d2-(d-2)2=2d，化简，得2d=4，解得d=2a1=f(1)=(1-1)2=0，等差数列an的通项公式an=2n-2=q2，即整理并化简，得q4=(q-2)3，当q2时，q2=q-2，即q2-q+20 当q2时，q2=-(q-2)，即q2+q-20 由于=(-1)2-4120故方程无解；由方程解得q=-2或q=1已知q1所以q=-2，b1f(-1)=(-1-1)2=4，等比数列bn的通项公式bn=b1qn-1=4(-2)n-1=(-2)n+1(观察an+1的结构，发现an+1是数列dn的前n项和，由an+1-an=dn，就可以将cn确定)因为d1=a2=22-2=2，d1+d2+dn-1+dn=an+1，d1+d2+dn-1=an，两式相减，得dn=an+1-an=d=2(nN)，故dn是常数列2从而cn=2bn小结 综合题涉及的问题背景新颖，能力要求广泛，内在联系深刻，解法灵活，必须加强独立思考，善于联想，勇于创新，思维活跃等方面能力的培养综合题千变万化，万变不离其宗，上面问题的解决都是建构在深厚扎实的基础知识和基本技能之上，自始至终贯穿着数学思想方法解综合题就是全面灵活地运用